沪教版6年级数学1.1：整数与整除的意义

沪教版6年级数学1.1：整数与整除的意义同学们，进入六年级，我们的数学学习将迈入一个新的阶段。今天我们要探讨的“整数与整除”，是整个代数学习的基石，许多后续知识，比如分数、小数的运算，乃至更复杂的方程求解，都离不开对这些基本概念的深刻理解。让我们一起静下心来，仔细琢磨这些看似简单却至关重要的数学概念。一、整数的意义：我们身边的数字世界我们每天都在和数字打交道。从早晨醒来看到的时间，到上学路上经过的公交车线路号，再到课堂上回答问题的次数……这些数字中，有一类非常基础且重要，那就是整数。那么，究竟什么是整数呢？简单来说，整数包括我们熟悉的正整数、零以及负整数。1.正整数：像1，2，3，4……这样的数，它们是用来表示物体个数的数，也是我们最早认识的数。你有3个苹果，教室里有42张桌子，这些数量都是用正整数来表示的。正整数的个数是无限的，没有最大的正整数。2.零：零记作“0”。它是一个特殊的数，它表示“没有”，比如篮子里一个苹果也没有，就可以说苹果的数量是0。但零的意义不止于此，它还可以表示起点，比如我们常用的直尺刻度，0就表示测量的起点；它也可以作为正负数的分界点。需要特别注意的是，0既不是正数，也不是负数。3.负整数：在我们的生活中，有时会遇到一些与“增加”相反的“减少”情况，或者需要表示与某个标准量相反的量。这时，负整数就派上用场了。比如，温度低于零度时，我们会说零下5摄氏度，记作-5℃；如果小明向西走了10米，我们可以规定向东为正，那么向西10米就可以表示为-10米。负整数就是在正整数前面加上一个“-”号，如-1，-2，-3……同样，负整数的个数也是无限的，没有最小的负整数。所以，整数就是由正整数、零和负整数组成的一个大家庭。我们可以把它们简单记为：…，-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4，…（注意省略号表示这个序列向两端无限延伸）。二、整除的意义：精确分配的学问有了整数的概念，我们再来研究整数之间的一种特殊关系——整除。在日常生活中，我们常常需要把一些物品平均分配。比如，把12个苹果平均分给3个小朋友，每个小朋友能得到4个，刚好分完，没有剩余。这种“刚好分完”的情况，在数学上就可以用“整除”来描述。1.整除的定义整除的严格定义是：整数a除以整数b（b≠0），如果除得的商是整数且没有余数（或者说余数为零），我们就说a能被b整除，或者说b能整除a。这里面有几个关键点需要我们牢牢记住：*被除数a和除数b都必须是整数。而且，除数b绝对不能为0，因为0做除数是没有意义的。*商必须是整数。如果商是小数或者分数，那就不能称之为整除。*余数必须为零。这是“刚好分完”的数学表达。例如：*12÷3=4。这里，被除数12是整数，除数3是整数（且不为0），商4是整数，余数为0。所以我们说：12能被3整除，或者3能整除12。*15÷5=3。同理，15能被5整除，5能整除15。反过来说，如果整数a除以整数b（b≠0），商不是整数，或者有余数且余数不为0，那么就不能说a能被b整除，或者b能整除a。例如：*10÷3≈3.333…，商不是整数，所以10不能被3整除。*7÷2=3……1，有余数1且不为0，所以7不能被2整除。2.因数与倍数的概念当a能被b整除时，我们就可以引入两个新的概念：倍数和因数（也称为约数）。如果a能被b整除，那么：*a叫做b的倍数。*b叫做a的因数（或约数）。例如，因为12能被3整除，所以12是3的倍数，3是12的因数。同样，12也是4的倍数，4也是12的因数。需要强调的是，因数和倍数是相互依存的关系，它们是成对出现的，不能单独说某个数是倍数，或者某个数是因数。我们只能说“谁是谁的倍数”，“谁是谁的因数”。比如，我们可以说“12是3的倍数”，但不能孤立地说“12是倍数”；可以说“3是12的因数”，但不能说“3是因数”。另外，在小学阶段，我们讨论因数和倍数时，通常是指在正整数范围内（一般不包括0）。这一点同学们要特别留意。三、如何判断整除：一些实用的小技巧判断一个数能否被另一个数整除，最直接的方法就是进行除法运算，看商是否为整数且余数是否为0。但对于一些特殊的数，我们有更快捷的判断方法，这些方法能帮助我们提高计算速度和准确性，在后续学习中会经常用到：*能被2整除的数：个位上是0、2、4、6、8的整数都能被2整除。例如：10、22、34、46、58等。*能被5整除的数：个位上是0或5的整数都能被5整除。例如：15、20、35、40、55等。*能被10整除的数：个位上是0的整数能被10整除。其实，能被10整除的数一定既能被2整除，也能被5整除。例如：20、30、100等。*能被3整除的数：一个整数的各个数位上的数字之和能被3整除，那么这个数就能被3整除。例如：123，1+2+3=6，6能被3整除，所以123能被3整除。*能被9整除的数：一个整数的各个数位上的数字之和能被9整除，那么这个数就能被9整除。例如：189，1+8+9=18，18能被9整除，所以189能被9整除。这些规律是我们通过大量计算总结出来的，同学们在理解的基础上记忆，并尝试用整除的定义去验证一下，会记得更牢固。四、常见错误辨析在学习整数与整除的概念时，同学们常常会出现一些理解上的偏差，这里列举几个常见的错误，希望能引起大家的注意：1.混淆“除尽”和“整除”：“除尽”的范围比“整除”更广。整除要求被除数、除数（不为0）、商都是整数，且余数为0。而“除尽”只要求商是有限小数，余数为0即可，被除数和除数不一定是整数。例如，4÷2=2，这既是除尽也是整除；而4÷5=0.8，这是除尽，但不是整除，因为商不是整数。2.忽略除数不能为0：在讨论整除、因数和倍数时，除数b一定不能为0。所以，我们不能说“0能被任何数整除”，也不能说“一个数是0的倍数”或“0是某个数的因数”。3.将“整除”与“除”混为一谈：“a能被b整除”表示的是a÷b的结果是整数且无余数；而“a除b”列式是b÷a。两者的含义和运算顺序是不同的，要注意区分“被整除”和“除”这两个词语。4.认为“倍数”就是“变大”，“因数”就是“变小”：虽然一个数的倍数（除了它本身和0外）通常比它大，因数（除了它本身外）通常比它小，但这不是绝对的。例如，6是6的倍数（也是它本身），6也是6的因数（也是它本身）。0是任何非零整数的倍数（但我们一般不这样讨论）。五、学以致用：巩固与提升理解了整数和整除的意义之后，关键在于运用这些知识去解决实际问题和进行后续的数学学习。下面我们来做一些简单的练习，检验一下大家的掌握程度：判断题（对的打“√”，错的打“×”）：1.整数就是正整数和负整数。（）2.0是最小的整数。（）3.18能被6整除，所以18是倍数，6是因数。（）4.个位上是0的数一定能被2和5整除。（）5.因为1.5÷0.3=5，所以1.5能被0.3整除。（）选择题：1.下列各数中，不是整数的是（）A.-5B.0C.0.8D.1002.下列算式中，表示整除的是（）A.15÷0.5=30B.24÷6=4C.10÷3≈3.33D.7÷2=3.53.下列说法正确的是（）A.一个数的倍数一定比它的因数大B.因为4÷2=2，所以4是倍数，2是因数C.能被2整除的数都是偶数D.没有最大的整数，也没有最小的整数填空题：1.在15，-2，0，+7，-3.5，2023这些数中，整数有（）。2.12的因数有（）。3.能同时被2、3、5整除的最小两位数是（）。（思考与解答：判断题1.×（少了0）2.×（没有最小的整数）3.×（倍数和因数不能单独说）4.√5.×（被除数和除数不是整数）；选择题1.C2.B3.CD；填空题1.15，-2，0，+7，20232.1，2，3，4，6，123.30）结语整数与整除的意义是小学数学中非