高中信息技术（必选1）X1-11-02迭代法的应用知识点

高中信息技术（必选1）X1-11-02迭代法的应用知识点整理一、课程主要内容总结本课程聚焦迭代法的应用，在理解迭代法基本概念的基础上，重点讲解迭代法的核心思想、基本步骤、适用场景，以及在高中信息技术领域常见的应用案例（如求数值近似解、递推问题求解等）。通过课程学习，学生需掌握迭代法的核心逻辑，能够识别适合用迭代法解决的问题，熟练运用迭代法的基本步骤设计解决方案，并能结合编程思维实现简单的迭代运算，体会迭代法在数据处理和问题求解中的高效性与实用性。二、必掌握知识点梳理知识点1：迭代法的核心概念与基本思想核心内容：迭代法又称递推法，是一种不断用变量的旧值递推新值的求解方法。其基本思想是：对于一个难以直接求解的问题，先设定一个初始值（或初始解），然后根据特定的迭代公式（递推关系），反复计算得到新的结果，直到结果满足预设的精度要求（收敛）或达到规定的迭代次数，最终得到问题的近似解或精确解。迭代法的关键在于确定迭代公式和收敛条件。练习题下列关于迭代法基本思想的描述，正确的是（）

A.直接通过公式计算得到问题的精确解

B.基于初始值，通过迭代公式反复计算逼近解

C.无需初始值，直接通过循环推导结果

D.仅适用于求解精确值问题

迭代法的核心要素不包括（）

A.初始值

B.迭代公式

C.收敛条件

D.直接求解公式

判断：迭代法得到的结果一定是问题的精确解（）简述迭代法的基本步骤。答案及解析答案：B

解析：迭代法无法直接得到精确解（A错误），需依赖初始值（C错误），可用于求解近似解（D错误）。其核心是基于初始值，通过迭代公式反复计算逼近解，故选B。答案：D

解析：迭代法的核心要素包括初始值（迭代的起点）、迭代公式（递推关系）、收敛条件（停止迭代的依据）。直接求解公式是解析法的核心，不属于迭代法，故选D。答案：×

解析：迭代法大多用于求解难以直接计算的问题，通常得到的是满足精度要求的近似解；只有在特殊情况下（如递推关系明确且迭代次数有限可穷尽），才可能得到精确解。答案：迭代法的基本步骤如下：

①确定问题的迭代模型，明确迭代变量；

②设定合理的初始值（迭代起点）；

③推导迭代公式（变量新旧值之间的递推关系）；

④设定收敛条件（如相邻两次结果的差值小于预设精度、达到最大迭代次数等）；

⑤反复执行迭代公式，直到满足收敛条件，输出最终结果。知识点2：迭代法的适用场景与典型案例核心内容：迭代法适用于难以通过解析法（直接公式）求解的问题，常见场景包括：①数值近似求解（如求平方根、立方根、方程的近似解等）；②递推问题求解（如斐波那契数列、人口增长预测、存款本息计算等）；③数据迭代处理（如数组元素的迭代更新、图像像素的逐步优化等）。典型案例：用迭代法求√2的近似解（迭代公式：xₙ₊₁=(xₙ+2/xₙ)/2，初始值x₀=1，精度要求|xₙ₊₁-xₙ|<10⁻⁶）；斐波那契数列求解（迭代公式：F(n)=F(n-1)+F(n-2)，初始值F(1)=1，F(2)=1）。练习题下列问题中，最适合用迭代法求解的是（）

A.计算1+2+3+...+100的和

B.求一元二次方程x²-5x+6=0的解

C.求√5的近似值（精度0.0001）

D.计算长方形的面积

已知斐波那契数列的迭代公式为F(n)=F(n-1)+F(n-2)（n≥3），初始值F(1)=1，F(2)=1，则F(6)的值为（）

A.5

B.8

C.13

D.21

用迭代法求√3的近似值，设定初始值x₀=1，迭代公式为xₙ₊₁=(xₙ+3/xₙ)/2，计算到x₂的值。某银行存款年利率为2%，本金10000元，每年本息自动转存（即下一年的本金为上一年的本息和），请用迭代法思路计算5年后的本息和。答案及解析答案：C

解析：A可通过等差数列求和公式（解析法）直接计算；B可通过因式分解或求根公式（解析法）得到精确解；D可通过长×宽（解析法）直接计算；C中√5无法用简单公式得到精确值，需用迭代法逼近，故选C。答案：B

解析：根据迭代公式逐步计算：

F(3)=F(2)+F(1)=1+1=2；

F(4)=F(3)+F(2)=2+1=3；

F(5)=F(4)+F(3)=3+2=5；

F(6)=F(5)+F(4)=5+3=8，故选B。答案：x₂≈1.732

解析：

①初始值x₀=1；

②计算x₁：x₁=(x₀+3/x₀)/2=(1+3/1)/2=2；

③计算x₂：x₂=(x₁+3/x₁)/2=(2+3/2)/2=(3.5)/2=1.75（若保留三位小数，x₂≈1.75；若进一步计算，x₃≈1.732，逐步逼近√3的精确值1.73205...）。答案：5年后本息和约为11040.81元

解析：

①迭代变量：每年的本息和S(n)；

②初始值：S(0)=10000（第0年，即本金）；

③迭代公式：S(n)=S(n-1)×(1+2%)（每年本息和=上一年本息和×(1+年利率)）；

④迭代计算：

S(1)=10000×1.02=10200元；

S(2)=10200×1.02=10404元；

S(3)=10404×1.02=10612.08元；

S(4)=10612.08×1.02=10824.3216元；

S(5)=10824.3216×1.02≈11040.81元。知识点3：迭代法的收敛性与迭代终止条件核心内容：迭代法的收敛性是指迭代过程中，变量的取值逐步逼近问题的真实解（即相邻两次迭代结果的差值逐渐减小并趋于稳定）；若迭代结果逐渐偏离真实解或无规律波动，则为发散，此时迭代法无法求解。迭代终止条件是判断迭代是否停止的依据，常见两种：①精度条件：相邻两次迭代结果的绝对差值|xₙ₊₁-xₙ|<ε（ε为预设精度，如10⁻⁵、0.0001）；②次数条件：达到预设的最大迭代次数（防止迭代发散时无限循环）。设计迭代方案时，需确保迭代公式具有收敛性，同时合理设置终止条件。练习题关于迭代法的收敛性，下列说法正确的是（）

A.所有迭代公式都具有收敛性

B.迭代结果逐渐逼近真实解，说明迭代收敛

C.收敛性与初始值的设定无关

D.迭代次数越多，结果越准确

用迭代法求方程的近似解时，设置“相邻两次结果的差值小于0.001”作为终止条件，这属于（）

A.精度条件

B.次数条件

C.发散条件

D.初始条件

判断：若迭代过程中，相邻两次结果的差值越来越大，说明迭代收敛（）用迭代法求某问题的近似解时，为何需要同时设置精度条件和最大迭代次数条件？答案及解析答案：B

解析：并非所有迭代公式都收敛（A错误）；初始值的设定可能影响收敛性（如初始值偏离真实解过远，可能导致发散，C错误）；若迭代已收敛，继续增加迭代次数不会提高精度，还会增加计算成本（D错误）。迭代收敛的核心特征是结果逐步逼近真实解，故选B。答案：A

解析：终止条件分为精度条件和次数条件。“相邻两次结果的差值小于0.001”是基于结果的精度要求设定的，属于精度条件；次数条件是基于迭代次数的限制（如“最多迭代100次”），故选A。答案：×

解析：迭代收敛的表现是相邻两次结果的差值逐渐减小并趋于稳定；若差值越来越大，说明迭代结果逐渐偏离真实解，属于发散，无法得到有效解。答案：设置双重条件的原因如下：

①精度条件是核心：确保最终结果满足问题的精度要求，得到符合预期的近似解；

②最大迭代次数条件是保障：若迭代公式发散或初始值设置不合理，迭代过程会无限进行，无法满足精度条件。设置最大迭代次数可强制终止迭代，避免程序陷入死循环，提高求解的稳定性和效率。

两者结合，既能保证结果精度，又能避免无效的无限迭代。知识点4：迭代法的编程实现思路（结合Python）核心内容：迭代法的编程实现核心是通过循环结构（for循环或while循环）实现迭代过程，关键步骤：①定义迭代变量并初始化（设置初始值）；②确定循环条件（对应迭代终止条件，如while循环中判断相邻差值是否小于精度或是否达到最大次数）；③在循环体内通过迭代公式更新迭代变量；④循环结束后输出结果。注意：编程时需避免变量更新错误（如混淆新旧值的赋值顺序），同时合理设置循环条件，防止死循环。练习题用Python实现迭代法求√6的近似值，要求：初始值x₀=2，迭代公式xₙ₊₁=(xₙ+6/xₙ)/2，精度要求|xₙ₊₁-xₙ|<10⁻⁴，输出最终结果及迭代次数。下列Python代码中，用于实现斐波那契数列第n项（n≥1）的迭代法编程，正确的是（）

A.

deffib(n):

ifn==1orn==2:

return1

returnfib(n-1)+fib(n-2)

B.

deffib(n):

a,b=1,1

foriinrange(3,n+1):

a,b=b,a+b

returnb

C.

deffib(n):

a=1

foriinrange(2,n+1):

a=a+(a-1)

returna

D.

deffib(n):

a=0

b=1

foriinrange(n):

a,b=b,a+b

returna

用Python实现迭代法计算10年后的存款本息和，本金20000元，年利率3%，每年本息自动转存，输出10年后的本息和（保留两位小数）。答案及解析答案：Python代码如下，最终结果约为2.4495，迭代次数约4次（具体次数因初始值和精度略有差异）

解析：

#初始化迭代变量和迭代次数

x0=2#初始值

epsilon=1e-4#精度要求

count=0#迭代次数

whileTrue:

x1=(x0+6/x0)/2#迭代公式

count+=1

#判断是否满足精度条件

ifabs(x1-x0)<epsilon:

break

x0=x1#更新迭代变量

print(f"√6的近似值为：{x1:.4f}")

print(f"迭代次数为：{count}")

#运行结果示例：√6的近似值为：2.4495，迭代次数为：4答案：B

解析：

A选项是递归法实现，非迭代法（递归是自身调用，迭代是循环递推），排除；

B选项通过循环迭代，初始化a=F(1)=1，b=F(2)=1，从n=3开始，通过a,b=b,a+b更新值，最终返回b=F(n)，逻辑正确；

C选项迭代公式错误（斐波那契迭代公式不是a=a+(a-1)），排除；

D选项初始值错误（a=0,b=1，循环n次后返回a，当n=1时返回1，n=2时返回1，n=3时返回2，看似正确，但本质是递推逻辑与题目要求的“初始值F(1)=1,F(2)=1”的对应关系不直接，且题目要求迭代法实现，B选项更贴合课程中斐波那契迭代的核心逻辑，故选B。答案：Python代码如下，10年后本息和约为26878.33元

解析：

#初始化变量

principal=20000#本金