初中数学《二次根式》专项练习题

初中数学《二次根式》专项练习题二次根式是初中数学代数部分的重要内容，它既是对平方根概念的深化，也是后续学习一元二次方程、函数等知识的基础。掌握二次根式的概念、性质及运算，对于提升代数运算能力和解决综合问题至关重要。本专项练习题旨在帮助同学们巩固二次根式的相关知识，提升解题技能。一、知识要点梳理在进行练习之前，我们先来简要回顾一下二次根式的核心知识点，这将有助于我们更高效地完成后续练习。1.二次根式的定义：形如`√a(a≥0)`的式子叫做二次根式。其中，`a`称为被开方数，且被开方数必须是非负数。2.二次根式的性质：*`√a(a≥0)`是非负数，即`√a≥0`。*`(√a)²=a(a≥0)`。*`√(a²)=|a|`，具体来说：若`a≥0`，则`√(a²)=a`；若`a<0`，则`√(a²)=-a`。3.二次根式的运算：*乘法法则：`√a·√b=√(ab)(a≥0,b≥0)`。*除法法则：`√a/√b=√(a/b)(a≥0,b>0)`。*加减法：先将二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式（被开方数相同的最简二次根式）。*混合运算：遵循实数的运算顺序和运算律。二、专项练习题（一）基础巩固1.判断下列各式是否为二次根式，并说明理由：*(1)`√5`*(2)`√(-3)`*(3)`√(x²+1)`*(4)`√(2x)(x<0)`2.求下列二次根式中字母`x`的取值范围：*(1)`√(x-2)`*(2)`√(1/(x+3))`*(3)`√(x²-4)`3.化简下列各式：*(1)`√(16)`*(2)`√(a²)(a<0)`*(3)`(√5)²`*(4)`√(25x⁴)(x≥0)`4.计算：*(1)`√27+√12`*(2)`√8-√(1/2)`*(3)`√3×√6`*(4)`√(24)÷√(6)`5.将下列各式分母有理化：*(1)`1/√2`*(2)`√3/√5`*(3)`2/(√3-1)`（二）能力提升6.计算：*(1)`(√3+√2)(√3-√2)`*(2)`(2√5-√3)²`*(3)`(√12+√8)(√3-√2)`7.已知`x=√3+1`，求代数式`x²-2x+2`的值。8.若`√(a-1)+|b+2|=0`，求`(a+b)^2023`的值。9.比较大小：*(1)`3√2`与`2√3`*(2)`√5-1`与`1`10.已知长方形的长为`√18`cm，宽为`√8`cm，求这个长方形的周长和面积。（三）拓展延伸11.化简：`√(x²-4x+4)+√(x²-6x+9)`，其中`2<x<3`。12.已知`a+1/a=√5`，求`a-1/a`的值。(提示：考虑平方关系)13.观察下列等式：`√(1+1/3)=2√(1/3)`，`√(2+1/4)=3√(1/4)`，`√(3+1/5)=4√(1/5)`，...根据以上规律，写出第`n`个等式（用含`n`的代数式表示，`n`为正整数），并验证其正确性。三、参考答案与提示（一）基础巩固1.(1)是，因为被开方数5是非负数。(2)不是，因为被开方数-3是负数。(3)是，因为`x²+1`恒为正数。(4)不是，因为当`x<0`时，`2x`是负数。2.(1)`x≥2`(被开方数非负)(2)`x>-3`(被开方数为正，且分母不为零)(3)`x≥2`或`x≤-2`(被开方数非负，即`x²≥4`)3.(1)4(2)`-a`(因为`a<0`)(3)5(4)`5x²`4.(1)`3√3+2√3=5√3`(2)`2√2-(√2)/2=(3√2)/2`(3)`√(3×6)=√18=3√2`(4)`√(24÷6)=√4=2`5.(1)`√2/2`(2)`√15/5`(3)`(2)(√3+1)/[(√3-1)(√3+1)]=(2)(√3+1)/(3-1)=√3+1`（二）能力提升6.(1)`(√3)²-(√2)²=3-2=1`(平方差公式)(2)`(2√5)²-2×2√5×√3+(√3)²=20-4√15+3=23-4√15`(完全平方公式)(3)`√12×√3-√12×√2+√8×√3-√8×√2=√36-√24+√24-√16=6-4=2`(多项式乘法法则，注意符号)7.提示：由`x=√3+1`得`x-1=√3`，两边平方得`(x-1)²=3`，即`x²-2x+1=3`，所以`x²-2x=2`，代入`x²-2x+2`得`2+2=4`。8.提示：因为`√(a-1)≥0`，`|b+2|≥0`，且它们的和为0，所以`a-1=0`，`b+2=0`，解得`a=1`，`b=-2`。则`(a+b)^2023=(1-2)^2023=(-1)^2023=-1`。9.(1)`3√2=√(9×2)=√18`，`2√3=√(4×3)=√12`，因为`√18>√12`，所以`3√2>2√3`。(2)`√5≈2.236`，所以`√5-1≈1.236>1`。10.周长：`2(√18+√8)=2(3√2+2√2)=2(5√2)=10√2`cm；面积：`√18×√8=√(18×8)=√144=12`cm²。（三）拓展延伸11.提示：`√(x²-4x+4)=√(x-2)²=|x-2|`，`√(x²-6x+9)=√(x-3)²=|x-3|`。因为`2<x<3`，所以`x-2>0`，`x-3<0`。原式`=(x-2)+(3-x)=1`。12.提示：对`a+1/a=√5`两边平方得`a²+2+1/a²=5`，所以`a²+1/a²=3`。则`(a-1/a)²=a²-2+1/a²=3-2=1`，所以`a-1/a=±1`。13.第n个等式：`√(n+1/(n+2))=(n+1)√(1/(n+2))`验证：右边`=(n+1)√(1/(n+2))=√[(n+1)²×1/(n+2)]=√[(n²+2n+1)/(n+2)]`。左边`√(n+1/(n+2))=√[(n(n+2)+1)/(n+2)]=√[(n²+2n+1)/(n+2)]`。左边=右边，等式成立。四、结语二次根式的学习，关键在于