2026年数学建模竞赛实践题

2026年数学建模竞赛实践题一、线性规划问题（2题，每题25分）1.1某城市公共交通优化问题（25分）背景：某中等城市现有3条公交线路（A、B、C）和4个主要换乘站（1、2、3、4）。为缓解交通压力，市政府计划增加部分公交线路，但预算有限。根据市民出行调查，各线路需求量及换乘矩阵如下：-线路A、B、C的日均客流量分别为2000、1500、1800人次；-换乘矩阵（单位：万人次/天）：||1站|2站|3站|4站||-|--|--|--|--||A|0.1|0.2|0.1|0.3||B|0.2|0.1|0.4|0.2||C|0.3|0.3|0.2|0.1|-新增线路成本：每条线路需投入1000万元，现有线路维护成本为200万元/天；-目标：在预算2000万元内，通过调整线路运行方案，最大化总出行效率（效率=总客流量×换乘系数之和）。问题：（1）建立数学模型，求解最优线路配置方案；（2）若新增线路D，其日均客流量为1200人次，换乘矩阵新增一行（D→1站0.2、2站0.1、3站0.4、4站0.3），预算增加至2500万元，方案如何调整？1.2某农场资源优化配置问题（25分）背景：某平原农场有耕地8000亩，可投入资金200万元。农场计划种植水稻、玉米和蔬菜三种作物，其单位面积投入、产量及利润如下表：|作物|单位面积投入（万元/亩）|单位产量（吨/亩）|单位利润（万元/吨）||-|--|-|-||水稻|0.5|0.8|0.3||玉米|0.3|1.0|0.2||蔬菜|0.8|0.5|0.6|-水稻需灌溉水量限制：每亩需20立方米，总水量不超过100万立方米；-玉米需施肥限制：每亩需复合肥50千克，总需求不超过40吨；-市场需求：水稻需至少2000吨，玉米需至少3000吨。问题：（1）若仅考虑利润最大化，如何安排种植计划？（2）若政府补贴水稻每吨0.1万元，玉米每吨0.05万元，补贴资金不超过50万元，方案如何变化？二、整数规划问题（1题，30分）2.某工厂设备生产调度问题（30分）背景：某机械厂生产三种产品（P1、P2、P3），需在三种设备（D1、D2、D3）上加工。各产品单位利润、设备工时及需求限制如下表：|产品|单位利润（万元）|D1工时（小时/件）|D2工时（小时/件）|D3工时（小时/件）|需求限制（件）||||-|-|-|-||P1|5|2|1|3|100||P2|8|1|2|2|150||P3|6|3|1|1|120|-设备限制：D1总工时≤800，D2总工时≤600，D3总工时≤700；-策略：若生产某产品，需至少生产20件。问题：（1）建立数学模型，求解最大利润方案；（2）若D1工时增加至1000，最优方案是否改变？若改变，变化幅度是多少？三、动态规划问题（1题，25分）3.某城市多阶段交通路径规划问题（25分）背景：某城市有6个重要区域（1-6），市民出行需依次经过3个区域（如1→X→6）。已知任意两区域间最短距离（公里）如下表：||1|2|3|4|5|6||-|--|--|--|--|--|--||1|-|3|5|6|7|8||2|3|-|4|2|3|5||3|5|4|-|7|5|4||4|6|2|7|-|4|3||5|7|3|5|4|-|2||6|8|5|4|3|2|-|-约束：若经过某区域，则必须按顺序经过其相邻区域（如经过2后可到4或5）；-目标：求从1出发到6的最短路径。问题：（1）用动态规划求解最短路径及距离；（2）若新增区域7（距离矩阵：7→1-2-3-4-5-6分别为4-5-6-5-4-3公里），最短路径是否变化？四、图论与网络流问题（1题，30分）4.某物流配送网络优化问题（30分）背景：某电商公司有3个仓库（W1、W2、W3）和4个配送中心（D1-D4），货物需经配送中心再分送给客户。已知物流网络（单位：元/吨）及容量限制如下：-仓库出货量：W1-1000吨，W2-1200吨，W3-800吨；-配送需求：D1-800吨，D2-900吨，D3-700吨，D4-600吨；-网络图：W1→D1（50,200），D1→C1（30,150）；W1→D2（40,150），D2→C2（25,200）；W2→D3（35,200），D3→C3（20,100）；W3→D4（45,100），D4→C4（15,150）；（括号内分别为容量和单位物流成本）问题：（1）建立最小费用流模型，求总物流成本最低的配送方案；（2）若D3需求增加200吨，最低成本是否变化？若变化，增加多少？五、概率统计与随机模型问题（1题，30分）5.某旅游景点游客流量预测与资源配置问题（30分）背景：某景区2020-2025年游客日流量数据（万人/天）如下：|年份|流量|||||2020|1.2||2021|1.5||2022|1.8||2023|2.0||2024|2.1||2025|2.3|-现象：流量呈非线性增长，节假日弹性系数为1.5；-资源约束：导游/讲解员≤30人，餐饮摊位≤50个；-预测：若2026年游客增长率为5%，求最可能流量范围及资源配置建议。问题：（1）用指数平滑法预测2026年流量；（2）若某日游客流量服从正态分布（均值为2.1万人，标准差0.3万），需准备多少餐饮摊位才能满足99%需求？六、微分方程与优化问题（1题，25分）6.某传染病防控策略优化问题（25分）背景：某城市人口100万，传染病传播率与易感者数量成正比（β=0.002），治愈率与感染者数量成正比（γ=0.1）。若无干预，感染人数将呈指数增长。政府可采取隔离措施（降低β至0.001）或疫苗接种（降低易感者基数至90%），成本分别为5元/人·天和20元/人。问题：（1）建立传染病传播模型，求无干预下感染人数达10万所需时间；（2）若预算为500万元，如何分配隔离与接种资源使总成本最低且感染人数控制在5万以内？答案与解析1.1某城市公共交通优化问题（25分）（1）模型：设线路A、B、C运行比例分别为x1、x2、x3（0≤xi≤1），新增线路y（0或1）。目标函数：MaxZ=2000x1+1500x2+1800x3+1200y-200(x1+x2+x3+y)约束：-预算：1000y+200(x1+x2+x3)≤2000-客流平衡：x1+x2+x3+y=1-非负：xi,y≥0（2）新增线路分析：2500万元预算下，最优解为y=1，x1=0.5,x2=0.25,x3=0.25，总效率提升12%。1.2某农场资源优化配置问题（25分）（1）模型：设种植面积分别为a,b,c（亩），目标函数：MaxZ=0.24a+0.2b+0.3c约束：-资金：0.5a+0.3b+0.8c≤200-水量：20a≤100万-肥料：50b≤40-需求：a≥2000,b≥3000（2）补贴后模型：引入补贴系数，最优解a=2000,b=3000,c=150，利润增加15万元。2.某工厂设备生产调度问题（30分）（1）模型：设产量分别为a,b,c（件），目标函数：MaxZ=5a+8b+6c约束：-工时：2a+b+3c≤800-整数：a,b,c≥20（2）D1增加后最优解不变（a=100,b=200,c=150），因D1未成为瓶颈。3.某城市多阶段交通路径规划问题（25分）（1）动态规划递推：f(1)=0,f(2)=3,f(3)=min(3+2,5+4)=7f(4)=min(6+3,2+5,7+4)=9f(5)=min(7+2,3+4,5+3)=7f(6)=min(8+3,5+2,4+5,3+2)=8最优路径：1→2→4→6（2）新增区域后最优路径为1→3→4→6，因7→4更短。4.某物流配送网络优化问题（30分）（1）最小费用流模型：MaxFlow=1000+1200+800-800-900-700-600=1000MinCost=50200+40150+35200+45100+30150+25200+20100+15150=22.5万（2）D3增加后最优成本增加3万元，因D3→C3容量不足。5.某旅游景点游客流量预测与资