相似三角形专项提优辅导试题解析

相似三角形专项提优辅导试题解析相似三角形作为平面几何的核心内容之一，不仅是中考数学的重点考查对象，也是培养学生逻辑推理能力和空间想象能力的重要载体。许多同学在学习相似三角形时，往往停留在对定义、判定定理的简单记忆层面，而在复杂问题情境中，却难以快速找到解题的突破口，或在细节处理上频频失误。本专项提优辅导，旨在通过对核心知识的梳理、典型例题的深度剖析以及解题策略的归纳，帮助同学们夯实基础，提升解题技能，最终实现从“会做”到“会巧做”、“会精做”的跨越。一、核心知识回顾与点拨在进入试题解析之前，我们有必要对相似三角形的核心知识进行一次系统性的回顾与提炼，这将是我们解决所有相似三角形问题的“利器”。1.相似三角形的定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。相似三角形对应边的比叫做相似比（或相似系数）。*点拨：定义既是判定也是性质。判定时需同时满足“对应角相等”和“对应边成比例”；性质时则可由相似得到这两点。2.相似三角形的判定定理：*（AA）判定定理：如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。*点拨：此定理应用最为广泛，也最为便捷。在复杂图形中，寻找相等的角（如对顶角、公共角、同位角、内错角、同角的余角或补角等）是关键。*（SAS）判定定理：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。*点拨：务必注意“夹角相等”这一条件，若为非夹角，则不一定相似（如SSA在全等中不成立，在相似中同样需谨慎）。*（SSS）判定定理：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。*点拨：计算对应边的比例关系是应用此定理的前提，注意顺序对应。*直角三角形相似的特殊判定：斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似。*点拨：这是直角三角形特有的判定方法，可视为“HL”全等判定在相似中的延伸。3.相似三角形的性质定理：*相似三角形的对应角相等，对应边成比例。*相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比。*相似三角形周长的比等于相似比。*相似三角形面积的比等于相似比的平方。*点拨：性质定理是解决与线段长度、角度大小、周长、面积相关计算问题的依据。特别是面积比与相似比的关系，容易混淆，需重点记忆。4.常见的相似基本模型：*“A”型相似：公共角（或对顶角），另外一组对应角相等，或底边平行。*“X”型（或“8”型）相似：对顶角，另外一组对应角相等，或两边分别平行。*“K”型相似（一线三垂直/等角）：一条直线上有三个角相等（通常为直角），易构成相似。*母子型相似（射影定理模型）：直角三角形斜边上的高，将原三角形分成两个与原三角形相似的小直角三角形。*点拨：熟练掌握这些基本模型，能帮助我们在复杂图形中快速识别出潜在的相似三角形，从而缩短思考路径。5.寻找和构造相似三角形的常见思路：*已知平行：利用平行线分线段成比例定理，或“平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似”。*已知角相等：若两个三角形有公共角、对顶角或已知的相等角，尝试寻找另一组相等角（AA），或夹这个角的两边是否成比例（SAS）。*利用比例线段：若题目中出现比例式或等积式，尝试将其转化为比例式，再寻找对应的三角形。*构造辅助线：当直接证明困难时，可通过添加辅助线（如作平行线、构造中位线、构造直角等）来创造相似三角形的条件。6.辅助线添加技巧（针对相似）：*作平行线：这是最常用的技巧之一，目的是构造“A”型或“X”型相似。*构造中位线或倍长中线：利用中位线的性质得到平行或线段关系，进而促成相似。*构造直角三角形：特别是在涉及直角、勾股定理或射影定理的问题中。*连接或延长：将分散的条件集中到一个三角形或两个可能相似的三角形中。7.注意事项：*对应顶点要明确：书写相似三角形时，对应顶点的字母顺序要一致，这有助于准确写出比例式。*比例线段的对应：在写比例式时，要找准对应边，避免因对应关系混乱而导致计算错误。*相似比的顺序：相似比有顺序性，△ABC与△DEF的相似比k1和△DEF与△ABC的相似比k2互为倒数，即k1=1/k2。*分类讨论思想：当题目中存在不确定因素（如动点位置、图形的不同情况）时，要考虑是否需要分类讨论，避免漏解。二、典型试题深度解析（一）基础巩固与方法提炼例题1：如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，若AD:DB=2:3，且△ADE的面积为4，求△ABC的面积。思路分析：题目中明确给出“DE∥BC”，这是一个非常直接的信号，提示我们可以利用“平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应线段成比例，且所构成的三角形与原三角形相似”这一知识点。首先，由DE∥BC，可证得△ADE∽△ABC。接下来，需要确定相似比。AD:DB=2:3，意味着AD占AB的2份，DB占3份，那么AB总共是2+3=5份，所以AD:AB=2:5。这个比例就是△ADE与△ABC的相似比。已知△ADE的面积为4，根据相似三角形面积比等于相似比的平方这一性质，设△ABC的面积为S，则有(2/5)²=4/S，解此方程即可求出S。详细解答：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC（平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似）。∵AD:DB=2:3，∴AD:AB=AD:(AD+DB)=2:(2+3)=2:5。∴△ADE与△ABC的相似比为2/5。∵相似三角形面积的比等于相似比的平方，且S_△ADE=4，∴(S_△ADE)/S_△ABC=(2/5)²=4/25。即4/S_△ABC=4/25，解得S_△ABC=25。答：△ABC的面积为25。题后反思：本题是相似三角形性质应用的基础题，难度不大，但非常典型。*关键突破口：“DE∥BC”直接引出相似。*易错点：相似比的确定。部分同学可能会错误地将AD:DB直接当作相似比，这是没有理解相似比是“对应边的比”，此处应为AD:AB。*方法提炼：看到平行线，联想到相似；已知面积求面积，必用面积比等于相似比的平方。（二）模型应用与转化思想例题2：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高。若AC=6，BC=8，求AD和CD的长。思路分析：题目给出了直角三角形及其斜边上的高，这是非常典型的“母子型相似”（或射影定理）模型。在Rt△ABC中，CD⊥AB于D，则有△ACD∽△ABC∽△CBD。我们的目标是求AD和CD的长。已知AC和BC的长，可以先求出斜边AB的长，然后利用相似三角形的性质或射影定理来求解。射影定理是基于相似推导出来的结论，其内容为：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，则有：1.AC²=AD·AB2.BC²=BD·AB3.CD²=AD·BD应用射影定理可以更直接地解决问题。当然，也可以通过证明△ACD∽△ABC，得到对应边成比例来求解。详细解答：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，根据勾股定理，AB=√(AC²+BC²)=√(6²+8²)=√(36+64)=√100=10。∵CD是斜边AB上的高，∴∠ADC=∠ACB=90°。又∵∠A=∠A（公共角），∴△ACD∽△ABC（AA判定定理）。∴AD/AC=AC/AB（相似三角形对应边成比例）。即AD/6=6/10，解得AD=(6×6)/10=36/10=18/5=3.6。同样，由△ACD∽△ABC，可得CD/BC=AC/AB。即CD/8=6/10，解得CD=(8×6)/10=48/10=24/5=4.8。（或利用面积法：S_△ABC=(AC·BC)/2=(AB·CD)/2，即(6×8)/2=(10·CD)/2，也可解得CD=24/5）。答：AD的长为18/5，CD的长为24/5。题后反思：本题考查了直角三角形斜边上的高所构成的相似三角形（母子型相似）的性质应用。*关键突破口：识别“母子型相似”模型，或直接运用射影定理。*方法提炼：对于“双垂直”模型（直角三角形+斜边上的高），要高度敏感，相似关系是现成的，射影定理的三个公式可以快速解决线段长度问题。面积法也是求解高线长度的常用技巧，应灵活掌握。*拓展：若求BD的长，可利用BC²=BD·AB或AB-AD求得。（三）动态几何与分类讨论例题3：如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点P从点B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1个单位/秒；同时点Q从点C出发沿CB方向向点B匀速运动，速度为2个单位/秒。设运动时间为t秒（0<t<3）。连接PQ，当t为何值时，△BPQ与△BAC相似？思路分析：这是一道动态几何背景下的相似三角形判定问题。题目中涉及两个动点P、Q，它们的运动速度和方向已知，运动时间为t。我们需要找出当t为何值时，△BPQ与△BAC相似。首先，我们需要用含t的代数式表示出相关线段的长度。BP是点P运动的路程，速度为1，时间为t，所以BP=t。QC是点Q运动的路程，速度为2，时间为t，所以QC=2t，那么QB=BC-QC=6-2t。△BAC是等腰三角形，AB=AC=5，BC=6。△BPQ中，BP=t，BQ=6-2t，∠B是公共角！这是一个非常重要的条件。因为∠B是△BPQ和△BAC的公共角，所以要使这两个三角形相似，根据相似三角形的判定定理，有两种情况：1.情况一：夹∠B的两边对应成比例，即BP/BA=BQ/BC。2.情况二：夹∠B的两边对应成比例，即BP/BC=BQ/BA。（注意：这里不能用AA来判定，因为除了∠B，另一个角是否相等并不明确，所以只能依据SAS来考虑，而SAS的角必须是夹角）。分别根据这两种情况列出关于t的方程，求解并检验t的值是否在给定的范围内（0<t<3）即可。详细解答：根据题意，BP=t，QC=2t，则BQ=BC-QC=6-2t。∵AB=AC=5，∴△ABC是等腰三角形，∠B=∠C。在△BPQ和△BAC中，∠B是公共角。要使△BPQ∽△BAC，有以下两种情况：情况一：BP/BA=BQ/BC即t/5=(6-2t)/6方程两边同时乘以30（5和6的最小公倍数）得：6t=5(6-2t)6t=30-10t6t+10t=3016t=30t=30/16=15/8=1.875∵0<15/8<3，∴t=15/8符合题意。情况二：BP/BC=BQ/BA即t/6=(6-2t)/5方程两边同时乘以30（6和5的最小公倍数）得：5t=6(6-2t)5t=36-12t5t+12t=3617t=36t=36/17≈2.1176∵0<36/17<3，∴t=36/17也符合题意。综上所述，当t=15/8秒或t=36/17秒时，△BPQ与△BAC相似。题后反思：本题是动态问题与相似三角形判定的综合应用，重点考查了分类讨论思想。*关键突破口：抓住“公共角∠B”，从而确定只能利用SAS判定相似，并由此引发两种对应边成比例的情况。*易错点：*忽略“对应”关系，只考虑一种情况，导致漏解。*未能正确用含t的代数式表示BQ的长度。*解出t后，忘记检验其是否在给定的取值范围（0<t<3）内。*方法提炼：对于有公共角或已知一角相等的两个三角形相似问题，若要用SAS判定，务必考虑清楚对应边的两种可能比例关系。动态问题中，用变量t表示线段长度是常用手段，建立方程求解是核心。（四）综合应用与辅助线构造例题4：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=8，AD=24，BC=26。点P从A出发，以1个单位/秒的速度向D运动；点Q从C出发，以3个单位/秒的速度向B运动。P、Q同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动。设运动时间为t秒。问：在P、Q运动过程中，是否存在某一时刻t，使得以P、D、Q、C为顶点的四边形中有两个三角形相似？若存在，求