九年级数学《利用相似三角形测高与位似》教学设计

九年级数学《利用相似三角形测高与位似》教学设计一、教学内容分析

本节课隶属于初中数学“图形与几何”领域，核心内容是利用相似三角形的性质解决实际物体的高度测量问题，并在此基础上抽象、概括出图形的位似变换这一更高层次的几何概念。从《义务教育数学课程标准（2022年版）》看，本节课是“图形的相似”主题下的关键应用与深化。在知识技能图谱上，它要求学生不仅能理解相似三角形的判定与性质，更要能综合应用这些知识于真实、开放的测量情境中，完成从具体问题抽象为几何模型（数学建模），再利用模型推理计算（逻辑推理）的全过程，这构成了单元知识链中从理论理解走向实践创新的关键一环。过程方法上，课标强调的“模型观念”、“几何直观”与“应用意识”在本课有绝佳的落脚点。学生将亲历“发现问题抽象模型求解验证反思归纳”的完整探究路径，体验数学作为工具解决实际问题的威力。素养价值渗透方面，通过小组合作设计多元化测高方案，能培育创新精神与协作意识；通过对比不同方案优化模型，可渗透优化思想与批判性思维；而位似概念的学习，则联结了生活（如电影放映、地图绘制）与数学的抽象美，有助于提升空间观念和审美感知。

学情研判需立体化。九年级学生已掌握相似三角形的判定与基本性质，具备一定的逻辑推理和几何直观能力，生活经验中也接触过“影子测高”等朴素方法。然而，潜在障碍在于：第一，从具体情境中主动、恰当地构造相似三角形模型是思维难点，学生易受无关因素干扰；第二，对位似概念中“对应点连线交于一点”及位似比与相似比关系的理解，易与中心对称、全等变换混淆。因此，教学需搭建从具象操作到抽象概念的阶梯。过程评估将贯穿始终：在导入环节通过开放性提问探查前认知；在新授环节通过小组方案展示评估建模能力；在巩固环节通过变式练习诊断知识迁移水平。针对差异，将提供多层次“脚手架”：对基础薄弱学生，提供标准测量工具的引导式任务单；对能力较强学生，则挑战其使用自制工具或在不便直接测量的限制条件下，并鼓励他们从具体测高中提炼位似本质。二、教学目标

知识目标：学生能完整阐述利用相似三角形原理进行间接测高的基本原理与至少两种典型方法（如影长法、标杆法），并能准确表述图形位似的定义，区分位似与相似、位似与中心对称的联系与区别，理解位似比的意义。

能力目标：在给定真实测高任务（如测量旗杆高度）时，学生能够以小组为单位，自主设计并实施一种可行的测量方案，合理选择工具，规范记录数据，并运用相似三角形知识进行准确计算与简要误差分析。

情感态度与价值观目标：在小组协作探究中，学生能积极贡献想法，尊重并倾听同伴方案，面对测量误差与方案分歧时，能秉持理性、求实的科学态度进行研讨与优化，体验团队智慧与数学应用的价值。

科学（学科）思维目标：重点发展学生的模型建构思想与几何直观能力。通过将复杂的实际测高问题抽象为简洁的相似三角形几何模型，并经历从“具体实物关系”到“抽象位似变换”的归纳过程，提升其空间想象与抽象概括能力。

评价与元认知目标：学生能够依据“方案可行性、操作规范性、计算准确性、表述清晰性”等维度，对自身或他组的测高方案进行初步评价与反思，并能总结在解决此类实际问题时的一般思维路径（如：转化、建模、求解）。三、教学重点与难点

教学重点：综合运用相似三角形的判定与性质解决实际物体的高度测量问题。其确立依据源于课标对“模型观念”和“应用意识”的核心素养要求，以及中考中对此类将数学知识与生活实践紧密结合的综合应用题型的持续关注。掌握此重点，意味着学生能将抽象的几何定理转化为解决真实世界问题的钥匙，是知识实现迁移与应用的关键标志。

教学难点：对图形位似概念，特别是位似中心的位置（在位似图形之间、之外）与位似比正负关系的理解。难点成因在于该概念具有较高的抽象性，学生需在动态想象中把握图形间所有对应点的特定位置关系，这超越了单一的三角形关系，上升到了对图形整体变换规律的认识，认知跨度较大。突破方向在于，从学生亲手操作的、具体的测高模型（如标杆法、镜子反射法模型）中，自然提炼出位似的几何特征，通过多组图形变式（如改变位似中心位置）的观察对比，深化理解。四、教学准备清单1.教师准备1.1媒体与教具：多媒体课件（含测高动画、位似图形动态变换）、实物投影仪。1.2教学资源：分层学习任务单（含基础引导与拓展挑战）、课堂巩固练习卷、分层作业设计。1.3演示工具：两个比例精确的缩微建筑模型（用于演示）、激光笔、可调节高度的标杆模型。2.学生准备2.1预习任务：回顾相似三角形的所有判定定理与性质定理；思考“如何不直接爬高，测量学校旗杆或教学楼的高度？”。2.2分组物品：以46人异质分组，每组准备卷尺（或测绳）、简易标杆（可用直尺代替）、量角器、计算器、记录纸。3.环境布置3.1座位安排：小组围坐式，便于讨论与实验。3.2板书记划：预留左板面用于呈现测高方案推导过程，右板面用于梳理位似知识体系。五、教学过程第一、导入环节1.情境创设与问题驱动：1.1现实问题抛出：“同学们，学校即将举行运动会，需要准确知道旗杆的高度来悬挂标语。我们不可能直接爬上去测量，大家开动脑筋，你能想到哪些‘不动手爬高’就能测出旗杆高度的巧妙方法呢？”（等待学生自由发言，可能提出影子法、拍照对比法等）。1.2聚焦与引导：“大家想到了利用影子，这个思路非常生活化！但如果是阴天没有影子呢？或者我们想立刻知道结果，不能等特定的阳光角度呢？今天，我们就化身校园测量工程师，利用我们最近学过的‘相似三角形’这个强大工具，来寻找更多更可靠的测高方案。”1.3明确路径：“本节课，我们将首先合作探究，设计出你们的测高方案并推导原理；然后，我们会从这些具体的方案中，发现一种更深层次的图形变换规律——位似。让我们从第一个挑战开始：如何利用一根标杆和一把卷尺，测出旗杆的高度？”第二、新授环节任务一：唤醒旧知——构建测高理论基石1.教师活动：首先通过提问引导学生回顾：“要利用相似三角形，我们必须确保构造出的两个三角形是相似的。那么，我们学过哪些判定三角形相似的方法？”（SSS,SAS,AA）。接着，提出核心引导问题：“在测高的场景中，我们最容易测量的是哪些量？（长度、角度）。哪种判定方法在实地测量中最方便实现？”引导学生聚焦于“两角对应相等（AA）”这一最常用判定。随后，利用课件动画展示一个基础模型：人与影子的情景，高亮标注出两个三角形（人与影构成的三角形、物体与影构成的三角形），并提问：“在这个自然形成的模型里，是哪两个角必然相等？为什么？”（太阳光是平行光，故入射角相等）。2.学生活动：积极回忆并回答相似三角形的判定定理。思考并讨论教师提出的问题，认识到在实地测量中，测量角度（如利用直角、利用反射角相等）或利用平行线得到角相等，是构造相似三角形的关键。观察动画，理解“影子法”的基本原理，并尝试用几何语言描述两个三角形的相似关系。3.即时评价标准：1.能准确、完整地说出至少两种相似三角形判定定理。2.能判断在给定测高简图中，运用哪种判定定理证明三角形相似。3.在解释“影子法”原理时，能清晰指出两个相等的角及其依据（平行光）。4.形成知识、思维、方法清单：★核心原理：利用相似三角形测高的本质是将不可直接测量的高度（边）转化为可直接测量的地面长度（边），通过相似比建立方程求解。关键思维是“转化”与“建模”。★常用判定：在实地测量中，利用“两角对应相等（AA）”来构造和证明三角形相似是最为实用的策略，因为它往往通过自然条件（如平行光）或简易工具（如确保视线水平）即可实现。▲模型雏形：“影子法”是最直观的模型，其核心条件是光源（如太阳）可视为平行光源，从而确保两个三角形的对应角相等。任务二：方案探索——设计多样化测高模型1.教师活动：提出核心挑战：“如果没有阳光，我们能否自制一个‘人造’的相似三角形模型？”展示标杆和卷尺。引导学生思考：“如果我只是把标杆竖在旗杆旁边，它们的高度比并不等于影长比，因为标杆太矮。如何构造出一对相似的三角形呢？”搭建脚手架：提示学生“可以让自己的眼睛成为一个关键点”。随后，组织小组讨论，要求至少设计出一种不同于影子法的方案，并画出几何示意图，写出证明相似和计算高度的步骤。教师巡视，对遇到困难的小组进行点拨，如提示“视线”、“镜子反射”等关键词。2.学生活动：以小组为单位展开激烈讨论与草图绘制。可能设计出的方案包括：1.标杆目测法：人后退至某点，使眼睛、标杆顶端、旗杆顶端三点共线，测量人、标杆、旗杆之间的距离及人眼高度。2.镜子反射法：在地面放置镜子，调整人位置，使在镜中同时看到标杆顶端和旗杆顶端的像，利用反射角相等原理构造相似。学生需在任务单上完成方案示意图和原理推导。3.即时评价标准：1.方案设计是否具有可行性（所需工具是否简单，操作是否可实施）。2.几何示意图是否清晰、准确，能正确标注已知和未知量。3.原理推导过程是否合理，能严谨证明所构造的三角形相似。4.形成知识、思维、方法清单：★方案多样性：测高模型不唯一。标杆目测法（又称“腕测法”）和镜子反射法是两种经典的无影测高法。前者利用了“视线共线”，后者利用了物理的“反射角等于入射角”定律来创造角相等条件。★几何抽象：无论哪种方案，关键步骤都是将实际情境中的点（人眼、杆顶、物顶、镜面反射点等）抽象为几何图形的顶点，将可测距离抽象为边，从而构造出可证明相似的三角形。画示意图是至关重要的第一步。▲误差意识：所有方案均存在测量误差。操作中需注意：标杆需竖直；测量距离应力求精确；在镜子反射法中，镜子应水平放置。任务三：操作与提炼——从具体模型到位似概念1.教师活动：邀请一个小组上台，利用教室道具（如用激光笔模拟视线，用教具模型模拟旗杆和标杆）演示其设计的“标杆目测法”方案。教师引导全班观察：“大家看，在这个模型中，眼睛（视点O）、短杆顶端A’、长杆顶端A是否在一条直线上？同样，O、B’、B也在一条直线上。”随后，在课件上动态展示将实物图抽象为几何图的过程，并连接OA、OA’、OB、OB’。“观察这个几何图形，除了△OA‘B’与△OAB相似，你还能发现点O与这些对应顶点之间有什么特殊的位置关系？”引导学生发现：对应点连线（AA‘,BB’）都经过了同一个点O。此时，教师正式引出“位似”概念：“像这样，两个图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，这点叫做位似中心，这样的相似叫做位似。我们刚刚的测高模型，其实就是创造了一个以人眼为位似中心的位似图形！”2.学生活动：观察同伴演示，验证自己的设计方案。跟随教师的引导，观察图形，思考和回答关于对应点连线的问题。理解“位似中心”的定义。尝试在自己的方案图中标出位似中心（在镜子反射法中，位似中心是虚像点还是镜面点？引发思考）。3.即时评价标准：1.能否在抽象出的几何图形中，准确识别出位似中心和对应点。2.能否用自己的语言初步描述位似图形与一般相似图形的区别。3.能否将“标杆目测法”模型与位似概念正确关联。4.形成知识、思维、方法清单：★位似定义：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应顶点的连线都相交于一点，那么这两个图形叫做位似图形，这个交点叫做位似中心。★概念辨析：位似是特殊的相似。所有位似图形都相似，但相似图形不一定是位似图形。位似多了一个非常严格的条件——所有对应点连线共点。▲生活实例：放映机将胶片上的图像投射到屏幕上（位似中心是放映镜头）；通过放大镜看物体（位似中心在透镜光心）。从测高到放映，数学原理一脉相承。任务四：概念深化——探究位似的性质与分类1.教师活动：提出探究性问题：“位似中心的位置是固定的吗？它一定在两个图形之间吗？”利用几何画板动态演示：保持△ABC与△A‘B’C‘位似，但拖动位似中心O的位置，使其在图形之间、一侧、甚至在一个图形的顶点上。让学生观察：(1)位似比k（对应边之比）的符号与O的位置关系；(2)图形相对于O的朝向。引导学生归纳：“当位似中心在图形之间时，对应点位于中心的两侧，我们得到的位似图形是‘倒立’的；当位似中心在一侧时，对应点位于中心的同侧，图形是‘正立’的。在数学上，我们用位似比k的正负来区分这两种情况。”并给出定义：同侧位似，k>0；异侧位似，k<0。2.学生活动：聚精会神地观察动态演示，感受位似中心位置变化带来的图形变化。小组讨论并尝试归纳规律。回答教师提问，理解“同侧”与“异侧”、“正立”与“倒立”的几何关系，并理解位似比符号的意义。3.即时评价标准：1.能通过观察，正确描述位似中心位置变化时，两个图形相对位置的变化。2.能理解并用自己话说出位似比k的符号（正负）与位似图形方向（同侧/异侧）的对应关系。3.能在给出的位似图形中，判断位似中心的大致位置。4.形成知识、思维、方法清单：★位似比：位似图形对应边的比称为位似比，通常记作k。位似比也等于任意一对对应点到位似中心的距离之比。★位似分类：根据位似中心的位置，可分为同侧位似（k>0）和异侧位似（k<0）。同侧位似时，图形在位似中心同一侧，朝向相同；异侧位似时，图形在位似中心两侧，朝向相反（如小孔成像）。▲动态观念：位似是一种图形变换。可以通过固定一个图形和位似中心，通过调整位似比k来“缩放”并得到另一个图形。这为后续学习坐标系中的位似变换（以原点为位似中心）打下基础。第三、当堂巩固训练

本环节设计分层练习，学生可根据自身情况选择完成。1.基础层（全体必做）：①如图，小明用影子法测量树高AB。已知他的身高CD=1.6m，影长DE=2m，树的影长BE=10m。求树高AB。【解析】直接应用“AA”相似模型，列比例式求解。（教师巡视，确保所有学生掌握此基本模型）“找准对应边，比例式可别列反了哦。”2.综合层（大多数学生完成）：②小亮利用一面镜子和一根皮尺测量树高。如图，他把镜子放在离树底E点8m的C处，然后后退至D处，刚好在镜子里看到树顶A的像。已知CD=1.5m，小亮眼睛离地面高度BD=1.2m。求树高。【解析】综合应用镜子反射法模型。关键在于理解入射角等于反射角，从而得到∠ACB=∠ECD，进而证明△ABC∽△EDC。（教师可请一位学生上台讲解思路，强调角相等的证明）“谁来说说，为什么∠ACB等于∠ECD？这个等角关系是这道题的‘命门’。”3.挑战层（学有余力选做）：③如图，△ABC与△DEF是位似图形，点O为位似中心。已知OA=3，OD=6，△ABC的周长为12。(1)它们的位似比是多少？△DEF的周长是多少？(2)若连接AD，请问AD是否一定经过点O？为什么？【解析】深化位似比的性质（周长比等于位似比）及位似定义的应用。第(2)问是对位似定义（所有对应点连线共点）的逆向思考与巩固。（组织小组短暂讨论后，由教师精讲）“挑战题的第(2)问很有意思，它是在考验我们对位似定义的理解是否透彻。A和D是对应点吗？那它们的连线……”第四、课堂小结

引导学生进行结构化总结。“同学们，这节课我们就像进行了一场数学探险。现在，请大家闭上眼睛回顾一下，我们经历了哪几个重要的‘站点’？”邀请学生发言，教师同步构建思维导图板书记：

核心问题：如何测高？→核心工具：相似三角形→具体方法：影子法、标杆法、镜面法…→本质抽象：位似变换→位似内涵：定义、位似中心、位似比、分类。

方法提炼：我们解决实际问题的路径是：实物情境→几何建模（构造相似）→推理计算→推广抽象（形成概念）。

作业布置：必做（基础+综合）：1.整理本节课的完整知识结构图。2.完成练习册上关于利用相似三角形测高的基础应用题。选做（探究）：设计一个方案，测量我们学校教学楼屋顶上某个特定点（如避雷针尖）的高度。要求写出所需工具、详细步骤、几何原理图及计算公式，并分析可能产生最大误差的环节。六、作业设计基础性作业：1.默写位似图形的定义，并列举两个生活中的位似实例。2.如图，利用标杆BE测量建筑物CD的高度。如果标杆高2m，测得AB=1.6m，BC=12.8m，求建筑物高度。请写出完整的证明与计算过程。拓展性作业：3.（情境应用题）公园里有一个景观塔，塔前有一个圆形池塘。你只有一把足够长的卷尺，能否不绕到池塘对岸，就测量出池塘的直径？请借鉴本节课的思想，设计一个测量方案，画出示意图并说明原理。探究性/创造性作业：4.（微型项目）查阅资料，了解我国古代数学家刘徽的“重差术”（如《海岛算经》中的问题），选取其中一个测量问题，尝试用现代相似三角形的知识进行解释，并制作一份简短的介绍海报。七、本节知识清单及拓展★1.相似三角形测高的基本原理：通过构造与现实物体构成相似三角形的可测模型，利用相似三角形对应边成比例的性质，建立方程，间接求出物体的高度。核心是“转化”思想。★2.影子法（阳光法）：利用平行光线（如阳光）使物体与其影子构成的三角形和已知高度的参照物与其影子构成的三角形相似。关键条件：光源需视为平行光源。★3.标杆目测法（腕测法）：观测者调整位置，使眼睛、标杆顶端、待测物顶端三点共线，构造出以人眼为公共顶点的两个相似三角形。操作关键：标杆需竖直，三点共线需精确判断。★4.镜子反射法：利用光的反射定律（入射角=反射角），在地面放置镜子，通过调整观测点，使能在镜中同时看到标杆顶和待测物顶的像，从而构造相似三角形。操作关键：镜面需水平放置。★5.位似图形的定义：两个图形不仅是相似图形，而且每组对应顶点的连线都相交于一点，这两个图形叫做位似图形，该交点称为位似中心。这是位似与一般相似的根本区别。★6.位似比(k)：位似图形对应边的比，或任意一对对应点到位似中心距离的比。|k|>1表示放大，|k|<1表示缩小。★7.位似的分类：根据位似中心与图形的位置关系分为同侧位似(k>0)和异侧位似(k<0)。同侧时图形朝向相同，异侧时朝向相反（如小孔成像）。▲8.位似的性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比；周长比等于位似比；面积比等于位似比的平方。▲9.常见的位似变换实例：放映机投影（位似中心：镜头）、放大镜看字（位似中心：透镜光心）、地图绘制（按比例缩放）、图形的缩放打印。▲10.误差分析意识：在实际测量中，工具精度、操作规范性（如标杆是否竖直、镜面是否水平）、环境因素（如风力影响标杆稳定）都会引入误差。应进行多次测量取平均值以减小偶然误差。▲11.模型思想的深化：从具体测高问题中抽象出的“A字型”、“X字型”（即标杆法模型，对应点连线共点）等基本相似模型，是解决更复杂几何问题的重要工具。▲12.数学史链接：中国古代的《周髀算经》中已有利用相似原理进行测望的记载；古希腊泰勒斯也曾利用影子法测量金字塔高度。这体现了人类跨越文明对数学工具的一致运用。八、教学反思

本教学设计试图将“模型观念”、“应用意识”等核心素养的培养具象化为“测高”这一主题明确的探究活动，并通过“从具体应用到抽象概念”的认知路径，自然引出“位似”这一高阶几何概念。回顾预设流程，其结构性体现在“问题驱动方案探究操作验证概念生成分层巩固”的递进链条上，各环节逻辑自洽。

从假设的课堂实施角度看，导入环节的现实问题应能有效激发兴趣，“大家的方法都很有创意，那我们看看数学工具能给我们带来多少种更精确的方案”这类话语能将发散思维收束到学科核心。新授环节的五个任务是成败关键。任务一（唤醒旧知）是基石，需快速高效，避免拖沓。任务二（方案探索）是高潮，预计学生思维会非常活跃，可能出现超出教师预设的方案（如利用手机水平仪测仰角再解直角三角形），这是宝贵的生成性资源，教师需灵活判断，将其作为联系后续三角函数学习的拓展点，而非强行拉回既定轨道。“哇，这个组想到了用角度！这已经用到我们下学期要学的锐角三角函数知识了，非常棒的跨前思维！”此类即时评价既能保护创新，又能铺垫未来。任务三（提炼位似）是难点转化点，从具体模型中“发现”位似特征，比直接给出定义更符合建构主义学习规律。动态演示的运用至关重要。

差异化教学的考量贯穿始终。学习任务单的“基础引导”部分为需要支持的学生提供了清晰的思考步骤