2026年高考数学二轮复习专题02 不等式与复数（复习讲义）（解析版）

专题02不等式与复数

目录

01析·考情精解..............................................................................................................2

02构·知能框架..............................................................................................................3

03破·题型攻坚..............................................................................................................4

考点一不等式...........................................................................................................4

真题动向

知识1利用基本不等式求最值

必备知识知识2利用基本不等式比较大小

知识3不等式与函数综合

命题预测题型1利用基本不等式比较大小题型2利用基本不等式求最值

考点二复数...............................................................................................................9

真题动向

知识1复数的基础考点

必备知识

知识2复数的高级考点

命题预测题型1复数的基本考点题型2复数的高级考点

有关不等式和复数的天津高考试题，考查重点是不等式的性质和基本不等式及复数的

四则运算，考试形式分别以一道选择题为主，分值5分．近年来试题关于《不等式》

命题以不等式的性质为主,多与函数及其他有关最值等内容交汇,属于中档性题目，而关于

轨迹《复数》以考查复数的四则运算为主,偶尔与其他知识交汇、难度较小,属于基础性题

透视目，在解决这些问题时，要注意不等式性质及复数运算法则，复数基础性题目较多而

不等式综合性题目居多.不等式主要考查考生的逻辑思维能力。提升考生的逻辑推理

素养现。

考点2025年2024年2023年

T15，5分

考点不等式T14，5分

频次

总结

复数T10，5分T10，5分T10，5分

预计在2026年高考中，①不等式的性质和基本不等式这部分内容主要以选择题

2026或填空题的形式出现,这类题目主要考查逻辑思维能力和运算求解能力。

命题②以考查复数的四则运算为主,偶尔与其他知识交汇、难度较小,考查代数运算的

预测同时,主要涉及考查的概念有:复数的代数形式、共轭复数、复数的模、复数的几何意

义等,考查学生的逻辑推理、数学运算等学科核心素养不高。

考点一不等式

1．（2025·天津·高考真题，15，5分）若a,bR，对x[2,2]，均有(2ab)x2bxa10恒成立，

则2ab的最小值为

【答案】4

【详解】设t2ab，原题转化为求t的最小值，

原不等式可化为对任意的2x2，tx2t2axa10，

111

不妨代入x，得tt2aa10，得t4，

242

当t4时，原不等式可化为4x242axa10，

2

112

即2xa1a0，

24

21

观察可知，当a0时，2x10对2x2一定成立，当且仅当x取等号，

2

此时，a0,b4，说明t4时，a,b均可取到，满足题意，

故t2ab的最小值为4.

故答案为：4

11

2．（2023·天津·高考真题，14，5分）在ABC中，BC1，A60，ADAB,CECD，记ABa,ACb，

22

1

用a,b表示AE；若BFBC，则AEAF的最大值为．

3

1113

【答案】ab

4224

AEEDAD

【详解】空1：因为E为CD的中点，则EDEC0，可得，

AEECAC

两式相加，可得到2AEADAC，

111

即2AEab，则AEab；

242

1AFFCAC

空2：因为BFBC，则2FBFC0，可得，

3AFFBAB

得到AFFC2AFFBAC2AB，

21

即3AF2ab，即AFab.

33

1121122

于是AEAFabab2a5ab2b.

423312

记ABx,ACy，

22

1122125xy2

则AEAF2a5ab2b2x5xycos602y2x2y，

1212122

在ABC中，根据余弦定理：BC2x2y22xycos60x2y2xy1，

15xy19xy

于是AEAF2xy22，

122122

由x2y2xy1和基本不等式，x2y2xy12xyxyxy，

故xy1，当且仅当xy1取得等号，

13

则xy1时，AEAF有最大值.

24

1113

故答案为：ab；.

4224

3．（2017·天津·高考真题，6，5分）设x∈R，则2x0是1x11的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【详解】设p：若2-x0，则x2，

q：若1x11，则0x2；

则q表示的集合是p表示的集合真子集，

即2x0是1x11必要不充分条件，

故选：B．

1a

4．（2021·天津·高考真题，11，5分）若a0

,

b0，则b的最小值为．

ab2

【答案】22

【详解】a0

,

b0，

1a1a22

b2bb2b22，

ab2ab2bb

1a2

当且仅当且b，即ab2时等号成立，

ab2b

1a

所以2b的最小值为22.

ab

故答案为：22.

(x1)(2y1)

5．（2019·天津·高考真题，11，5分）设x0，y0，x2y4，则的最小值为.

xy

9

【答案】.

2

【详解】由x2y4，得x2y422xy，得xy2

(x1)(2y1)2xyx2y12xy5559

22，

xyxyxyxy22

等号当且仅当x2y，即x2,y1时成立．

9

故所求的最小值为．

2

6．（2019·天津·高考真题，11，5分）设xR，使不等式3x2x20成立的x的取值范围为.

2

【答案】(1,)

3

【详解】3x2x20，

即(x1)(3x2)0，

2

即1x，

3

2

故x的取值范围是(1,)．

3

(x1)(2y1)

7．（2019·天津·高考真题，12，5分）设x0,y0,x2y5，则的最小值为.

xy

【答案】43

(x1)(2y1)2xyx2y1

【详解】,

xyxy

x0,y0,x2y5,xy0,

2xy6223xy

43，

xyxy

3

当且仅当xy3，即x3,y1或x2,y时成立，

2

故所求的最小值为43．

知识1利用基本不等式求最值

1、基本不等式常用模型

nn

形式一：mx2mn(m0,n0)，当且仅当x时等号成立.

xm

nnn

形式二：mxm(xa)ma2mnma(m0,n0)，当且仅当xa时等号

xaxam

成立.

x11

(a0,c0)c

形式三：ax2bxcc2acb，当且仅当x时等号成立.

axba

x

mx(nmx)1mxnmxn2nn

形式四：x(nmx)（)2(m0,n0,0x)，当且仅当x

mm24mm2m

时等号成立.

2、双加配凑模型

11

模型：形如：已知ab1，求的最值

ambn

第一步：将条件配凑成分母的形式

ambn1mn

第二步：相乘利用基本不等式

111

ambn

1mnambn

3、利用均值不等式求最值遵循的原则：“一正二定三等”

（1）正：使用均值不等式所涉及的项必须为正数，如果有负数则考虑变形或使用其它方法

（2）定：使用均值不等式求最值时，变形后的一侧不能还含有核心变量.

（3）等：若能利用均值不等式求得最值，则要保证等号成立，要注意以下两点：

①若求最值的过程中多次使用均值不等式，则均值不等式等号成立的条件必须能够同时成立（彼此不冲突）

②若涉及的变量有初始范围要求，则使用均值不等式后要解出等号成立时变量的值，并验证是否符合初始

范围.

a

注意：形如yx(a0)的函数求最值时，首先考虑用基本不等式，若等号取不到，再利用该函数的

x

单调性求解．

4、几个重要的不等式

（1）a20aR,a0a0,a0aR.

ab

（2）基本不等式：如果a,bR，则ab(当且仅当“ab”时取“”).

2

1ab

特例：a0,a2;2（a,b同号）.

aba

（3）其他变形：

2

ab

①a2b2(沟通两和ab与两平方和a2b2的不等关系式)

2

a2b2

②ab(沟通两积ab与两平方和a2b2的不等关系式)

2

2

ab

③ab(沟通两积ab与两和ab的不等关系式)

2

2aba2b2

aba,bR

④重要不等式串：11即

22

ab

调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值(注意等号成立的条件).

知识2利用基本不等式比较大小

利用不等式的性质比较大小

思路1：核心技巧：应用不等式的性质时，注意保序和反序

如：①不等式两边同时乘以非负需要保序②不等式两边同时非负方需要保序

③不等式两边同时乘以负数需要反序④同号取倒反序

④同向不等式具有可加性，同向同正不等式具有可乘性

思路2：可以代值验证选项，有时需要代多组数据，相对麻烦，本人不推荐

知识3不等式与函数综合

1.函数单调性与不等式结合：利用一次/二次/指数/对数函数单调性，解形如f(g(x))>f(h(x))的不等式

（关键：先判断函数单调区间，再去掉对应法则f）。

2.函数最值与不等式恒成立/能成立问题：

恒成立：af(x)等价于af(x)max}；af(x)等价于af(x)min}

能成立：af(x)等价于af(x)min}；af(x)等价于af(x)max}。

3.不等式与函数图像综合：通过函数图像（如二次函数抛物线、分式函数双曲线）判断自变量取值范围，

或求解不等式对应的区间（核心：找图像交点、正负区间）。

4.分段函数与不等式：按分段函数的定义域拆分不等式，分别求解后取并集（注意：分段点的取值验证）。

【易错提醒】

基本不等式

abab

如果a0，b0，那么ab，当且仅当ab时，等号成立．其中，叫作a，b的算术平均数，ab

22

叫作a，b的几何平均数．即正数a，b的算术平均数不小于它们的几何平均数．

基本不等式1：若a，bR，则a2b22ab，当且仅当ab时取等号；

ab

基本不等式2：若a，bR，则ab（或ab2ab），当且仅当ab时取等号.

2

注意（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，

“三相等”指满足等号成立的条件.（2）连续使用不等式要注意取得一致.

题型1利用基本不等式比较大小

11

1．（2025·天津·一模）设a0,b0，则“ab1”是“8”的（）

a2b2

A．充要条件B．充分而不必要条件

C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【详解】a0,b0，若ab1，

11(ab)2(ab)22a2ba2b22a2ba2b2

则22228，

a2b2a2b2bab2a2bab2a2

1

当且仅当ab时等号同时成立，充分性满足，

2

11111

若8，ab1不一定成立，例如a1，b时，8，

a2b24a2b2

但ab1，必要性不满足，

故选：B．

4

2．（2025·天津武清·模拟预测）设xR且x0，则“x2”是“x”的（）

x

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

【答案】A

44x24(x2)(x2)

【详解】由不等式x，可得x0，

xxxx

解得2x0或x2，

4

所以“x2”是“x”的充分不必要条件.

x

故选：A.

3．（2025·天津河西·模拟预测）已知ABC是边长2为正三角形，O是ABC的中心，过点O的动直线l交

1122

AB于点M，交AC于点N，设AMmAB，ANnAC，m0，n0，则；OMON

mn

的最小值为．

8

【答案】3

9

【详解】

连接AO，并延长交BC于点D，易知点D为BC的中点，

11

所以，ADABAC.

22

又因为O是ABC的中心，所以O是ABC的重心，即AO2OD，

211

所以AOADABAC.

333

11

因为AMmAB，ANnAC，所以ABAM，ACAN，

mn

1111

所以AOAMAN.因为M，O，N三点共线，所以1，

3m3n3m3n

11

所以，3.

mn

3m113n11

因为OMAMAOABAC，ONANAOACAB，

3333

22

223m113n11

所以，OMONABACACAB

3333

122

9m26m2AB9n26n2AC23m3n2ABAC

9

828

4m24n24m4n4mn8mn4mn，

33

2

222851

又mn3mn，所以，OMON36mn20mn36mn.

3189

nn2

由mn3mn，得m，mn，

3n13n1

1

令3n1t，当M和B重合时，MN为AC上中线，此时n,

2

11

所以n,1，则t,2，

22

t22t1

得911.

mnt2

t9t

11

根据对勾函数的单调性可知，ftt在,1上单调递减，在1,2上单调递增，

t2

155

且ff2，f12，所以2ft，

222

41

所以，mn.

92

2

2251

因为OMON36mn，

189

2285

所以，根据二次函数的性质可知OMON,，

93

228

所以OMON的最小值为.

9

8

故答案为：3，.

9

4．（2025·天津南开·一模）设x,yR，则“x2y20”是“xy0”的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【详解】若x2y20，如x1,y1，但xy0不成立，充分性不成立；

若xy0，显然x,y同号且不为0，则x2y20成立，必要性成立；

所以“x2y20”是“xy0”的必要不充分条件.

故选：B

5．（2024·天津·一模）已知a,bR，则“ba”是“a2b2”的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条

件

【答案】A

【详解】因为a,bR，当ba时，有ba0，则a2b2成立，即充分性成立；

a02

当时，021，即a2b2成立，而10，即ba不成立，进而必要性不成立.

b1

所以a,bR，“ba”是“a2b2”的充分不必要条件.

故选：A.

6．（2023·山西临汾·模拟预测）若a，bR，则“ab”是“a3a2b0”的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分又不必要条件

【答案】B

【详解】当ab时，取a0，则a3a2b0，即充分性不成立；

2

当a3a2b0时，有aab0，则a0，故a20，

所以ab0，即ab，即必要性成立；

综上，“ab”是“a3a2b0”的必要不充分条件.

故选：B.

11

7．（2023·天津·一模）设a0，b0，则“ab”是“”的（）

ab

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

【答案】C

1111ab

【详解】因为a0，b0，由可得0，则ab>0，即ab，

abbaab

11

因此，若a0，b0，则“ab”是“”的充要条件.

ab

故选：C.

题型2利用基本不等式求最值

14

8．（2025·天津红桥·模拟预测）已知二次函数fxax22xcxR的值域为[0,)，则的最小

ca

值为.

【答案】4

1

【分析】利用二次函数的性质得到c，消去变量后利用基本不等式求解最值即可.

a

【详解】因为二次函数fxax22xcxR的值域为[0,)，

21

所以f(x)的最小值是0，且a0，由二次函数性质得对称轴为x，

2aa

1111

所以f(x)的最小值为f()a()22cc，

aaaa

111444

所以c0，即c，而a2a224，

aacaaa

41

当且仅当a时取等，此时a2,c.

a2

故答案为：4

14

9．（2025·天津和平·三模）已知实数x与y满足xy0，且1，则2xy的最小值为．

xyxy

13

【答案】23

2

13

【详解】由于xy0，故xy0,xy0，且2xyxyxy，

22

13114

故2xyxyxyxy3xy

222xyxy

13xy4xy13xy4xy13

1313223，

2xyxy2xyxy2

3xy4xy14543323

当且仅当，结合1，故当x,y时等号取到，

xyxyxyxy2323

13

故答案为：23

2

4

10．（2025·天津河西·二模）在平行四边形ABCD中，cosBAD，DC4EC，BCCF，四边形ABCD

5

的面积为6，则EAFA的最小值为；当AB在AD上的投影向量为AD时，EAFA.

43

【答案】10620

8

23

【详解】由条件可知，43，

sinBAD1,SABCDABADsinBADABAD6

555

4

所以ABAD10，所以ABAD108，

5

3

EADADEADAB，FAFBBA2ADAB，

4

32325

EAFAADAB2ADAB2ADABABAD，

442

232322

2ADAB2022ADAB2010620，

44

23

当2ADAB时等号成立，

4

所以EAFA的最小值为10620；

4

AB在AD上的投影向量为AD，则ABcosBADAD，即ABAD,

5

4252

因为ABAD10，所以AB10，得AB，AD22，

52

23243

则EAFA2ADAB20.

48

43

故答案为：10620；.

8

1

11．（2025·天津和平·二模）在ABC中，E为AC中点，G为线段BE上一点，且满足CGCBCA（R），

3

CG

则，若AGBG，则当C最大时，的值为.

CB

1101

【答案】/10

355

1111

【详解】由题意有CA2CE，所以CGCBCACB2CE，由21，

3333

111112

所以CGCBCA，所以AGACCGACCBCACBCA，

333333

1121

BGBCCGBCCBCACBCA，由AGBG有AGBG0，

3333

122122522

即CBCACBCACBCBCACA0，

3333999

22

22

即5CBCA2CB2CA，所以5CBCAcosC2CBCA，

22

2CBCA

22CBCA4

即cosC，当CBCA时，等号成立，

5CBCA5CBCA5

411

当C最大时，cosC，CBCA，由CGCBCA有3CGCBCA，

533

2

所以22222218CB，

9CGCBCACB2CBCACACB2CBCAcosCCA

5

2

CG2CG10

所以，

2

CB5CB5

110

故答案为：；.

35

1a

12．（2025·天津红桥·一模）已知a0,b0，则b的最小值为（）

a4b2

A．42B．22C．4D．2

【答案】D

【详解】因为a0,b0，

1a1a11

所以b2bb2b2，

a4b2a4b2bb

1a1

当且仅当，且b，即a2,b1时，取等号，

a4b2b

1a

所以b的最小值为2.

a4b2

故选：D.

BC

13．（2025·天津和平·一模）已知平面四边形ABCD满足ADAB2，BDCD2BA且BA1，M

BC

13

为AB的中点，则CM，若E、F分别为线段AD、BC上的动点，且满足MEMF，则

4

MEMF的最小值为.

【答案】134

【详解】因为2BABDCDBDBDBC，可得BC2BD2BA2AD，

BCBABCcosABC1

因为BABAcosABC2cosABC1，则cosABC，

BCBC2

π

因为0ABCπ，则ABC，且BC2AD4，如下图所示：

3

以点B为坐标原点，直线BC为x轴，过点B且垂直于BC的直线为y轴建立如上图所示的平面直角坐标系，

13

则A1,3、B0,0、C4,0、D3,3、M,，

22

2

2

13；

CM4013

22

设点Em,3、Fn,0，其中1m3，0n4，

1313

MEm,，MFn,，

2222

1131311

所以，MEMFmn，可得mn4，

224422

111

因为m1，则n，则m0，n0，

2222

所以，MEMFmn1,0，

111111

则MEMFmnmn2mn4，

222222

11

mn

22

115

当且仅当mn4时，即当mn时，等号成立，

222

1m3,0n4

因此，MEMF的最小值为4.

故答案为：13；4.

考点二复数

3+i

1．（2025·天津·高考真题，10，5分）已知i是虚数单位，则=．

i

【答案】10

3i3i22

【详解】先由题得i3i13i，所以1310.

ii

故答案为：10

2．（2024·天津·高考真题，10，5分）i是虚数单位，复数5i52i．

【答案】75i

【详解】5i52i55i25i275i.

故答案为：75i.

514i

3．（2023·天津·高考真题，10，5分）已知i是虚数单位，化简的结果为．

23i

【答案】4i/i4

514i514i23i5213i

【详解】由题意可得4i.

23i23i23i13

故答案为：4i.

113i

4．（2022·天津·高考真题，10，5分）已知i是虚数单位，化简的结果为．

1+2i

【答案】15i/5i1

113i113i12i11625i

【详解】15i．

1+2i1+2i12i5

故答案为：15i．

92i

5．（2021·天津·高考真题，10，5分）i是虚数单位，复数．

2i

【答案】4i

92i92i2i205i

【详解】4i.

2i2i2i5

故答案为：4i.

5i

6．（2019·天津·高考真题，10，5分）i是虚数单位，则的值为.

1i

【答案】13

5i(5i)(1i)

【详解】23i13．

1i(1i)(1i)

67i

7．（2018·天津·高考真题，10，5分）i是虚数单位，复数.

12i

【答案】4–i

【详解】分析：由题意结合复数的运算法则整理计算即可求得最终结果.

67i67i12i205i

详解：由复数的运算法则得：4i.

12i12i12i5

点睛：本题主要考查复数的运算法则及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

ai

8．（2017·天津·高考真题，10，5分）已知aR，i为虚数单位，若为实数，则a的值为．

2i

【答案】-2

ai(ai)(2i)(2a1)(a2)i2a1a2

【详解】i为实数，

2i(2i)(2i)555

a2

则0,a2.

5

知识