专题09 利用导函数研究函数的隐零点问题 (典型例题+题型归类练)（原卷版）

专题09利用导函数研究函数的隐零点问题(典型例题+题型归类练)一、必备秘籍1、不含参函数的隐零点问题已知不含参函数，导函数方程的根存在，却无法求出，设方程的根为，则有：①关系式成立；②注意确定的合适范围.2、含参函数的隐零点问题已知含参函数，其中为参数，导函数方程的根存在，却无法求出，设方程的根为，则有①有关系式成立，该关系式给出了的关系；②注意确定的合适范围，往往和的范围有关.3、函数零点的存在性（1）函数零点存在性定理：设函数在闭区间上连续，且，那么在开区间内至少有函数的一个零点，即至少有一点，使得.①若，则的零点不一定只有一个，可以有多个②若，那么在不一定有零点③若在有零点，则不一定必须异号(3)若在上是单调函数且连续，则在的零点唯一.二、典型例题例题1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数．（1）求的单调区间和极值；（2）若存在实数，使得成立，求整数的最小值．第(2)问解题思路第1步：变量分离，等价转化：存在实数，使得成立，优先考察变量分离法，将代入：等价转化为：第2步：构造函数：，则目标转化为：第3步：借助导数研究：（不容易确定正负，且含有，通常进行二阶导）；第4步：求二阶导：，显然，从而说明在上单调递增第5步：借助零点存在定理，找出的根：,，所以：存在，使得，即，也即第6步：得到的单调性：当时，，单调递减.当时，,单调递增.第7步：求：当时，所以第8步：得到结论：由题意，所以整数的最小值为1.例题2．（2022·甘肃·金昌市教育科学研究所高三阶段练习（理））已知函数（1）若，求函数的单调区间；（2）若存在，使成立，求整数的最小值．第(2)问解题思路第1步：变量分离，等价转化：存在，使成立，优先考察变量分离法，将代入：，由于等价转化为：第2步：构造函数：，则目标转化为：第3步：借助导数研究：（不容易确定正负，且含有，通常进行二阶导）；令：第4步：求二阶导：，在上单调递增第5步：借助零点存在定理，找出的根：，，根据零点存在性定理，可知在上有唯一零点，设该零点为，则，且，即，第6步：得到的单调性：当时，，单调递减.当时，,单调递增.第7步：求：，第8步：得到结论：可知，又，，∴的最小值为5．题型归类练1．（2021·山西·太原五中高三阶段练习（理））设函数.(1)求函数的单调增区间；(2)当时，记，是否存在整数，使得关于x的不等式有解？若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由.（参考数据：）2．（2021·广东·广州市协和中学高二期中）设函数，其导函数为.（1）求函数的单调区间；（2）若，为整数，且当时，，求的最大值.3．（2022·福建莆田·高二期末）已知函数．(1)若是的极值点，求a；(2)当时，证明：．4．（2022·辽宁沈阳·高二期末）设函数，，其导函数为．(1)求函数的单调区间；(2)若，为整数，且当，，求的最大值．5．（2022·广东珠海·高二期末）已知，函数(1)讨论函数在上的单调性；(2)讨论函数在上值是否存在最小？若存在，求出的值域；若不存在，请说明理由.6．（2022·四川省成都市新都一中高二期末（理））已知函数．(1)求的单调区间；(2)若对任意的，，不等式恒成立，求整数k的最大值．7．（2022·河北衡水·高三阶