追及问题中的数学建模与方程思想-五年级数学“列方程解应用题”专题教学设计

追及问题中的数学建模与方程思想——五年级数学“列方程解应用题”专题教学设计一、教学内容分析  本节内容隶属于“数与代数”领域，是沪教版五年级下册“简易方程”单元中的关键应用节点。从课标视角审视，本课的知识技能目标在于引导学生在具体情境中，识别追及问题中的数量关系，并运用方程这一数学模型加以解决。这不仅是算术方法解应用题的进阶，更是培养学生从算术思维向代数思维过渡的重要桥梁，在单元知识链中起着承上（巩固方程解法）启下（为后续学习更复杂的行程问题、工程问题奠定模型基础）的核心作用。其过程方法路径鲜明地指向“数学建模”：学生需要经历“从现实生活抽象出数学问题—寻找等量关系、设定未知数—建立方程—求解验证—回归实际解释”的完整过程，从而将具体的“追及”情境转化为一般的“ax±bx=c”型方程。其素养价值渗透于模型思想的初步建立与应用意识的深化：通过解决追及问题，学生能体会到数学是对现实世界数量关系的抽象与刻画，感受方程作为强大数学工具的普适性与简洁美，逐步形成运用数学语言分析和解决实际问题的理性精神与关键能力。  基于“以学定教”原则，学情研判如下：学生已掌握了用字母表示数、解形如ax±b=c的简易方程，并具备用算术方法解决简单行程问题的基础。然而，从算术思维跃升至代数思维，主动“设未知数”参与列式仍是一大挑战。追及问题涉及两个运动对象的“速度”、“时间”、“路程”三者关系的交织与比较，其动态过程相对抽象，学生极易在寻找“路程相等”这一核心等量关系时出现困惑，或混淆“速度差”与“速度和”。因此，教学必须提供直观动态的情境支持（如线段图、动画演示），并设计层次分明的探究任务，引导学生逐步剥离非本质信息，聚焦关系建构。课堂中将通过观察学生画图、倾听小组讨论、分析随堂练习等方式进行动态评估，并针对理解较快的学生提供变式挑战，对存在困难的学生则通过个别辅导、提供更具体的“脚手架”（如填充部分关系的线段图）予以支持，确保不同认知起点的学生都能在最近发展区内获得成长。二、教学目标  知识目标：学生能够理解追及问题中“同时出发、同向而行、快追慢”的基本结构，精准把握“快者路程=慢者路程+初始距离”这一核心等量关系；能熟练运用“ax±bx=c”的方程模型表征该关系，并正确求解，实现从具体情境到抽象方程的符号化表达。  能力目标：在解决追及问题的过程中，学生能够有策略地借助线段图等直观手段分析复杂数量关系，提升信息提取与整合能力；能够经历完整的数学建模过程，发展从实际问题中抽象出数学模型（方程），并运用模型进行解释与预测的应用能力与推理能力。  情感态度与价值观目标：通过创设生动有趣的追及情境，激发学生对数学应用于生活的好奇心与探究欲；在小组合作探寻等量关系的过程中，培养学生倾听他人思路、勇于表达自我观点的合作交流意识，体会数学思维的严谨与解决问题的成就感。  科学（学科）思维目标：重点发展学生的模型思想与符号意识。引导其经历“具体—抽象—具体”的思维过程，即从具体追及情境中抽象出普遍的等量关系模型，再用该模型解决新的具体问题。同时，强化方程作为沟通已知与未知的桥梁作用，提升运用符号进行数学思考和表达的逻辑性。  评价与元认知目标：引导学生建立列方程解决问题的基本步骤（审题、设元、找等量关系、列方程、解方程、检验作答）的元认知框架；能够在解决问题后，通过对比算术与方程两种方法，反思方程在表达复杂关系时的优越性，初步形成根据问题特征灵活选择解题策略的意识。三、教学重点与难点  教学重点：分析追及问题中的数量关系，找出“快者行驶的路程等于慢者行驶的路程加上初始距离”这一核心等量关系，并据此正确列出方程。其确立依据在于，这不仅是课程标准中“能用方程表示简单情境中的等量关系”要求的具体化与深化，更是培养学生模型思想的关键所在。在学业评价中，能否准确建立等量关系是解决所有列方程应用题的决定性步骤，直接决定了问题的成败。  教学难点：理解“追及时间”的同一性以及“速度差”与追及距离的动态关系。学生常见的思维障碍在于，容易将两个运动对象的路程视为孤立变量，忽视它们是在“相同时间”内行驶的隐含条件；或在寻找等量关系时，无法清晰地将“初始距离”纳入考量。预设依据源于学生认知特点：该年龄段学生的思维正从具体运算向形式运算过渡，对同时性、相对性等抽象关系的把握仍需直观支撑。突破方向在于强化线段图的动态演示与解读，将抽象关系可视化、直观化。四、教学准备清单1.教师准备1.1媒体与教具：制作包含动态追及情境（如小明追哥哥）的交互式课件；准备可移动的磁贴或卡片，用于黑板上演线段图的动态生成过程。1.2学习材料：设计分层学习任务单（含基础、提升、挑战不同层次的任务）；准备课堂练习与分层作业纸。2.学生准备2.1知识回顾：复习行程问题基本公式（路程=速度×时间）；熟悉解形如ax±bx=c的方程。2.2学具：直尺、铅笔。3.教室环境3.1座位安排：四人小组合作式布局，便于讨论交流。3.2板书记划：预留主要区域用于呈现核心等量关系推导过程、方程模型及学生解题成果展示。五、教学过程第一、导入环节  1.情境激趣，唤醒旧知：“同学们，想象一下这个场景：弟弟小明和哥哥同时从家出发去图书馆，哥哥走得快，小明走得慢，哥哥先走了一段路之后，小明才发现忘带借书卡，于是加速去追。最后，小明能在哥哥到达图书馆前追上他吗？这中间藏着什么样的数学秘密呢？”（利用生活化情境快速吸引学生注意力，自然引出“追及”主题）。1.1问题驱动，明确方向：“要回答这个问题，我们需要知道哪些信息？（速度、时间、距离…）以前我们解决行程问题，多用算术方法。今天，我们要请出一位新帮手——方程，看看它如何帮助我们更清晰、更直接地揭开这类‘追及问题’的谜底。”（点明本课学习工具与核心内容）。1.2勾连经验，图示铺垫：“先别急，遇到复杂的行程问题，我们有一个好伙伴，它是谁？对，线段图。让我们试着用线段图来捋一捋刚才情境中的关系。”（简要回顾线段图作用，为新课探究做好思维工具的准备）。第二、新授环节任务一：情境初探，直观感知追及结构教师活动：播放定制动画：小明家距图书馆800米，哥哥以每分钟100米的速度先行出发，2分钟后小明以每分钟120米的速度去追。动画清晰展示两人运动过程。教师同步用磁贴在黑板上动态生成线段图：先画出代表家到图书馆的线段，标注800米；用红色磁贴代表哥哥，从其起点开始移动，示意其速度和已走路程；稍后，用蓝色磁贴代表小明从起点出发追赶。“请大家仔细观察，动画中，哥哥和小明的运动有什么特点？（同时、同向、有速度差、有初始领先距离）谁能用自己的话说说，什么叫‘追上’？”引导学生说出“当小明走的路程和哥哥走的路程一样长时，就追上了”。但随即抛出认知冲突：“咦，等等，哥哥先走了2分钟，小明出发时，哥哥已经不在起点了。他们走的总路程真的‘一样长’吗？我们该怎么比？”学生活动：认真观看动画，感受追及过程的动态性。观察黑板上的线段图演变。思考并回答教师提问，尝试描述“追及”的直观含义。在教师引发认知冲突后，产生疑惑，并积极思考如何比较路程。即时评价标准：1.能否准确描述动画中两个对象的运动特点（同向、同时、不同速）。2.能否在教师引导下，关注到“哥哥提前走的路程”这一关键信息。3.参与讨论的积极性和语言表达的清晰度。形成知识、思维、方法清单：★追及问题三要素：同时同向运动、速度有快慢、初始有距离（或时间差）。▲“追上”的直观含义：快者从起点到追上点所行驶的路程，等于慢者从起点到追上点所行驶的路程。注意起点可能因出发时间不同而隐含差异。方法提示：动态演示和线段图是理解复杂运动过程的“眼睛”，务必先看明白过程。任务二：算术尝试，暴露思维难点教师活动：“在没有方程之前，我们先试试用学过的算术方法来解决。问题是：小明出发后几分钟追上哥哥？”给予学生短暂独立思考时间，请不同思路的学生上台板演或口述。“有的同学可能这样想：先算哥哥先走的路程100×2=200米，再看小明每分钟比哥哥快120100=20米，追200米需要200÷20=10分钟。思路很清晰！这就是‘路程差÷速度差=追及时间’。但老师想问，这个算式‘200÷20’求的是什么？每一步的算理大家都清清楚楚吗？如果题目变得更复杂，比如中途速度变化，这个思路还那么容易找吗？”通过肯定算术解法的同时，引导其反思算理的抽象性。学生活动：尝试用算术方法解决问题。倾听同伴的不同解法。思考教师提出的问题，感受算术方法虽然快捷，但需要对“路程差”和“速度差”的关系有深刻理解，思维步骤是逆向的、综合的。即时评价标准：1.能否正确计算出追及时间。2.能否理解或解释“路程差÷速度差=追及时间”这一模型的算理。3.是否感受到解决步骤的思维复杂度。形成知识、思维、方法清单：★算术解法模型：追及时间=初始路程差÷速度差。▲算术思维的局限：需要直接找到并计算出最终问题所求，思维过程往往是“逆推”的，对于多步骤或关系隐蔽的问题，思考难度较大。思维对比：此为后续引入方程思维，感受其“顺向”思考优势做铺垫。任务三：方程建构，顺向寻找等量关系教师活动：“现在，我们请方程来帮忙。列方程的核心是什么？对，找到等量关系。在这个追及问题中，有没有一个‘天然的’相等关系？”引导学生再次观察线段图：“看，从‘追上’那个时刻往回看，哥哥走的路程和小明走的路程，有什么关系？”学生可能说出“小明路程=哥哥路程”。教师追问：“完全相等吗？哥哥先走了2分钟哦。看线段图，哥哥走的路程可以分为哪两部分？”（引导学生说出：先走的200米+后来和小明同时走的路程）。教师在线段图上明确标示：“所以，真正的等量关系是：小明行驶的路程=哥哥先行的路程+哥哥后行驶的路程。而‘哥哥后行驶的路程’和‘小明行驶的路程’所用的时间是一样的，我们设为x分钟。”边讲边板书：“设小明出发x分钟后追上哥哥。则小明路程：120x；哥哥总路程：100×2+100x。根据等量关系可得方程：120x=100×2+100x。大家看，这个方程直接表达了‘追上时两人路程关系’这个事实，我们的思考是不是更‘顺’了？”学生活动：在教师引导下，聚焦“追上”时刻，重新审视线段图，寻找等量关系。理解教师对哥哥路程的分解。跟随教师设未知数、用代数式表示各分量，共同参与方程120x=200+100x的生成过程。对比算术解法，体会列方程是“顺向”表达已知和未知之间的关系。即时评价标准：1.能否在线段图辅助下，准确找到“小明路程=哥哥先行路程+哥哥同时间行驶路程”这一等量关系。2.能否正确设定未知数，并用含x的代数式表示小明和哥哥的路程。3.能否理解列方程过程的逻辑顺序。形成知识、思维、方法清单：★核心等量关系（方程法的基石）：快者行驶路程=慢者先行驶路程+慢者后行驶路程（与快者时间相同）。★列方程关键步骤：审题设元（常设追及时间为x）→利用线段图分析，用代数式表示各路程→根据等量关系列出方程。思维跃升：方程思维是“顺向”的，把未知量当作已知量参与构建关系，降低了思维难度，更具普适性。任务四：模型初显，归纳与辨析教师活动：引导学生一起解方程120x=200+100x，得x=10。验证后，教师将方程变形：“观察这个方程120x=200+100x，我们把含有x的项移到一边看看：120x100x=200，也就是(120100)x=200，20x=200。大家发现了什么？”引导学生发现，变形后的方程正是算术方法的算式模型。“看，方程和算术方法在这里相遇了！这说明什么？”（两者本质相通，方程是更通用的表达）。进而提出：“如果哥哥先出发t分钟，速度是v1，小明速度是v2，追及时间是x时，方程可以怎么写？”引导学生抽象出模型：v2x=v1t+v1x或(v2v1)x=v1t。学生活动：解方程并检验。观察方程变形过程，惊奇地发现方程可以转化为熟悉的算术模型。参与抽象概括，尝试用字母表示一般情况下的追及问题方程模型。即时评价标准：1.能否独立或合作完成解方程与检验。2.能否通过观察，发现方程模型与算术模型之间的内在联系。3.能否在教师引导下，初步尝试用字母概括一般模型。形成知识、思维、方法清单：★追及问题标准方程模型（同地不同时）：快速×追及时间=慢速×先行时间+慢速×追及时间。等价转化为：(快速度慢速度)×追及时间=慢速度×先行时间。★模型联系：算术方法是方程模型在特定条件下的变形或直接应用，方程更具一般性。认知深化：建立具体与抽象之间的联系，从解决一个问题到掌握一类问题的工具。任务五：变式应用，巩固建模能力教师活动：出示变式题：“甲、乙两车相距300千米，同时相向而行？不对，注意今天我们学的是什么？同向而行！乙车在前，每小时行40千米；甲车在后，每小时行55千米。甲车几小时后追上乙车？”（强调“同向”与“相距”即初始距离）。教师提问：“这里的等量关系是什么？怎样用线段图表示‘相距300千米’？”请学生尝试独立画图分析、设元列方程。巡视指导，重点关注对“初始距离300千米”的处理是否准确（甲车路程=乙车路程+300）。挑选不同列法（如55x=40x+300）的作业进行投影展示、互评。学生活动：阅读题目，识别这是“同时不同地”的追及变式。尝试画线段图，分析等量关系，独立设未知数列方程。小组内交流各自的列法和依据。参与全班互评，辨析正误。即时评价标准：1.能否正确画出反映“初始距离”的线段图。2.能否根据线段图正确找出等量关系并列出方程。3.在小组交流中能否清晰地解释自己的思路。形成知识、思维、方法清单：▲追及问题变式模型（同时不同地）：快者路程=慢者路程+初始距离。即v快t=v慢t+s初距。★核心不变：无论“不同时”还是“不同地”，追及问题的本质等量关系都是“快者路程=慢者路程+路程差（由时间差或距离差造成）”。易错警示：区分“相向而行”（相遇问题）和“同向而行”（追及问题），审题时务必圈画运动方向关键词。任务六：合作出题，内化模型思想教师活动：“现在你们都是小老师了。请以小组为单位，利用今天学的追及模型，创作一道追及问题应用题。要求情节合理，数据自拟，并给出完整的方程解答。”提供简单框架提示：“（）和（）从（）出发，……，求（）。”巡视中鼓励多样化情境（如跑步比赛、工程进度追赶等），并引导检查等量关系的正确性。学生活动：小组合作，讨论创设情境，设定符合追及结构的数量（速度、时间差或初始距离），共同编题。合作完成列方程解答的过程。准备向全班展示题目和解题思路。即时评价标准：1.编创的题目是否符合追及问题的基本结构（同时/不同时、同向、有追及）。2.设定的数据是否合理，等量关系是否正确。3.小组分工合作是否有效，能否共同完成解答。形成知识、思维、方法清单：★模型应用与创造：能够识别、构建符合追及模型的实际情境，是掌握模型思想的高级体现。素养渗透：此活动综合考查了数学建模、数学运算、合作交流等多方面素养，将知识学习升华为能力创造与运用。第三、当堂巩固训练  1.基础层（全员必做）：直接应用模型题。“小王和小李从学校去公园，小王步行每分钟60米，先走5分钟。小李骑自行车每分钟行180米去追。小李出发多少分钟后追上小王？”（重点巩固“不同时”模型）。2.综合层（多数学生完成）：条件稍复杂或需要间接处理。“一辆客车和一辆货车从相距400千米的两城同向开出，客车在前，货车在后。客车每小时行75千米，货车每小时行100千米。货车开出几小时后能追上客车？”（巩固“不同地”模型，并需处理“客车在前”这一信息）。3.挑战层（学有余力选做）：开放探究。“在上题中，如果客车开出2小时后，货车才出发追赶，结果会怎样？请列方程求解并解释。”或者联系生活：“查阅资料，了解‘复兴号’与‘和谐号’高铁的时速，假设一辆‘和谐号’先行出发，一小时后‘复兴号’从同一车站出发追赶，设计一个问题并解答。”  反馈机制：学生独立完成后，首先在小组内交换批改基础题和综合题，讨论分歧。教师随后针对巡视和小组反馈中的共性问题进行集中讲评，重点剖析等量关系的寻找过程。挑选有代表性的挑战层解答进行投影展示，由创作者讲解思路，教师给予点评和鼓励，拓展全班思维。第四、课堂小结  引导学生进行结构化总结：“同学们，经过一节课的探索，现在如果让你向一位请假没来的同学介绍‘列方程解决追及问题’，你会抓住哪几个要点来讲？”鼓励学生从知识（核心等量关系）、方法（线段图辅助、列方程步骤）、思想（模型思想、方程优越性）等多个维度进行梳理。教师最后用简洁的板书或思维导图进行系统归纳，强调“找等量关系”是列方程的灵魂。“看来大家收获都不小。方程就像一位忠实的记录员，把我们分析出的数量关系清清楚楚地记录下来，再帮我们算出答案。”  作业布置：1.必做题：完成练习册上与本课相关的23道基础应用题，要求画线段图、列方程解答。2.选做题（二选一）：(1)寻找生活中一个可能用追及模型解释的现象或故事，并尝试用数学语言描述。(2)思考：如果两个人是在环形跑道上同向跑步，所谓的“追上”又是什么意思？等量关系会有什么变化？（为后续学习埋下伏笔）。六、作业设计基础性作业（必做）  1.甲、乙两人从A地前往B地。甲骑自行车，速度是每分钟250米，先行出发10分钟。乙骑摩托车，速度是每分钟500米。乙出发多少分钟后能追上甲？（要求：画线段图分析，设未知数，列方程解答）。  2.A、B两站相距150千米。一辆慢车从A站出发，每小时行40千米。一小时后，一辆快车从A站出发同向行驶，每小时行70千米。快车开出几小时后追上慢车？（要求：同上）。拓展性作业（建议完成）  3.（情境化应用）小明和爸爸进行骑车训练。父子俩从同一起点出发，爸爸每分钟骑300米，小明每分钟骑200米。爸爸骑了5分钟后发现忘记带水，立即掉头以原速返回取水（从掉头到取水忽略时间），然后立即以原速再去追小明。问爸爸从掉头开始，再过几分钟能追上小明？（提示：重点分析爸爸掉头再追上这段时间内，两人路程关系的变化）。探究性/创造性作业（选做）  4.（微型项目）请你担任“校园运动会400米赛跑”的数学观察员。假设跑道为标准环形400米。已知运动员A的平均速度是6米/秒，运动员B的平均速度是5.5米/秒。如果B在A起跑后5秒起跑，且都保持匀速。研究以下问题：(1)A第一次追上B（即扣圈）时，大约在起跑后多少秒？此时各自跑了多少米？(2)在整个比赛过程中（假设都跑完全程），A能追上B几次？请尝试建立方程模型进行分析（提示：追上的含义变成“A比B多跑整圈数”）。七、本节知识清单及拓展  1.★追及问题定义：两个物体在同一路线上同向运动，由于速度不同，慢者在前，快者在后，经过一段时间，快者追上慢者的行程问题。  2.★核心三要素：运动方向（同向）、速度关系（快慢不同）、起始状态（同时或不同时、同地或不同地）。这是判断是否为追及问题的依据。  3.★核心等量关系（方程法基石）：从开始追赶到追上的时刻，快者行驶的总路程=慢者行驶的总路程+初始的路程差。初始路程差由“时间差”或“空间距”造成。  4.★标准方程模型（不同时出发）：设追及时间为x。v快x=v慢t先+v慢x，其中t先为慢者先出发的时间。变形可得(v快v慢)x=v慢t先。  5.★标准方程模型（不同地出发）：设追及时间为x。v快x=v慢x+s初距，其中s初距为初始时刻快慢两者间的距离。变形可得(v快v慢)x=s初距。  6.★通用模型思想：以上两个模型可统一理解为：速度差×追及时间=初始路程差。这是算术解法的直接来源，但列方程时更推荐从路程相等关系直接入手，思维更顺。  7.★关键解题工具——线段图：必须养成画线段图的习惯。用两条平行线段（或一条线段上分段）分别表示快、慢者的路程，直观展示“初始差”和“追上时”的路程关系。图是寻找等量关系的“脚手架”。  8.★列方程解题步骤：①审题，画图分析；②设未知数（常设追及时间为x）；③用含x的代数式表示快、慢者各自的路程；④根据核心等量关系列出方程；⑤解方程；⑥检验（是否符合实际意义和方程）并作答。  9.▲易混淆点辨析：“追及问题”与“相遇问题”根本区别在于运动方向（同向vs相向），其等量关系截然不同（路程和vs路程差）。审题时务必先判断类型。  10.▲速度差的含义：在追及问题中，“速度差(v快v慢)”表示单位时间内快者比慢者多走的距离，正是靠这个“多走的”部分，一点一点“吃掉”初始的路程差，从而完成追赶。  11.▲算术法与方程法的对比：算术法思维逆向，需直接构造出求未知数的算式，对分析能力要求高；方程法思维顺向，用未知数参与表示和建立关系，降低了思维难度，更具普适性。两者本质相通，方程是更一般的工具。  12.▲模型初步拓展——环形跑道追及：在环形跑道上同向追及，其等量关系通常为：快者路程慢者路程=环形跑道周长（或周长的整数倍）。这是直线追及模型在封闭曲线上的延伸，核心思想不变。  13.素养聚焦——模型思想：本节课的核心素养落脚点是“模型思想”。从具体的龟兔赛跑、兄弟追及等情境中，抽象出“ax±bx=c”的方程模型，再用这个模型去解决新的问题。这是一个完整的“数学化”过程。  14.素养聚焦——应用意识：认识到追及问题广泛存在于生活（交通、体育、工程调度）和科学领域（天体运动、追及问题），有意识地用数学的眼光观察世界，用数学的思维分析世界中的此类现象。八、教学反思  （一）教学目标达成度分析：从课堂练习与反馈来看，绝大多数学生能够正确画出线段图，并依据“快者路程=慢者路程+初始路程差”列出方程解决基础性追及问题，知识目标基本达成。在“合作出题”环节，大部分小组能创设出结构正确的追及情境，表明对模型的理解已从识别进入初步应用阶段，能力目标有效落实。课堂中学生对动态演示表现出浓厚兴趣，在小组讨论中能积极发言、倾听，情感目标得以渗透。然而，在挑战层练习和抽象概括一般模型（v2x=v1t+v1x）时，部分学生表现出迟疑，说明从具体数字到抽象字母符号的跨越仍需更多练习与引导，学科思维目标的深化有待加强。  （二）教学环节有效性评估：导入环节的“生活化追及”情境能快速聚焦，但3分钟时间略紧，部分学生对情境中隐含的“时间差”理解不够充分，若增加一个“如果哥哥没先走，同时出发会怎样？”的对比提问，认知冲突会更强烈。新授环节的六个任务环环相扣，层层递进，尤其是“任务三：方程建构”是思维转化的关键节点，教师通过边画图边提问、边板书边讲解的方式，搭建了坚实的“脚手架”，学生跟随顺畅。“任务五