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虹口区2024学年度第一学期期终学生学习能力诊断测试高三数学参考答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12.13122 13.C 14.B 15.A 16.A17.（1）因为函数的最小正周期为，所以． 2分故． 4分由于，所以，故当，即时，取到最大值． 6分（2）当，所以．故当时，，即，由于为锐角，解得． 8分因为，可得． 10分所以． 12分等号当且仅当时成立，此时的最小值为． 14分18.（1）连接交于点，连接．由于是四棱柱且平面，故四边形为矩形，所以点为的中点，即与平行，且． 2分由于与平行，且，故与平行且相等，故四边形为平行四边形，所以与平行． 4分因为不在平面上，在平面上， 6分所以平面．（2）由于异面直线与所成角为且与平行，为与所成角（或其补角），所以，即． 8分以点为原点，分别以、、为、、轴正方向，建立空间直角坐标系，则，，． 10分设为平面的一个法向量，则，取，可得． 12分设直线与平面所成角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为． 14分19.（1）， 2分所以第35百分位数为第7位和第8位数的平均数，故为68． 4分（2）这20名观众有2名的评分大于等于90分，18名的评分小于90分． 6分所以至少有1人的评分大于等于90分的概率为． 8分（3）由于分层抽样，故可得上的频率为，上的频率为．故评分位于上的频数为，位于上的频数为． 10分所以设这1000名观众的评分位于上的均值为67，方差为64.7，每个评分设为，；位于上的均值为73，方差为134.6，位于上的均值为与方差，每个评分设为，．所以，解得． 12分，即，解得． 14分所以位于上的均值为，方差为．20.（1）当时，． 2分故． 4分（2）若存在这样的点，由题可知，点到直线的距离． 6分故点为与直线相距且与直线平行的直线与椭圆的交点．直线，设，则，解得或者． 8分当时，，解得或；当时，，方程组无解，所以存在这样的点，且坐标为或． 10分（3）由题可知，直线的斜率必存在且不为零，设．则，化简得（*），设，，故． 12分因为，由于，可得． 14分取线段的中点，有．所以点的坐标为，故，化简得，有． 16分由于方程（*）有两个不同的解，故，代入化简得，故． 18分21.（1）记显然是偶函数.当时，，故， 2分所以对恒成立，具有性质. 4分（2）,当时，严格增；当时，严格减. 6分函数具有性质，故对恒成立.若，则，函数在上严格增，恒成立，此时函数具有性质.若，则函数在上严格减，，故函数不具有性质. 8分 若，则函数在上严格增，“对恒成立”等价于“对恒成立”.而在上严格减，在上严格增，故，即，即.综上，的取值范围是. 10分（3）对任意及，都有，即对任意都有（*）. 12分假设存在使得不具有性质，则存在使得.若，则.当时，则在（*）中取，对任意有，于是，即. 14分而当时，，，故有，矛盾. 16

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