2026年高考数学二轮复习模块三 平面向量（天津）（原卷版）

模块三平面向量

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮

擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的．

1．已知向量a1,2，b1,y，若a//b，则y的值为（）

11

A．B．C．2D．2

22

2．已知a3，b2，a与b夹角的大小为120，则ab（）

A．3B．3C．3D．3

3．如图，在ABC中，D是边AB上一点，且BD2AD，点E是CD的中点．设ABa，ACb，则AE

可以表示为（）

1111

A．abB．ab

2662

1111

C．abD．ab

2662

4．如图，在四边形ABCD中，ABBDDC4，ABBDBDDC0，ABBDBDDC4，

则ABDCAC的值为（）

A．2B．22C．4D．42

5．已知抛物线y22pxp0的焦点为F，准线l交x轴于点D，过D的直线与抛物线交于A，

PB

B两点，且B在线段AD上，点P为A在l上的射影.若P，B，F共线，则的值为（）

BF

A．1B．2C．3D．3

6．若O为ABC所在平面内一点，且满足OBOCOBOC2OA，则ABC的形状为（）

A．等腰△直角三角形B．直角三角形C．等腰△三角形D．等边三角形

7．在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点A，B满足OA=OBOAOB2，则点集

P|OPOAOB,1,,R所表示的区域的面积是（）

A．22B．23C．42D．43

2

8．平面四边形ABCD中，AB2，AC23，ACAB，ADC，则ADAB的最小值为（）

3

A．3B．23C．1D．2

9．ABC是等腰直角三角形，其中ABAC∣,AB∣1，P是ABC所在平面内的一点，若CPCACB

（0,0且22），则CA在CP上的投影向量的长度的取值范围是（）

22

A．0,B．,1C．1,2D．2,2

22

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分

1

10．在ABC中，点D在边BC上，且BDBC，E为线段AD的中点.已知ABa，ACb，则BE

3

34

（用a，b表示）；若a3，b4，且BEAD，则BAC.

9

11．若正方形ABCD的边长为1，中心为O，过O作直线l与边AD，BC分别交于P，Q两点，点M满足

13

OMOAOBR．（ⅰ）当时，OM；（ⅱ）PMQM的最小值为．

224

π1

12．如图，在平行四边形ABCD中，BAD,|AB|3,|AD|2，点E为BC中点，CGCD，点F为

33

1

边AD上的点．若点F满足AFAD，且EFABAD，则；若点F为线段AD上的

4

动点，则EFFG的取值范围为．

13．在ABC中，AB3，AC2，M，N分别为边AB，AC的中点，若点E在线段MN上，且NM3EM，

x

BExAByAC，则.若BAC

60，点P为线段MN上的动点，则BPCP的最小值

y

为.

14．如图，在ABC中，点D，E在边BC上，且BDDEEC，点F，M分别在线段AB，AD上，且

uuuruuuruuuuruuuur

AF2FB,2AMMD，直线FM交AE于点G，且AGAE，则．若直线MC交AE于点N

且MNG是边长为1的等边三角形，则MAMC．

4

15．在平行四边形ABCD中，cosBAD，DC4EC，BCCF，四边形ABCD的面积为6，则EAFA

5

的最小值为；当AB在AD上的投影向量为AD时，EAFA.

三、解答题：（本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

x2y23

16．（14分）已知椭圆1ab0的焦距为23，离心率为.

a2b22

(1)求椭圆的方程；

(2)设过点M0,2且斜率为k的直线与椭圆交于不同的两点A、B，点O在以线段AB为直径的圆外（O为

原点），求k的取值范围.

17．（15分）如图，在ABC中，已知AB2,AC5,BAC60,BC,AC边上的两条中线AM，BN相交于

点P．

(1)求中线AM的长；

(2)求MPN的余弦值；

(3)求ABP面积．