几何题型经典例题合集

几何题型经典例题合集几何学是数学的基石之一，它不仅锻炼我们的逻辑思维能力，也培养我们的空间想象能力。在几何学习的过程中，例题的研习与琢磨至关重要。一道好的例题，往往能串联起多个知识点，揭示解题的通用思路与技巧。本文精选了几何学习中若干经典题型，并附上详细解析，希望能为同学们的几何学习提供有益的参考。一、三角形相关经典题型三角形作为最基本的平面图形，其性质与判定是整个平面几何的基础。以下例题涵盖了三角形全等、相似、等腰三角形及直角三角形的核心考点。（一）等腰三角形性质与判定的综合应用例题1：在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD。求∠A的度数。分析：题目中给出了多个等腰三角形的条件（AB=AC，BD=BC，AD=BD），因此可以通过设未知数，利用等腰三角形两底角相等以及三角形内角和定理来求解。解答：设∠A=x。因为AD=BD，所以∠ABD=∠A=x（等边对等角）。则∠BDC=∠A+∠ABD=x+x=2x（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和）。又因为BD=BC，所以∠BDC=∠BCD=2x（等边对等角）。因为AB=AC，所以∠ABC=∠BCD=2x（等边对等角）。在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，即x+2x+2x=180°。解得5x=180°，x=36°。故∠A的度数为36°。点评：本题的关键在于识别图中多个等腰三角形，并灵活运用“等边对等角”以及“三角形外角性质”，通过设未知数建立方程求解角度，体现了几何问题中代数方法的应用。（二）直角三角形斜边中线性质的应用例题2：已知：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，E、F分别在AC、BC上，且DE⊥DF。求证：AE²+BF²=EF²。分析：要证明的结论AE²+BF²=EF²形似勾股定理的结论，暗示我们可能需要通过构造直角三角形来实现。已知D是斜边AB的中点，联想到直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，即CD=AD=BD，这可能是构造全等或平移线段的关键。解答：延长FD至点G，使DG=DF，连接AG、EG。因为D是AB的中点，所以AD=BD。在△ADG和△BDF中，AD=BD，∠ADG=∠BDF（对顶角相等），DG=DF，所以△ADG≌△BDF（SAS）。因此，AG=BF，∠DAG=∠DBF。因为∠DBF+∠BAC=90°，所以∠DAG+∠BAC=90°，即∠EAG=90°。又因为DE⊥DF，DG=DF，所以ED是线段GF的垂直平分线，因此EG=EF（线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等）。在Rt△EAG中，AE²+AG²=EG²。因为AG=BF，EG=EF，所以AE²+BF²=EF²。点评：本题巧妙地利用了中点的条件进行倍长中线（或构造中心对称图形），将分散的线段BF转移到AG，从而与AE构成直角三角形，再结合垂直平分线的性质，最终利用勾股定理得出结论。这种“补形”或“转移线段”的思想在几何证明中尤为重要。二、四边形相关经典题型四边形特别是特殊四边形（平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形）的性质与判定是几何证明与计算的重点内容，其题型多变，综合性较强。（一）平行四边形的性质与判定综合例题3：如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，连接AF、BE交于点G，连接CE、DF交于点H。求证：四边形EGFH是平行四边形。分析：要证四边形EGFH是平行四边形，可根据平行四边形的判定定理，如“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”或“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”等。已知ABCD是平行四边形，E、F是中点，可先证相关三角形全等或利用中位线性质得出线段平行或相等的关系。解答：因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD=BC，AD∥BC。因为E、F分别是AD、BC的中点，所以AE=ED=1/2AD，BF=FC=1/2BC，因此AE=FC，ED=BF。所以四边形AECF和四边形EBFD都是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。因此，AF∥EC，BE∥FD（平行四边形的对边平行）。即FG∥EH，EG∥FH。所以四边形EGFH是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）。点评：本题主要考查平行四边形的性质（对边平行且相等）和判定。通过证明四边形AECF和EBFD是平行四边形，得出AF∥EC和BE∥FD，从而得到EGFH的两组对边分别平行，思路清晰，充分利用了平行四边形的性质与判定的互逆关系。（二）菱形的性质与勾股定理结合例题4：已知菱形ABCD的边长为5，对角线AC、BD相交于点O，AC=6，求菱形ABCD的面积及高。分析：菱形的面积可以用对角线乘积的一半来计算，因此首先需要求出另一条对角线BD的长度。菱形的对角线互相垂直平分，这就构成了直角三角形AOB，其中OA=AC/2，AB为菱形的边长，可通过勾股定理求出OB，进而得到BD。面积求出后，根据“面积=底×高”可求出高。解答：因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD，OA=OC=1/2AC=3，OB=OD=1/2BD，AB=5。在Rt△AOB中，OA²+OB²=AB²，即3²+OB²=5²，解得OB²=16，OB=4（OB>0）。所以BD=2OB=8。菱形ABCD的面积S=1/2×AC×BD=1/2×6×8=24。设菱形的高为h，因为菱形的面积也可以表示为底×高，即AB×h=24，所以5h=24，解得h=24/5。点评：本题直接应用了菱形的核心性质：对角线互相垂直平分，以及菱形面积的两种计算方法。熟练掌握特殊四边形的性质是解决此类问题的前提。三、圆相关经典题型圆的知识体系庞大，包括圆的基本性质、与圆有关的位置关系、圆中的计算等。其题型往往综合性强，对逻辑推理能力要求较高。（一）垂径定理的应用例题5：已知⊙O的半径为5，弦AB的长为8，求圆心O到弦AB的距离及弦AB所对的劣弧的中点到AB的距离。分析：垂径定理是解决圆中弦长、弦心距、半径关系的核心定理。“垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧”，因此，过圆心作弦AB的垂线，垂足为M，则AM=BM=AB/2，在Rt△OAM中，可由勾股定理求出OM（圆心到弦的距离）。劣弧AB的中点C与圆心O、垂足M三点共线，CM的长度即为所求距离。解答：过点O作OM⊥AB于点M，连接OA。根据垂径定理，AM=BM=1/2AB=1/2×8=4。在Rt△OAM中，OA=5，AM=4，所以OM=√(OA²-AM²)=√(5²-4²)=√(25-16)=√9=3。即圆心O到弦AB的距离为3。设劣弧AB的中点为C，连接OC。因为C是劣弧AB的中点，所以OC⊥AB（平分弧的直径垂直于弧所对的弦），因此点C、O、M在同一条直线上。所以CM=OC-OM=5-3=2。即弦AB所对的劣弧的中点到AB的距离为2。点评：垂径定理及其推论是处理圆中弦的问题的“金钥匙”，其基本图形是“半径、弦心距、半弦长”构成的直角三角形，已知其中两个量，可求第三个量。（二）切线的性质与判定例题6：如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AD垂直于过点C的切线，垂足为D。求证：AC平分∠DAB。分析：要证AC平分∠DAB，即证∠DAC=∠CAB。已知CD是⊙O的切线，根据切线的性质，切线垂直于过切点的半径，所以OC⊥CD。又AD⊥CD，故AD∥OC，从而可得∠DAC=∠ACO。而OC=OA（半径相等），所以∠ACO=∠CAB，等量代换即可得证。解答：连接OC。因为CD是⊙O的切线，C为切点，所以OC⊥CD（切线的性质定理）。又因为AD⊥CD，所以AD∥OC（垂直于同一条直线的两条直线平行）。因此，∠DAC=∠ACO（两直线平行，内错角相等）。因为OC=OA（⊙O的半径），所以∠ACO=∠CAB（等边对等角）。所以∠DAC=∠CAB，即AC平分∠DAB。点评：切线的性质定理（切线垂直于过切点的半径）是解决切线相关问题时添加辅助线（连接圆心和切点）的重要依据。本题通过构造平行线，将角进行转化，体现了“由线平行得角相等”和“由等边得角相等”的基本思路。总结几何学习的核心在于对基本概念、性质、定理的深刻理解和灵活运用。通过上述经典例题的分析与解答，我们可以看出，许多几何问题的解决都依赖于对图形特点的准确把握和对常用辅助线作法的熟练掌握。例如，遇到中点常考虑倍长中