高中数学必修二知识点梳理与练习

高中数学必修二知识点梳理与练习同学们，进入高中数学的学习，我们逐步从平面走向空间，从直观感知迈向理性分析。必修二的内容，正是搭建起这一桥梁的关键部分，它主要涵盖了立体几何初步与解析几何初步两大模块。这部分知识不仅是后续学习更复杂数学知识的基础，也是培养我们空间想象能力、逻辑推理能力和运算求解能力的重要载体。下面，我们就一同对这两章的核心知识点进行梳理，并通过一些典型练习来巩固深化。一、立体几何初步立体几何，顾名思义，研究的是三维空间中的几何图形。它要求我们具备一定的空间想象能力，能够从二维的平面图形感知到三维的空间结构。1.1空间几何体的结构我们首先从认识常见的空间几何体开始。1.构成空间几何体的基本元素：点、线、面。线有直线（包括异面直线）和曲线，面有平面和曲面。2.多面体与旋转体：*多面体：由若干个平面多边形围成的几何体。围成多面体的各个多边形叫做多面体的面；相邻两个面的公共边叫做多面体的棱；棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。常见的多面体有棱柱、棱锥、棱台。*棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行。棱柱按底面多边形的边数分为三棱柱、四棱柱等。*棱锥：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形。棱锥按底面多边形的边数分为三棱锥、四棱锥等。*棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分。*旋转体：由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体。这条定直线叫做旋转体的轴。常见的旋转体有圆柱、圆锥、圆台、球。*圆柱：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体。*圆锥：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体。*圆台：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分。也可看作是以直角梯形垂直于底边的腰所在直线为旋转轴，其余各边旋转形成的面所围成的旋转体。*球：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体。3.简单组合体：由简单几何体（如柱、锥、台、球）组合而成的几何体。1.2空间几何体的三视图和直观图如何将三维的空间几何体在二维的平面上表示出来，是我们需要掌握的基本技能。1.中心投影与平行投影：*中心投影：光由一点向外散射形成的投影，其投影线交于一点。*平行投影：在一束平行光线照射下形成的投影，其投影线互相平行。（我们主要研究平行投影中的正投影）2.三视图：*正视图：从几何体的正前方观察得到的视图。*侧视图：从几何体的正左方观察得到的视图（与正视图高平齐）。*俯视图：从几何体的正上方观察得到的视图（与正视图长对正，与侧视图宽相等）。*画三视图时，要注意可见轮廓线用实线表示，不可见轮廓线用虚线表示。3.直观图：*斜二测画法：绘制空间几何体直观图的常用方法。*其主要步骤为：1.在已知图形中建立直角坐标系xOy，画直观图时，画成斜坐标系x'O'y'，使∠x'O'y'=45°（或135°）。2.已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来的一半。3.对于一般线段，要在原来的坐标系中从线段的各个端点引垂线，再按上述规则画出这些端点的对应点，然后连接成线段。*用斜二测画法画出的平面图形的直观图，其面积与原图形面积的关系是：直观图面积=(√2/4)×原图形面积。1.3空间几何体的表面积与体积了解了几何体的结构和表示方法后，我们来研究它们的度量性质。1.柱体、锥体、台体的表面积：*棱柱、棱锥、棱台的表面积：等于其各个面的面积之和，即展开图的面积。*圆柱的表面积：S=2πr²+2πrl=2πr(r+l)，其中r为底面半径，l为母线长。*圆锥的表面积：S=πr²+πrl=πr(r+l)，其中r为底面半径，l为母线长。*圆台的表面积：S=πr'²+πr²+πr'l+πrl=π(r'²+r²+r'l+rl)，其中r'、r分别为上、下底面半径，l为母线长。2.柱体、锥体、台体的体积：*柱体的体积：V=Sh，其中S为底面积，h为高。（圆柱的体积V=πr²h）*锥体的体积：V=(1/3)Sh，其中S为底面积，h为高。（圆锥的体积V=(1/3)πr²h）*台体的体积：V=(1/3)h(S'+√(S'S)+S)，其中S'、S分别为上、下底面积，h为高。（圆台的体积V=(1/3)πh(r'²+r'r+r²)）3.球的表面积与体积：*球的表面积：S=4πR²，其中R为球的半径。*球的体积：V=(4/3)πR³，其中R为球的半径。1.4空间点、直线、平面之间的位置关系这是立体几何的核心内容，需要我们重点理解和掌握空间中点、线、面的各种位置关系及其判定和性质。1.平面的基本性质：*公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。（判断直线是否在平面内的依据）*公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。（确定平面的依据）*推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面。*推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。*推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。*公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。（判断两个平面相交及确定交线的依据）2.空间中直线与直线之间的位置关系：*共面直线：*相交直线：在同一平面内，有且只有一个公共点。*平行直线：在同一平面内，没有公共点。*异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。（注意：不能仅以“没有公共点”来判断异面直线，因为平行直线也没有公共点）*公理4（平行公理）：平行于同一条直线的两条直线互相平行。（平行线的传递性，在空间中依然成立）*等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。*异面直线所成的角：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线a'∥a，b'∥b，我们把a'与b'所成的锐角（或直角）叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）。其取值范围是(0°,90°]。若两条异面直线所成的角是直角，则称这两条异面直线互相垂直。3.空间中直线与平面之间的位置关系：*直线在平面内：有无数个公共点。*直线与平面相交：有且只有一个公共点。*直线与平面平行：没有公共点。*直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外。4.平面与平面之间的位置关系：*两个平面平行：没有公共点。*两个平面相交：有一条公共直线。1.5直线、平面平行的判定及其性质1.直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。（简记为：线线平行⇒线面平行）*符号表示：a⊄α，b⊂α，且a∥b⇒a∥α。2.直线与平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。（简记为：线面平行⇒线线平行）*符号表示：a∥α，a⊂β，α∩β=b⇒a∥b。3.平面与平面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。（简记为：线面平行⇒面面平行）*符号表示：a⊂β，b⊂β，a∩b=P，a∥α，b∥α⇒β∥α。4.平面与平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。（简记为：面面平行⇒线线平行）*符号表示：α∥β，α∩γ=a，β∩γ=b⇒a∥b。*其他性质：*如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面。*夹在两个平行平面间的平行线段相等。1.6直线、平面垂直的判定及其性质1.直线与平面垂直的定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α。直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面，它们唯一的公共点叫做垂足。*过一点有且只有一条直线与已知平面垂直。*过一点有且只有一个平面与已知直线垂直。2.直线与平面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。（简记为：线线垂直⇒线面垂直）*符号表示：m⊂α，n⊂α，m∩n=P，l⊥m，l⊥n⇒l⊥α。3.直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。*符号表示：a⊥α，b⊥α⇒a∥b。4.平面与平面垂直的定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。5.二面角的平面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角。平面角是直角的二面角叫做直二面角。6.平面与平面垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。（简记为：线面垂直⇒面面垂直）*符号表示：l⊥α，l⊂β⇒β⊥α。7.平面与平面垂直的性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。*符号表示：α⊥β，α∩β=l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β。二、解析几何初步解析几何的核心思想是用代数的方法研究几何问题，通过建立坐标系，将几何对象转化为代数方程，从而进行定量分析和求解。2.1直线与方程1.直线的倾斜角与斜率：*倾斜角：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角。当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°。倾斜角α的取值范围是[0°,180°)。*斜率：一条直线的倾斜角α（α≠90°）的正切值叫做这条直线的斜率，常用小写字母k表示，即k=tanα。*当α=0°时，k=0；*当0°<α<90°时，k>0；*当α=90°时，斜率不存在；*当90°<α<180°时，k<0。*过两点的直线的斜率公式：经过两点P₁(x₁,y₁)，P₂(x₂,y₂)（x₁≠x₂）的直线的斜率公式为k=(y₂-y₁)/(x₂-x₁)。2.直线的方程：*点斜式：已知直线l经过点P₀(x₀,y₀)，且斜率为k，则直线l的方程为y-y₀=k(x-x₀)。（适用于：不垂直于x轴的直线）*斜截式：已知直线l的斜率为k，且与y轴的交点为(0,b)（其中b叫做直线l在y轴上的截距），则直线l的方程为y=kx+b。（适用于：不垂直于x轴的直线）*两点式：已知直线l经过两点P₁(x₁,y₁)，P₂(x₂,y₂)（x₁≠x₂，y₁≠y₂），则直线l的方程为(y-y₁)/(y₂-y₁)=(x-x₁)/(x₂-x₁)。（适用于：不垂直于x轴和y轴的直线）*截距式：已知直线l与x轴的交点为(a,0)（a叫做直线l在x轴上的截距），与y轴的交点为(0,b)（b≠0，a≠0），则直线l的方程为x/a+y/b=1。（适用于：不垂直于x轴和y轴，且不过原点的直线）*一般式：关于x，y的二元一次方程Ax+By+C=0（A，B不同时为0）叫做