小学数学·四年级上：三位数乘两位数（学生版）

小学数学·四年级上：三位数乘两位数（学生版）一、教学内容分析《义务教育数学课程标准（2022年版）》在第二学段“数与运算”领域明确指出，学生应“探索并掌握三位数乘两位数的笔算方法，理解算理，并能进行简单的整数四则混合运算（以两步为主，不超过三步）”。本节课是整数乘法运算知识链上的关键节点，它上承两位数乘两位数的算法根基（包括乘法分配律的隐性运用），下启多位数乘法的算理统一及后续运算律的正式学习，是学生运算能力一次质的跃升。从核心素养视角审视，本课是培养“运算能力”、“推理意识”和“模型意识”的绝佳载体。算理的理解与算法的掌握，直接关乎运算能力的形成；在从两位数乘法到三位数乘法的迁移推理中，学生的推理意识得以锤炼；而将具体的“每份数×份数=总数”实际问题抽象为乘法算式并求解，正是数学建模的初步体验。因此，教学需超越机械计算，引导学生深入理解“用两位数每一位上的数分别去乘三位数，再将所得结果按数位累加”这一核心算理，并能在解决真实、复杂情境问题中灵活应用。预设难点在于学生对算理中“部分积”的对位原理（实质是计数单位的累加）理解不清，以及在处理乘数中间或末尾有“0”的简便计算时容易出错，这些都需要在设计中搭建坚实的认知阶梯予以突破。基于“以学定教”原则，学情研判如下：学生已熟练掌握两位数乘两位数的笔算方法（包括进位处理），并对乘法竖式的书写格式有清晰认知，这是新知建构的稳固起点。然而，将乘数从“两位数”扩展到“三位数”，计算步骤增多、过程更为复杂，学生易产生畏难情绪，且在连续进位、乘数中间有0的乘法等节点易出现错误。在思维层面，部分学生可能仍停留在“算法操作”层面，对“为何这样对位”的算理理解不深。因此，教学必须强化算理直观支撑（如利用面积模型、计数器或点子图），将抽象的算法“还原”为可视化的分步过程。在过程评估中，将通过针对性提问（如“这个‘部分积’实际代表多少？”“为什么这个‘0’可以省略不乘，但数位要对齐？”）、关键步骤的板演与辨析、以及分层任务单的完成情况，动态诊断学生的理解层次。针对不同层次学生，支持策略如下：对基础薄弱学生，提供算法步骤的“思维导引卡”和更多的直观模型演示；对大多数学生，设置由浅入深的变式练习链，巩固技能；对学有余力者，则引导其探究算法背后的普遍原理（如多位数乘法的通用法则），或解决更具挑战性的实际问题，实现差异化发展。二、教学目标知识目标方面，学生将理解并掌握三位数乘两位数的笔算方法，特别是竖式中每一步乘法运算的实际意义（部分积），以及如何正确对位与相加。他们能清晰解释算法背后的算理，例如，将两位数拆分为整十数与个位数，分别与三位数相乘再求和，本质上应用了乘法分配律。最终，学生能准确、熟练地完成计算，包括处理乘数中间或末尾有0的简便情况。能力目标聚焦于数学核心能力的提升。学生将能够独立、规范地完成三位数乘两位数的笔算全过程，并具备初步的估算意识，能在计算前或计算后通过估算快速判断结果的大致范围，检验计算的合理性。在解决如“已知速度与时间求路程”、“已知单价与数量求总价”等实际问题的过程中，他们能准确提取数学信息，建立乘法模型，并选择合适的方法进行计算与验证。情感态度与价值观目标旨在培育严谨求实的科学态度与合作精神。通过解决与生活密切相关的实际问题（如社区物资估算、图书角建设预算），学生能体会到数学的工具价值，增强学习数学的内在动机。在小组探究与交流算法多样性的过程中，他们乐于倾听、分享，尊重不同的解题思路，并敢于质疑和修正错误，形成积极的数学学习情感。科学（学科）思维目标重点发展学生的推理意识和模型意识。通过引导他们从已学的两位数乘两位数算法，类比推理出三位数乘两位数的可能算法，并进行验证，培养合情推理能力。同时，经历“实际问题→数学算式→算法探究→解决问题”的完整过程，强化将具体情境抽象为乘法运算模型的意识，初步感悟模型化思想。评价与元认知目标关注学生自我监控与反思能力的萌芽。设计环节引导学生依据“计算正确、书写规范、算理清晰”的简要量规，进行同伴互评或自我检查。鼓励学生在练习后反思：“我最容易在哪个步骤出错？”“我用估算验证结果了吗？”从而逐步培养检验习惯与学习策略的调控能力。三、教学重点与难点教学重点确立为：掌握三位数乘两位数的笔算算理与算法，并能正确进行计算。其确立依据源于课程标准的要求及本课在知识体系中的枢纽地位。算理是算法的根基，不理解“为何这样算”，技能便是无源之水。从两位数乘两位数到三位数乘两位数，算法的核心逻辑（分解乘数、逐位相乘、按位累加）是一脉相承的“大概念”，深刻理解此理，能为后续学习任意多位数乘法乃至小数乘法奠定坚实的认知基础。从能力立意看，清晰阐述算理的过程，正是逻辑推理与数学表达能力的综合体现，是数学核心素养发展的关键表现。教学难点主要存在于两方面：一是理解并正确处理乘数中间或末尾有“0”的乘法笔算。例如，在计算如“308×25”时，用十位上的“0”去乘三位数所得的部分积“0”该如何书写与对位；在计算如“450×20”时，如何利用“0”的特性进行简便运算。其成因在于学生对“0”在乘法运算中的特殊性（任何数乘0得0，以及0占位的含义）理解不透，易受加法中对“0”处理方式的负迁移影响。二是连续进位时的计算准确性与耐心。计算步骤增多，部分积的位数可能不同，连续进位时学生容易遗漏或加错。预设突破方向是：针对难点一，强化算理理解，通过追问“这个0乘百位上的3，得到的0实际表示多少个百？”结合数位顺序表或计数器演示，明确“0”占位的必要性；针对难点二，设计分步检查策略，如计算完每一部分积后立即标记其数位意义，相加前先对齐数位，并鼓励使用估算进行结果范围的快速校验。四、教学准备清单1.教师准备1.1媒体与教具：多媒体课件（内含情境动画、算法步骤动态演示、分层练习题）；实物投影仪。1.2学习材料：分层探究学习任务单（A/B/C三档）；标准计算练习纸；印有数位表格的磁贴或卡片（用于板演分解计算过程）。2.学生准备2.1学具：数学书、练习本、直尺、不同颜色彩笔（用于标记数位或重点步骤）。2.2预学：回顾两位数乘两位数的笔算方法，并尝试用自己的话解释“每一步相乘得到的结果代表什么”。3.环境布置3.1座位：四人小组合作式排列，便于课堂讨论与互助。3.2板书：左侧预留核心算理推导区（可粘贴磁贴），中部为主例题规范板书区，右侧为方法要点及学生生成资源区。五、教学过程第一、导入环节1.情境创设，提出问题1.1（课件出示情境）同学们，看，这是我们学校图书馆为了丰富大家阅读，新购买的一批图书。已知每套科普丛书有124本，学校打算为24个班级每班配备一套。“老师现在遇到一个难题：总共需要购买多少本图书呢？谁能帮老师列个算式？”（学生列式：124×24）这个算式和我们以前学的乘法有什么不同？对，乘数变成了三位数和两位数。1.2建立联系，唤醒旧知“面对‘三位数乘两位数’这个新朋友，我们是不是完全陌生呢？请大家回想一下，我们学过‘两位数乘两位数’，比如12×24，你们是怎么算的？”（请一位学生简述算法并板演关键步骤）。看来，解决新问题，我们常常可以借助已有的经验。“那么，今天我们就一起化身‘计算小侦探’，利用已有的知识武器，来探索并攻克‘三位数乘两位数’这个新堡垒！我们的探索路线是：先独立尝试，再小组分享不同的‘破案思路’，最后一起梳理出最清晰、通用的计算方法。”第二、新授环节任务一：独立尝试，算法初探教师活动：首先，我将清晰地呈现核心问题：“如何计算124×24？”。我会给予学生35分钟的独立静思与尝试时间，鼓励他们动用所有已知的方法，可以在草稿纸上画图、分拆数字、尝试列竖式等。巡视期间，我将有目的地观察，寻找典型解法（如拆分乘数24为20和4，分别计算124×20和124×4再相加；或尝试模仿两位数乘法竖式进行笔算），并轻声引导思路受阻的学生：“想想124×24表示什么？可以把它看成24个124相加，有没有更简便的办法？我们学过两位数乘两位数是怎么拆分的？”。时间到后，我会邀请几位使用不同策略的学生上台，借助实物投影展示他们的思考过程。学生活动：学生根据问题，调动已有知识和经验进行独立探索。他们可能在练习本上写下124×24，并尝试将其转化为124×(20+4)=124×20+124×4进行计算；也可能直接尝试列出类似两位数乘法的竖式，但在对位和计算步骤上存在困惑。他们将准备简要说明自己的思路。即时评价标准：1.策略的多样性：能否尝试至少一种解决问题的策略（如拆分、画矩形图、列竖式等）。2.表达的清晰度：上台分享时，能否用自己的语言，步骤清晰地说明计算过程。3.倾听与联系：在聆听同伴分享时，能否发现不同方法之间的联系。形成知识、思维、方法清单：★核心问题：三位数乘两位数的计算方法并非凭空而来，而是建立在两位数乘两位数以及乘法分配律的认知基础之上。独立探索的价值在于暴露学生的真实思维起点和认知冲突。▲方法联系：将24拆成20和4分别相乘再相加的方法，是乘法分配律的直观应用，也是理解竖式算理的基石。●思维起点：学生的尝试可能正确，也可能存在错误（如竖式对位错误），这些“资源”都非常宝贵，是后续深化理解的切入點。任务二：聚焦算理，理解“拆分”本质教师活动：在学生展示多种方法后，我将引导全班聚焦到“拆分法”：124×24=124×(20+4)=124×20+124×4。“大家看，这种把24拆成20和4的方法，是不是一下子就把新问题变成了两个我们会算的乘法？124×4是我们学过的三位数乘一位数，结果是496。那124×20呢？”这里我会重点突破，提问：“124×20，表示什么？（20个124）可以怎么算？”引导学生说出先算124×2=248，再在末尾添一个0，得到2480。“现在，关键来了：2480和496，这两个‘部分积’，它们能直接相加吗？为什么？”通过讨论，明确2480表示248个十，496表示496个一，数位不同，必须对齐数位相加。我会在板书上用不同颜色标出“个位积”和“十位积”，并画线连接至拆分算式中的对应部分。学生活动：学生跟随教师的引导，深入理解拆分法的每一步。他们需要回答关键问题，明确124×20的计算技巧（先算124×2，再添0）及其结果“2480”的实际含义（248个十）。他们通过观察板书，建立起“拆分算式”、“部分积的数值含义”与“最终相加”之间的逻辑联系。即时评价标准：1.算理理解：能否正确解释124×20的计算过程及结果“2480”表示多少个“十”。2.数位意识：能否清晰说明为什么2480和496相加时要对齐数位（因为计数单位不同）。3.语言转化：能否将“124×20”这样的算式语言，转化为“20个124是多少”的意义语言。形成知识、思维、方法清单：★算理核心：三位数乘两位数，可以先将两位数拆分成整十数和一位数，利用乘法分配律分别与三位数相乘，再把得到的两个“部分积”相加。这是竖式算法的算理基础。▲数位本质：“部分积”的对齐问题，本质上是计数单位的统一。相乘时，乘数十位上的数代表几个“十”，它与三位数相乘，得到的积的末尾就要和十位对齐。●教学提示：此处务必慢下来，通过反复提问和板书标注，让抽象的“对齐”规则变得“有道理”，这是避免机械记忆的关键。任务三：沟通算法，构建竖式模型教师活动：在充分理解拆分算理的基础上，我将自然过渡到竖式书写。“刚才的‘拆分相加’思路非常清晰，但写起来有点占地方。数学家们发明了一种更简洁的记录方式——竖式。我们能尝试把‘124×20+124×4’这个过程，装进一个竖式里吗？”我会带领学生共同完成标准竖式的书写步骤。首先写出124×24的竖式格式。“第一步，先用个位上的4去乘124，得到积是496，这个积写在哪里？为什么？”（与个位对齐，表示496个一）。“第二步，用十位上的2去乘124。注意，这个‘2’表示什么？（2个十）所以124×20等于多少？（2480）这个2480在竖式里怎么写更简洁呢？”引导学生发现，因为末尾的0不影响计算，通常只写出248，但“这个‘8’应该写在哪一位上？为什么？”通过追问和回顾算理（2个十乘4得8个十，所以8写在十位上），明确第二部分积的末位要与十位对齐。最后将两次乘得的积相加。我会将竖式的每一步与之前的拆分算式进行动态对照演示。学生活动：学生参与竖式的构建过程，回答教师的关键提问。他们需要在理解的基础上，说出每一步书写的位置及其理由。跟随板书，在自己的练习本上同步书写规范的竖式，并尝试用箭头或旁注的方式，将竖式中的“496”和“248”与拆分算式中的“124×4”和“124×20”联系起来。即时评价标准：1.书写规范性：竖式格式是否正确，数位对齐是否严格。2.算理迁移：能否清晰说明竖式中每一步计算对应拆分算理中的哪一部分。3.语言表述：能否用“先用……乘……，积的末尾和……位对齐”这样的程序性语言描述计算过程。形成知识、思维、方法清单：★算法模型：三位数乘两位数的笔算竖式标准程序：1.相同数位对齐；2.先用两位数个位上的数去乘三位数，得数的末位和两位数的个位对齐；3.再用两位数十位上的数去乘三位数，得数的末位和两位数的十位对齐；4.把两次乘得的积加起来。▲简化书写：用两位数十位上的数乘时，乘得结果的末尾那个“0”可以省略不写，但数位必须对齐，这体现了数学的简洁美。●易错警示：第二部分积的对位是最高频错误点，必须反复强调“数位对齐”的算理依据，而非单纯记忆“错开一位”。任务四：对比辨析，深化“0”的处理教师活动：出示对比练习题：①124×24（已会）②308×24③124×20。“同学们，我们总结的方法能解决所有三位数乘两位数吗？试试第二题308×24，看看有什么新情况？”让学生独立尝试或小组讨论。预设学生会在用十位上的2乘308时遇到困惑：2×0=0，这个0写不写？怎么写？“咦，十位上的2乘十位上的0得0，这个0要不要写？不写的话，2乘百位上的3得6，这个6直接写在百位上吗？大家讨论一下，想想我们刚学的‘数位对齐’原则。”引导争论后明确：必须写0占位，因为这一步计算的是“2个十乘0个十得0个百”，这个0在百位上，所以要写在百位上，从而保证第二部分积“616”的“6”在千位上，数位关系才正确。对于第三题124×20，重点探讨简便写法，明确乘数末尾有0时，可以先将0前面的数对齐相乘，再看乘数末尾共有几个0，就在积的末尾添上几个0。学生活动：学生运用刚总结的算法尝试计算308×24，在计算第二部分积时产生认知冲突并展开小组讨论。他们需要运用“数位对齐”的算理来论证“0”占位的必要性。计算124×20时，则体验简便算法的优越性，并理解其原理。即时评价标准：1.原理应用：在计算308×24时，能否正确解释第二部分积中“0”占位的理由。2.灵活处理：在计算124×20时，能否主动应用末尾有0的简便算法。3.辨析能力：能否清晰区分乘数“中间有0”和“末尾有0”两种不同情况的处理方法。形成知识、思维、方法清单：★难点突破（中间有0）：当乘数中间有0时，用两位数十位上的数去乘三位数，与0相乘这一步不能省略，必须写0占位，以确保数位对齐，这是算理的严格体现。★算法优化（末尾有0）：当乘数末尾有0时，可以先计算0前面的数的乘法，再看乘数末尾一共有几个0，就在积的末尾添上几个0。这是基于“积的变化规律”的简便运算。●思维深化：对比两种情况，让学生深刻体会到，所有简便写法都必须建立在算理牢固的基础上，否则极易出错。“算理是船长，算法是航船，船长指挥航船，才能行稳致远。”任务五：归纳概括，形成计算法则教师活动：经历几个典型例题的探索后，我将组织学生进行阶段性总结。“经过刚才一系列的‘侦探工作’，我们终于掌握了三位数乘两位数的核心算法。现在，请大家以小组为单位，讨论并试着用最准确、简洁的语言，总结出笔算的计算法则和注意事项。”我会提供总结框架提示：“先怎么做？再怎么做？对位有什么规则？遇到0怎么办？”。小组讨论后，请代表分享，其他组补充或质疑。最后，我与学生共同梳理、完善，形成规范的计算法则口诀或步骤图，并板书在核心位置。学生活动：学生以小组为单位，回顾本节课的探索历程，合作提炼计算法则。他们需要调动语言组织能力，将操作性的经验上升为概括性的规则。小组代表进行陈述，全班共同审议、修正，最终内化共识。即时评价标准：1.概括的全面性：总结是否涵盖了主要步骤和对特殊情况的处理。2.语言的准确性：使用的数学术语是否规范、无歧义。3.合作的实效性：小组内是否人人参与讨论，贡献了想法。形成知识、思维、方法清单：★核心法则：师生共同归纳的三位数乘两位数笔算法则（步骤清晰，含对位规则及0的处理）。▲方法升华：从具体例子中归纳一般法则，是数学学习的重要思维方式。●认知结构化：通过自主归纳，学生将零散的知识点串联成线，编织成网，形成稳固的认知结构。这个法则将成为学生后续自主练习的“行动指南”。第三、当堂巩固训练1.分层练习基础层（全体必做）：完成3道标准形式的三位数乘两位数计算题，如145×23、209×18、360×15。要求竖式计算规范，并口头简述每一步的含义。“请大家先独立完成，做完后可以和同桌交换，按照‘计算正确、书写规范、数位对齐’三个小标准互相检查一下。”综合层（大多数学生挑战）：解决一个两步计算的实际问题，如“学校体育组买了15个篮球，每个篮球108元；又买了24个排球，每个排球85元。买篮球比买排球多花了多少钱？”。此题需要学生先分别计算总价，再比较差值，综合运用新知和旧知。挑战层（学有余力者选做）：①探究：124×24与24×124的竖式计算过程有何不同？结果呢？这说明了什么？（渗透乘法交换律）②开放题：在方框里填上合适的数字，使竖式成立（提供一道不完整的竖式乘法谜题）。2.反馈与讲评巡视指导，重点关注基础层学生的对位和进位情况。利用实物投影展示具有代表性的正确解答和典型错误（如第二部分积对位错误、中间0未占位、进位漏加等）。“我们一起来看看这位同学的作业，他算对了吗？哪里特别值得大家学习？”（展示规范作业）。“再看这个例子，结果接近，但有个‘小bug’，火眼金睛的同学们能找出来吗？”组织学生辨析错误原因。对于综合层和挑战层的问题，请完成的学生分享思路，突出解题策略和验算方法。第四、课堂小结1.知识整合“这节课的探索之旅即将到站，让我们一起来绘制今天的‘知识地图’。”引导学生以思维导图形式回顾：中心是“三位数乘两位数”，主干延伸出“算理（拆分法）”、“算法（竖式步骤）”、“特殊情形处理（中间有0、末尾有0）”、“应用（解决问题）”。可以请几位学生在黑板或口头补充完成。2.方法提炼“回想一下，我们今天是怎么一步步获得这个新知识的？”引导学生反思学习路径：从实际问题出发，借助旧知（两位数乘两位数）进行尝试，通过交流辨析理解算理，进而抽象出算法模型，最后应用和巩固。“这种‘联系旧知探索新知总结规律’的方法，以后学习其他数学知识也同样适用。”3.作业布置与延伸“今天的作业是一座‘分层挑战塔’！”公布分层作业（详见第六部分）。“必做题是巩固我们的大本营，选做题是瞭望更远的风景。另外，给大家留个‘悬念’：三位数乘三位数，你会算吗？试着用今天悟到的方法推理一下，我们下节课来揭晓！”六、作业设计1.基础性作业（必做）(1)竖式计算：127×32、205×41、180×25。(2)改正题：指出并改正一道给出错误过程的竖式计算题（错误类型涵盖对位、进位、0的处理等常见问题）。(3)简单应用：一箱矿泉水有24瓶，学校运动会需要准备135箱，一共需要多少瓶矿泉水？2.拓展性作业（建议完成）(1)解决问题：王老师自驾车从A市到B市，平均车速是98千米/时，行驶了12小时后到达服务区休息，此时距离B市还有156千米。A市到B市的总路程是多少千米？（本题需要先算已行驶路程，再求总路程）(2)思维体操：不用精确计算，估算一下308×19的积更接近（）。A.6000B.4500C.5800并说说你的估算策略。3.探究性/创造性作业（选做）(1)数学小研究：查阅资料或自行思考，探究“铺地锦”等古代乘法计算方法，并与现代竖式计算法进行比较，写一份简短的发现报告（可配图）。(2)创编题：请你结合生活中的一个场景，创编一道需要用“三位数乘两位数”解决的实际问题，并附上解答过程。七、本节知识清单及拓展★1.核心算理：三位数乘两位数，可以先将两位数分解为“整十数”与“一位数”的和，再运用乘法分配律分别与三位数相乘，最后把两个“部分积”相加。这是竖式计算的灵魂。（教学提示：务必让学生经历“拆分计算合并”的完整思维过程，可用长方形面积模型辅助理解。）★2.标准算法（竖式步骤）：①相同数位对齐；②用两位数个位上的数依次乘三位数的每一位，得数末位与个位对齐；③用两位数十位上的数依次乘三位数的每一位，得数末位与十位对齐；④把两次乘得的积相加。（记忆口诀：个位乘完个位齐，十位乘完十位齐，最后加起莫忘记。）★3.乘数中间有0的乘法：用两位数十位上的数去乘三位数时，若遇到三位数中间是0，仍需按步骤相乘，乘得的0要写在相应的数位上占位，保证数位对齐关系正确。例如308×24中，十位上的2乘0得0，这个0要写在百位上。★4.乘数末尾有0的乘法（简便算法）：可先把0前面的数对齐相乘，再看两个乘数的末尾一共有几个0，就在积的末尾添上几个0。例如450×20，先算45×2=90，再添上两个0，得9000。其原理是“积的变化规律”。▲5.估算的应用：在笔算前或笔算后，可将乘数视为接近的整十、整百数进行估算，用以判断积的大致范围，检验计算结果合理性。如124×24≈120×25=3000，或≈125×24=3000。●6.易错点警示：①第二部分积的对位错误（最常见）；②乘数中间有0时漏乘或未写0占位；③连续进位加法出错；④乘数末尾有0时，积的末尾漏添0。●7.计算习惯养成：①书写工整，数位对齐；②用尺子画横线；③每一步计算都从个位算起，并处理好进位标记；④计算完毕后，养成估算或逆运算（除法）验算的习惯。▲8.学科思想渗透：本节课深刻体现了“转化”思想（将新问题转化为旧知识解决）和“模型”思想（从具体情境抽象出乘法算式模型）。算法的探索过程也是“归纳推理”的体现。八、教学反思（一）目标达成度分析假设本节课得以实施，从预设的形成性评价点观察：在“任务二”的提问反馈和“任务三”的板演中，大部分学生能清晰表述“拆分”算理及对位原因，表明算理目标初步达成。在“当堂巩固”环节，基础层练习的正确率若能达到85%以上，且典型错误经讲评后能自我修正，则说明算法技能的“保底”目标基本实现。综合层问题的解决情况，能反映学生迁移应用能力，是衡量素养目标达成的关键指标。挑战层作业的选做与完成质量，则为差异化发展提供了证据。（二）教学环节有效性评估导入环节的情境引发了真实兴趣，成功地将生活问题数学化。新授环节的五个任务构成了螺旋上升的认知阶梯：“独立尝试”激活了前知并暴露差异；“聚焦算理”突破了从算法操作到算理理解的关键一跃，“这里慢就是快，没有算理的透彻理解，后续练习不过是重复错误”；“沟通算法”实现了从直观算理到抽象符号（竖式）的平滑过渡；“对比辨析”精准打击了认知难点，尤其是“0”的处理，通过认知冲突深化了理解；“归纳概括”则完成了知识的结构化，赋予了学生学习的主动权。巩固环节的