弹性理论考试题及答案

弹性理论考试题及答案一、单项选择题（每题2分，共20分。每题只有一个正确答案，请将正确选项字母填入括号内）1.在线弹性范围内，若材料的弹性模量E增大而泊松比ν保持不变，则材料的体积模量K将（）。A.增大  B.减小  C.不变  D.先增后减答案：A2.一受轴向拉力F的等直杆，其横截面积A、长度L、弹性模量E均已知。若将杆件长度加倍而其它条件不变，则其轴向变形ΔL将（）。A.变为原来2倍  B.变为原来4倍  C.变为原来1/2  D.不变答案：A3.对各向同性线弹性材料，下列哪一组弹性常数之间满足关系G=E/[2(1+ν)]？（）A.E、G、K  B.E、G、ν  C.K、λ、μ  D.λ、μ、ν答案：B4.在平面应力状态下，若主应力σ₁>σ₂>0，则最大剪应力τ_max等于（）。A.(σ₁−σ₂)/2  B.σ₁/2  C.σ₂/2  D.(σ₁+σ₂)/2答案：A5.一矩形截面悬臂梁自由端受集中力P，梁长L，截面宽b、高h。若将h增大一倍而b、L、P不变，则梁的最大弯曲正应力将（）。A.变为原来1/2  B.变为原来1/4  C.变为原来1/8  D.不变答案：B6.对于线弹性各向同性材料，下列说法正确的是（）。A.弹性模量E与方向无关，剪切模量G与方向有关B.泊松比ν可大于0.5C.体积模量K恒为正D.拉梅常数λ一定小于G答案：C7.一圆轴受扭，若直径由d增大到2d而扭矩不变，则最大剪应力将（）。A.变为原来1/2  B.变为原来1/4  C.变为原来1/8  D.变为原来1/16答案：C8.在平面应变条件下，z方向正应变ε_z（）。A.为零  B.为常数但不等于零  C.与σ_z成正比  D.与τ_xz成正比答案：A9.一厚壁圆筒受内压p，内半径a、外半径b，按拉美公式，其周向应力σ_θ在（）处取最大值。A.r=a  B.r=b  C.r=(a+b)/2  D.r=√(ab)答案：A10.若一材料服从米泽斯屈服准则，则在纯剪状态下屈服时的剪应力τ_y与单向拉伸屈服应力σ_s之间的关系为（）。A.τ_y=σ_s  B.τ_y=σ_s/√3  C.τ_y=σ_s/2  D.τ_y=√3σ_s答案：B二、多项选择题（每题3分，共15分。每题有两个或两个以上正确答案，多选、少选、错选均不得分）11.下列关于弹性应变能密度u的说法正确的有（）。A.u是标量  B.u可分解为体积改变能密度u_v与形状改变能密度u_dC.u_v与平均应力成正比  D.u_d与米泽斯等效应力成正比答案：A、B、D12.一均质各向同性弹性体，若已知拉梅常数λ、μ，则可确定的弹性常数有（）。A.E  B.G  C.K  D.ν答案：A、B、C、D13.在平面应力问题中，下列应力分量一定为零的有（）。A.σ_z  B.τ_xz  C.τ_yz  D.ε_z答案：A、B、C14.下列关于圣维南原理的叙述正确的有（）。A.适用于弹性小变形范围  B.说明静力等效力系在远离加载区处产生的应力差异可忽略C.可用于简化边界条件  D.对动力学问题同样精确成立答案：A、B、C15.一矩形截面梁发生纯弯曲，若材料为线弹性，则下列结论正确的有（）。A.中性轴通过形心  B.正应力沿截面高度线性分布C.最大正应力出现在距中性轴最远处  D.截面上无剪应力答案：A、B、C、D三、填空题（每空2分，共20分）16.对各向同性线弹性材料，弹性模量E、剪切模量G、泊松比ν三者关系式为G=__________。答案：E/[2(1+ν)]17.一轴向拉杆，原长500mm，受力后伸长0.50mm，则其正应变ε=__________。答案：1.0×10⁻³18.在平面应力状态下，已知σ_x=80MPa，σ_y=40MPa，τ_xy=30MPa，则主应力σ₁=__________MPa。答案：9019.一圆轴直径为d，受扭矩T，其极惯性矩I_p=__________。答案：πd⁴/3220.米泽斯等效应力σ_eq表达式为σ_eq=√{__________}。答案：[(σ₁−σ₂)²+(σ₂−σ₃)²+(σ₃−σ₁)²]/221.厚壁圆筒拉美公式中，周向应力σ_θ=A+B/r²，其中A与B需由__________条件确定。答案：边界22.一悬臂梁自由端受集中力P，梁长L，抗弯刚度EI，则自由端挠度v_max=__________。答案：PL³/(3EI)23.弹性常数K、E、ν之间的关系为K=__________。答案：E/[3(1−2ν)]24.在纯剪状态下，主应力大小为τ，主平面与剪应力作用面成__________度。答案：4525.若一材料泊松比ν=0.5，则其体积模量K趋于__________。答案：无穷大四、简答题（共25分）26.（6分）叙述线弹性材料广义胡克定律的张量表达式，并说明各符号物理意义。答案：σ_ij=λδ_ijε_kk+2με_ij，其中σ_ij为应力张量，ε_ij为应变张量，λ、μ为拉梅常数，δ_ij为克罗内克δ，ε_kk为体积应变。λ反映材料抵抗体积变化的能力，μ即剪切模量G，反映抵抗形状变化的能力。27.（6分）说明圣维南原理的工程意义，并给出两个应用实例。答案：圣维南原理指出：在弹性体中，若两力系在局部区域内静力等效，则它们在远离该区域处产生的应力场差异可忽略。实例1：柱体拉伸试验中，夹头方式不同但对中段应力分布影响小，可简化计算。实例2：梁支座附近局部加载方式不同，但对跨中挠度计算影响可忽略。28.（6分）比较平面应力与平面应变问题的区别，列出所有不同点。答案：1.厚度方向应力：平面应力σ_z=0，平面应变σ_z≠0；2.厚度方向应变：平面应力ε_z≠0，平面应变ε_z=0；3.适用对象：平面应力适用于薄板，平面应变适用于长柱体；4.弹性常数限制：平面应变需满足ν≠0.5，平面应力无此限制；5.控制方程：平面应变引入修正弹性模量E'=E/(1−ν²)。29.（7分）推导矩形截面梁纯弯曲时正应力公式σ=My/I，并说明中性轴位置。答案：假设平截面假定成立，纵向纤维仅受单向应力，材料线弹性。设曲率半径ρ，则纵向应变ε=y/ρ。由胡克定律σ=Eε=Ey/ρ。横截面上轴力N=∫σdA=0，得∫ydA=0，故中性轴通过形心。弯矩M=∫σydA=E/ρ∫y²dA=EI/ρ，于是σ=Ey/ρ=My/I，其中I=∫y²dA为截面惯性矩。五、计算题（共70分）30.（12分）一钢杆直径20mm，长1.0m，受轴向拉力P=50kN。已知E=200GPa，ν=0.3。求：（1）轴向伸长ΔL；（2）横向应变ε_lat；（3）体积应变ε_v。答案：（1）σ=P/A=50×10³/(π×10²)=159.15MPa，ε=σ/E=0.000796，ΔL=εL=0.796mm。（2）ε_lat=−νε=−0.000239。（3）ε_v=ε(1−2ν)=0.000796×0.4=0.000318。31.（15分）一薄壁圆管内径100mm，壁厚5mm，受内压p=4MPa，两端封闭。求：（1）周向应力σ_θ；（2）轴向应力σ_z；（3）径向应力σ_r（外壁）；（4）按米泽斯准则计算等效应力σ_eq。答案：（1）σ_θ=pr/t=4×50/5=40MPa。（2）σ_z=pr/(2t)=20MPa。（3）外壁σ_r≈0。（4）σ_eq=√[σ_θ²−σ_θσ_z+σ_z²]=√[1600−800+400]=√1200=34.64MPa。32.（18分）一矩形截面梁宽b=80mm，高h=120mm，跨距L=2.0m，中点受集中力P=30kN。材料E=10GPa，ν=0.3。求：（1）最大弯曲正应力σ_max；（2）跨中挠度v_c；（3）跨中截面中性层处剪应力τ_max。答案：（1）M=PL/4=15kN·m，I=bh³/12=11.52×10⁻⁶m⁴，σ_max=Mh/(2I)=15×10³×0.06/11.52×10⁻⁶=78.13MPa。（2）v_c=PL³/(48EI)=30×10³×8/(48×10×10⁹×11.52×10⁻⁶)=3.47mm。（3）V=P/2=15kN，τ_max=1.5V/A=1.5×15×10³/(0.08×0.12)=2.34MPa。33.（25分）一厚壁圆筒内半径a=50mm，外半径b=100mm，受内压p=60MPa，外压为零。材料E=200GPa，ν=0.3。求：（1）内壁周向应力σ_θ(a)；（2）外壁径向位移u(b)；（3）若采用双层套合，外筒内半径b₁=100mm、外半径b₂=150mm，两筒界面半径r_i=100mm存在接触压力p_c，欲使内筒内壁σ_θ(a)降低20%，求p_c；（4）计算此时外筒外壁周向应力σ_θ(b₂)。答案：（1）拉美公式：σ_θ(a)=p(a²+b²)/(b²−a²)=60×(2500+10000)/7500=100MPa。（2）u(b)=b/E[σ_θ(b)−νσ_r(b)]，σ_θ(b)=2pa²/(b²−a²)=40MPa，σ_r(b)=0，u(b)=0.1/(200×10⁹)×40×10⁶=2.0×10⁻⁵m=0.02mm。（3）目标σ_θ_new(a)=80MPa。设内筒受内压p与外压p_c，σ_θ(a)=p(a²+b₁²)/(b₁²−a²)−2p_cb₁²/(b₁²−a²)=80，解得p_c=20MPa。（4）外筒受内压p_c，σ_θ(b₂)=p_c(b₁²+b₂²)/(b₂²−b₁²)=20×(10000+22500)/12500=52MPa。六、综合分析题（共20分）34.（20分）一复合材料层合板由0°/90°/0°三层组成，每层厚t=1mm，总厚3mm。单层板性能：E₁=140GPa，E₂=10GPa，ν₁₂=0.3，G₁₂=5GPa。坐标系：x轴沿0°方向。设层合板受单轴拉伸N_x=100kN/m。任务：（1）写出各层刚度矩阵Q̅；(2)计算中面应变ε_x⁰、ε_y⁰、γ_xy⁰；(3)求0°层x方向应力σ_x；(4)判断0°层是否出现基体开裂（假设基体横向强度Y_t=50MPa）。答案：（1）0°层：Q̅₁₁=140GPa，Q̅₂₂=10GPa，Q̅₁₂=3GPa，Q̅₆₆=5GPa，其余为零；90°层：Q̅₁₁=10GPa，Q̅₂₂=140GPa，Q̅₁₂=3GPa，Q̅₆₆=5GPa。（2）等效拉伸刚度A_ij=ΣQ̅_ijt_k，A₁₁=140×2+10×1=290kN/mm，A₂₂=10×2+140×1=160kN/mm，A₁₂=3×3=9kN/mm，A₆₆=5×3=15kN/mm。N_x=A₁₁ε_