追及问题建模与高阶思维训练-六年级数学拓展教学设计

追及问题建模与高阶思维训练——六年级数学拓展教学设计一、教学内容分析  本节课内容隶属于《义务教育数学课程标准（2022年版）》“综合与实践”领域，是“数量关系”主题下的高阶拓展。其知识核心在于建立“追及问题”的数学模型，即理解并应用“速度差×时间=初始路程差（追及路程）”这一核心关系。它在整个小学数学知识链中扮演着承上启下的关键角色：向上，它巩固和深化了“速度、时间、路程”三者关系这一基本模型；向下，它为中学学习一元一次方程、函数乃至更复杂的动态问题提供了直观的认知基础和初步的代数思维铺垫。从过程与方法看，本课是渗透数学建模思想的绝佳载体。教学将引导学生经历“从现实情境抽象出数学问题—建立数学模型—求解并验证—解释与应用”的完整过程，旨在培养学生将复杂现实“翻译”为简洁数学关系的能力。在素养价值层面，追及问题蕴含了深刻的运动与变化哲学。通过分析两个运动对象在时空中的相对关系，不仅能锻炼学生的逻辑推理能力和空间想象能力，更能引导其用动态、联系的眼光看待问题，培育科学理性的思维品质和解决实际复杂问题的应用意识。  面向六年级的优拓学生，学情具有鲜明特征。其已有基础扎实，能熟练运用速度公式解决简单的相向、相背行程问题，并具备初步的方程思想。然而，潜在的认知障碍在于：第一，从静态的单一物体运动分析转向动态的两个物体关联分析，存在思维跨度；第二，对“速度差”作为“相对速度”概念的理解不够通透，容易与“速度和”混淆；第三，在复杂情境（如环形跑道、出发时间不同、速度变化）中识别并构建模型是普遍难点。因此，教学调适应遵循“可视化铺垫，阶梯式递进”原则。课堂上，我将通过动画演示、线段图操作等可视化工具搭建认知桥梁，并通过“前测诊断单”快速锁定学生的认知起点与差异。针对理解较快的学生，提供变式探究任务，引导其进行模型变式与推广；对于需要更多支持的学生，则通过“学习支架卡”（如关键步骤提示、核心公式卡片）和同伴互助，确保其能跟上探究节奏，达成基础目标。二、教学目标  知识目标：学生能超越对追及问题公式的机械记忆，深度理解“追及时间=初始路程差÷速度差”这一模型的本质，并能清晰解释公式中每个量的具体含义及其相互关系。他们能够辨识不同类型追及问题（直线、环形、不同时出发）中的不变量与变量，并运用模型或方程进行准确求解。  能力目标：学生能够独立完成从具体情境中提取数学信息、画出规范线段图辅助分析、并选择恰当策略（算术模型或方程）解决追及问题的完整过程。在面对环形跑道等变式问题时，能够通过画图、演绎推理，将其转化为熟悉的直线追及模型，展现信息转化与模型迁移的能力。  情感态度与价值观目标：在小组合作探究复杂案例的过程中，学生能表现出积极主动的探究精神和严谨求实的科学态度，乐于分享自己的解题思路，并能认真倾听、理性评判同伴的观点，在思维碰撞中体验数学的逻辑之美与合作的价值。  科学（学科）思维目标：本节课重点发展学生的数学建模思想与逻辑推理能力。学生将经历完整的数学建模过程，体会如何将现实世界“追及”场景抽象为数学模型。同时，通过设计层层递进的问题链，引导学生进行严密的逻辑推演，例如从“为什么追得上？”到“多久追上？”，再到“在哪里追上？”，培养其有序、严谨的思维习惯。  评价与元认知目标：引导学生建立对解题过程的反思习惯。学会使用“检验答案是否符合实际情境”的方法来验证结果的合理性，并能在解决问题后，回顾与比较不同解法的优劣（如算术法与方程法），初步形成选择最优策略的意识，提升元认知水平。三、教学重点与难点  教学重点：理解追及问题的核心数量关系，并建立“速度差×时间=路程差”的数学模型。确立此为重点，源于其在课标中的核心地位——它是“用数学语言表达现实世界”的典型体现，是培养学生模型思想的关键节点。同时，在“小升初”能力考察中，追及问题及其变式是高频考点，常作为区分学生综合应用能力与逻辑思维水平的题目，直接指向学生的数学素养层级。  教学难点：难点在于在复杂情境中，特别是环形追及及“不同时出发”的问题中，准确识别并确定“初始路程差”与“速度差”。其成因在于学生需要克服静态思维的惯性，在动态过程中抓住关键瞬间的状态进行分析，这涉及到较高的空间想象与逻辑抽象能力。常见错误表现为将“一圈的长度”错误理解为“追及路程”，或忽略时间差对路程差的影响。突破方向在于强化“图示化”分析策略，通过画图将动态过程静态化、可视化，从而清晰暴露数量关系。四、教学准备清单1.教师准备1.1媒体与教具：交互式课件（内含追及问题动画模拟演示）、实物投影仪。1.2学习材料：分层设计的学习任务单（含前测、核心探究任务、分层巩固练习）、小组探究卡片（含环形跑道、迟到追及等拓展情境）。2.学生准备2.1知识准备：复习行程问题基本公式。2.2学具准备：直尺、铅笔。3.环境准备3.1座位安排：四人小组合作式座位。3.2板书记划：预留左侧主板用于呈现核心模型推导过程与知识结构图，右侧副板用于展示学生探究成果及典型思路。五、教学过程第一、导入环节1.情境激趣，提出问题：“同学们，大家有没有在运动会上看过400米比赛？假设一道选手和二道选手同时出发，但起跑线不同，一道选手在二道选手前面。比赛开始后，二道选手能追上吗？如果能，他需要多跑多少米才能追上？”（利用学生熟悉的运动会场景，制造认知冲突。）1.1唤醒旧知，明确路径：待学生初步交流后，利用课件动态演示这一过程。“这其实就是我们今天要深入研究的‘追及问题’。它和我们以前学过的相遇问题有什么不同？追上的秘密到底藏在哪里？这节课，我们就化身‘数学侦探’，通过画图、推理和建模，揭开追及问题的奥秘。”首先，我们通过一个小测试，看看大家对这类问题的初步感觉。第二、新授环节任务一：基础追及模型的直观感知与关系初探教师活动：首先，出示前测基础题：“甲、乙两人相距100米，甲在后，以每秒5米的速度追赶前方每秒3米的乙，两人同时同向出发。甲能否追上乙？为什么？”巡视并收集不同回答。然后，播放自定义速度的两人追及动画，引导学生观察：“请大家紧盯屏幕，告诉我，甲为什么能追上？他们之间的距离是如何变化的？”引导学生说出“甲快乙慢，距离在缩短”。接着追问：“这个缩短的速度，实际上是谁和谁的速度在‘比拼’？”引出“速度差”概念。学生活动：独立完成前测题并思考理由。观看动画，直观感受追及过程。回答教师提问，尝试用语言描述追及的本质是速度快者缩短与慢者之间距离的过程。在教师引导下，理解“距离缩短的速率就是速度差”。即时评价标准：1.能否正确判断“能追上”并给出基于速度比较的合理解释。2.观看动画时，能否用语言准确描述距离变化趋势。3.能否在教师引导下，初步关联“距离缩短”与“速度差”。形成知识、思维、方法清单：★追及问题基本条件：两个物体、同时、同地或同向、速度不同。▲核心洞察：追及的本质是速度快的物体用“速度差”去弥补初始的“路程差”。“大家记住，追及就像‘填补差距’，快的用‘多出来的速度’去填一开始的‘距离坑’。”任务二：核心数量关系的合作探究与公式推导教师活动：提出核心驱动问题：“那么，甲到底需要多少秒才能追上乙呢？请大家小组合作，用画线段图的方法来分析。”下发学习任务单，指导学生用两条动态增长的线段分别表示甲、乙行走的路程。巡视指导，关注小组是否将“甲追上乙”的时刻表示为“甲路程=乙路程+100米”。邀请一组上台展示作图和分析过程。关键提问：“从线段图上，甲比乙多走了多少米？”“这多走的100米，是靠什么、用了多少时间累积出来的？”引导学生列出等式：速度差×时间=初始距离差。学生活动：小组合作，在任务单上画线段图分析。尝试用语言或算式表达追及时刻的路程关系。上台展示小组作品，讲解思路。在教师引导下，共同推导出追及时间公式：追及时间=初始路程差÷速度差。即时评价标准：1.小组合作绘制的线段图是否清晰、规范，能否体现追及瞬间的路程关系。2.小组汇报时，逻辑是否清晰，能否讲清等量关系的由来。3.组员间是否进行了有效讨论与分工。形成知识、思维、方法清单：★追及问题核心公式：追及时间=初始路程差÷速度差。★关键等量关系：快者路程=慢者路程+初始路程差。★核心方法——线段图：线段图是化解动态难题的“法宝”，能让隐藏的关系一目了然。“画图不是为了好看，是为了让我们的思维‘看见’。”任务三：公式的初步应用与情境理解深化教师活动：出示变式应用题：“如果甲在乙后面150米处开始追，乙的速度是4米/秒，甲想用25秒追上乙，甲的速度至少是多少？”引导学生先识别“初始路程差”为150米，追及时间为25秒。提问：“这里要求速度差，怎么求？知道了速度差，怎么求甲的速度？”鼓励学生用两种方法（算术逆推、列方程）解决。并追问：“‘至少’这个词在数学上意味着什么？”强化对问题情境的精确理解。学生活动：独立审题，标识关键信息。尝试用刚学的公式变形解决问题。部分学生尝试设未知数列方程求解。比较不同解法，理解“至少”意味着甲的速度必须大于等于某个值。即时评价标准：1.能否准确找出题目中的“初始路程差”和“追及时间”。2.能否灵活运用公式的变形（速度差=路程差÷时间）。3.能否理解“至少”的数学含义，并给出完整答案。形成知识、思维、方法清单：▲公式的逆用与变形：速度差=路程差÷时间；快者速度=慢者速度+速度差。★审题关键：紧扣“同时”、“同向”、“追上”等关键词，精准提取数学模型要素。▲方程思想的渗透：设未知数，依据核心等量关系列方程，是解决复杂问题的通用方法。任务四：挑战升级——环形跑道追及问题建模教师活动：创设新情境：“现在我们回到开场的跑道问题。如果是标准的400米环形跑道，一道在二道前20米，两人同时同向出发，一道速度5.5米/秒，二道速度5米/秒。二道第一次追上的一道时，他实际跑了多少米？”先让学生猜想。然后引导：“环形追及和直线追及，核心关系变了吗？”组织小组讨论，并用动画演示“追上”意味着二道比一道多跑了一整圈吗？还是多跑了20米？引导学生通过画环形展开图或理解“超过一圈”来思考。关键点拨：“在起跑线不同的环形追及中，‘初始路程差’就是起跑时的位置差，‘追上’意味着快者比慢者多跑了这个‘路程差’。”学生活动：进行猜想并与同伴争论。观看动画，观察环形追及与直线追及的异同。小组深入讨论，尝试用画图（将环形拉直）或推理的方式分析。在教师点拨下，理解环形追及（不同起点）的本质仍是“速度差×时间=初始路程差”，此处的路程差是位置差，而非跑道全长。即时评价标准：1.能否主动将新问题与已学模型进行关联对比。2.小组讨论是否提出了有效的分析策略（如画展开图）。3.能否最终理解环形追及（不同起点）问题的模型本质。形成知识、思维、方法清单：▲环形追及（不同起点）模型：追及本质关系不变，关键是确定“初始路程差”为起点时的位置差，而非跑道周长。★转化思想：将陌生的环形问题，通过画图、想象，转化为熟悉的直线模型，这是数学中强大的“化归”思想。“别急，我们先让‘思维’跑起来，把弯道‘拉直’看看！”任务五：综合思辨——出发时间不同的追及问题教师活动：抛出高阶挑战题：“甲、乙从同一地点出发去公园，乙先走10分钟，速度是60米/分。甲后出发，速度是80米/分。甲需要多少分钟追上乙？”引导学生重点分析：“甲开始追的时候，乙已经走了多远？这个距离就是新一轮追及的什么？”让学生先独立画出线段图，标出关键状态（甲出发时乙的位置）。请学生上台讲解，强调如何确定“初始路程差”。学生活动：独立审题并画图分析，重点刻画“甲出发时刻”两人的状态。尝试确定此时的“路程差”。上台讲解解题思路，清晰阐述“乙先走的路程（60×10=600米）”即为甲开始追时的“初始路程差”。即时评价标准：1.线段图是否准确反映了“时间差”导致的“路程差”。2.能否清晰解释“甲出发时乙已走的路程”就是本题的“初始路程差”。3.解题过程是否完整、规范。形成知识、思维、方法清单：▲不同时出发的追及问题：关键在于找准“追及开始时刻”的快慢两者之间的“路程差”，这个路程差由先行者提前走的路程决定。★状态分析法：选取一个关键时间点（如追者出发时）进行“拍照”分析，是解决动态问题的有效策略。▲易错警示：切忌直接忽略时间差，用总路程除以速度差。第三、当堂巩固训练  本环节设计分层练习，供学生根据自身情况选择完成。  A组（基础巩固）：1.直接应用公式题：已知速度差与路程差求时间。2.简单情境应用题：直线追及，同时出发。  B组（综合应用）：1.环形跑道追及问题（起点相同，第一次追上）。思考：“这时‘路程差’是多少？”2.出发时间不同的追及问题变式。  C组（挑战拓展）：1.开放设计题：“请自己设计一个追及问题，包含‘不同时出发’和‘环形跑道’两个要素，并解答。”2.复杂情境题：追及过程中，速度发生一次变化后的追及时间问题。  反馈机制：学生独立练习后，小组内互评A、B组题，交流不同解法。教师巡视，收集B、C组中的典型解法与共性错误。利用实物投影，展示有创意的C组设计题及解答，并进行重点讲评，强调建模的灵活性与审题的严谨性。“看看这位同学设计的‘障碍追及赛’，很有创意！大家想想，他的‘路程差’找对了吗？”第四、课堂小结  “同学们，今天的‘侦探’之旅即将结束，我们来盘点一下战果。”引导学生进行结构化总结：1.知识整合：“我们探索了哪几类追及问题？它们的核心数学模型是什么？”鼓励学生用思维导图形式，在黑板上共同绘制追及问题的知识图谱（中心为核心公式，分支为直线、环形、不同时等变型）。2.方法提炼：“回顾一下，我们攻克这些问题用了哪些‘武器’？”（线段图法、转化法、状态分析法、方程思想）。3.作业布置与延伸：“课后，请完成作业单上的必做题（巩固模型）。选做题是：研究‘多次追及’或‘往返追及’现象，写下你的发现。下节课，我们将带着这些思考，进入‘行程问题综合王国’的更深秘境。”六、作业设计基础性作业（必做）：1.熟练写出追及问题核心公式，并口述每个量的含义。2.解决3道标准直线追及应用题（同时、同向）。3.画出1道不同时出发追及问题的线段图，并标出关键量。拓展性作业（建议大多数学生完成）：4.解决一个环形跑道追及问题（起点相同）和一个“迟到追及”问题。5.小论文（200字）：比较“相遇问题”与“追及问题”在模型、公式和解题思路上的异同。探究性/创造性作业（选做）：6.生活发现家：在生活中寻找一个可能的追及现象实例，用数学语言描述它，并提出一个数学问题（不要求解）。7.模型设计师：已知甲、乙速度，以及总路程和甲比乙晚出发的时间，设计一个“甲能否在终点前追上乙”的问题，并通过计算论证。七、本节知识清单及拓展★1.追及问题定义：两个物体在同一路线上同向运动，速度快者从后方追上速度慢者的问题。★2.核心数学模型：追及时间=初始路程差÷速度差。这是解决所有追及问题的基石，务必理解其推导过程。★3.初始路程差：在追及开始的同一时刻，快者与慢者之间的路程距离。这是建模的第一个关键输入。★4.速度差：快者速度减去慢者速度。它表示单位时间内快者能靠近慢者的距离，是追及的“动力源泉”。★5.关键等量关系：快者行驶路程=慢者行驶路程+初始路程差。列方程时经常依据此关系。★6.线段图分析法：首选策略。用两条不同起点的线段动态表示两者路程，追及点即两条线段终点对齐的时刻，此时长度关系一目了然。▲7.环形跑道追及（同起点）：首次追上时，快者比慢者正好多跑一圈（跑道周长）。此时，跑道周长即为“路程差”。▲8.环形跑道追及（不同起点）：模型回归基础。路程差为起跑时的位置差，与跑道周长无关。这是易错点！▲9.不同时出发：核心是转化。先求出追及开始时刻（慢者先走，快者出发时）两人之间的路程差，以此作为新的“初始路程差”代入模型。★10.单位一致性：速度、时间、路程的单位必须匹配。如速度用“米/秒”，时间就要用“秒”，路程用“米”。▲11.方程法的优势：在面对复杂情境，尤其是直接求“速度差”或“路程差”困难时，设未知数列方程（基于核心等量关系）往往更直接、更不易错。★12.检验答案合理性：算出追及时间后，应验证快者路程是否确实等于慢者路程加初始差。同时，时间应为正数，符合常理。八、教学反思  本教学设计试图在结构化认知模型、差异化学生支持与核心素养统领三者间寻找平衡点。从假设的课堂实施来看，教学目标达成度有望较高。通过前测、五个阶梯任务及分层巩固，大多数学生应能掌握基础模型，优生能在拓展任务中展现深度思考。各教学环节有效性评估方面，导入环节的情境创设成功激发了探究欲；任务二的小组合作推导是思维建构的关键节点，图示化策略效果显著；任务四、五的挑战设计有效突破了难点，但需控制好讨论节奏，防止时间拖延。对不同层次学生的剖析是反思重点：学习任务单中的“支架卡”对中等及以下学生起到了关键支撑作用，使其能参与高阶思维活动；而为优生设计的开放探究题（如C组挑战）则满足了其“吃不饱”的需求，促进了创新思维。然而，在小组合作中，