甘肃中考数学九年级函数及其图象专题精讲

甘肃中考数学九年级函数及其图象专题精讲一、教学内容分析  函数是刻画现实世界数量关系与变化规律的核心数学模型，贯穿于整个初等数学体系，是学生从常量数学迈入变量数学的关键转折点，亦是初高中知识衔接的枢纽。本讲内容源于《义务教育数学课程标准（2022年版）》“函数”主题，其知识技能图谱以“函数概念—函数表示法（解析法、列表法、图象法）—具体函数（一次函数）的图象与性质”为主线。认知要求上，需学生从具体实例中抽象出函数概念（理解），掌握函数三种表示方法并能相互转化（应用），并通过描点法绘图、观察分析，归纳一次函数图象特征与性质（应用、分析）。它上承“数与式”、“方程与不等式”，下启“二次函数”、“反比例函数”乃至高中的各类初等函数，起着承前启后的支柱作用。过程方法上，本讲高度体现“数学建模”与“数形结合”思想。课堂将引导学生经历“从现实情境抽象数学关系—用不同方法表示函数—借助图象直观探索性质—回归解释与应用”的完整探究路径，将抽象的符号语言与直观的图形语言进行有机转换。素养价值渗透方面，通过学习，旨在发展学生的抽象能力、几何直观、模型观念和应用意识，使其感悟数学的简洁与统一之美，并学会用动态、联系的眼光看待世界。  九年级学生正处于中考复习的关键期，其学情呈现显著分化。已有基础上，学生已接触过函数初步概念及一次函数解析式，能进行简单计算，但对函数本质（两个变量间唯一的对应关系）理解可能仍停留于表层，对“变化与对应”的动态过程体验不足。生活经验上，学生对匀速运动、固定单价购物等线性变化模型有直观感受，这为情境创设提供了良好基础。可能的认知误区在于：混淆函数与函数值；认为函数必须要有解析式；画图象时忽视自变量的取值范围；难以将图象的“形”与函数的“数”（增减性、与坐标轴交点等）精准关联。过程评估设计上，将通过导入环节的提问、新授环节的动手绘图与小组讨论、以及贯穿始终的变式练习，动态捕捉学生的理解盲区与思维卡点。教学调适策略需体现差异化：对基础薄弱者，提供“脚手架”（如填空式任务单、同伴互助），强化概念辨析与规范作图；对学优生，则通过开放性问题（如图象平移、组合图形的面积问题）引导其进行深度探究与综合应用，满足其思维挑战的需求。二、教学目标  知识目标：学生能清晰阐述函数的本质是变量间的一种单值对应关系，并能准确辨析具体问题中是否存在函数关系；熟练掌握函数的三种表示方法（解析法、列表法、图象法），并能根据问题情境选择恰当的方法或进行相互转化；通过亲历描点法作图，能规范画出一次函数的图象，并准确归纳出其图象（直线）的分布特征（必过点、象限分布）与基本性质（增减性）。  能力目标：学生能够从实际生活或数学问题中，抽象出两个变量并建立函数关系，初步形成建模能力；在“列表—描点—连线”的作图过程中，提升动手操作与数据处理的精确性；能够观察、分析函数图象，从中提取有效信息（如变化趋势、交点、特殊点），并用准确的数学语言描述，发展数形结合的分析能力。  情感态度与价值观目标：在小组合作探究图象性质的过程中，学生能积极倾听同伴见解，勇于表达自己的发现，体验集体智慧的碰撞与分享的乐趣；通过函数在生活、科技中的应用实例，感受数学的实用价值，激发进一步探索变量数学的兴趣与信心。  科学（学科）思维目标：重点发展学生的数形结合思想与模型思想。通过将解析式、表格数据转化为图形，再将图形的几何特征“翻译”回数量关系，经历完整的“以形助数、以数解形”思维过程。同时，通过对不同一次函数图象的共性与特性分析，初步渗透从特殊到一般、分类讨论的数学思维方法。  评价与元认知目标：学生能够依据清晰的标准（如列表是否完整、描点是否准确、连线是否平滑）评价自己或同伴绘制的函数图象；在课堂小结环节，能够反思本节课知识获取的关键步骤（抽象—表示—作图—分析），并尝试构建“函数研究”的一般思路框架，提升学习的策略性。三、教学重点与难点  教学重点：一次函数图象的画法及其性质的探究。确立依据：从课程标准看，函数的图象是研究函数性质最直观、最重要的工具，是落实“数形结合”思想的核心载体，属于“大概念”。从学业水平考试分析，函数图象的识别、绘制、信息读取是甘肃省乃至全国中考的高频考点，常以选择题、填空题、解答题多种形式出现，分值比重高，且综合性题目多需借助图象分析才能顺利解决，深刻体现了能力立意的命题导向。  教学难点：对函数概念（对应关系）的深度理解；从函数图象中准确、全面地提取信息并归纳性质。预设依据：学情分析表明，学生从静态的“算式”思维转向动态的“关系”思维存在认知跨度，理解“对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应”这一抽象定义是内在难点。常见错误中，不能由图象正确判断函数关系、忽略自变量取值范围导致图象错误、对增减性语言描述不准确等问题突出。突破方向在于：用丰富实例反复强化“唯一确定”这一核心，并通过动手作图将抽象关系可视化，在观察与描述中教师提供规范的语言支架。四、教学准备清单1.教师准备  1.1媒体与教具：多媒体课件（内含动态函数图象生成演示，如Geogebra软件制作）；几何画板或类似工具；实物投影仪。  1.2学习材料：分层设计的学习任务单（A基础巩固型，B综合应用型）；当堂分层练习卷；课堂小结思维导图模板（半成品）。2.学生准备  2.1知识预备：复习函数概念、一次函数解析式。  2.2学具：坐标纸、直尺、铅笔、不同颜色彩笔。3.环境布置  3.1座位安排：四人小组合作式就座，便于讨论与互评。五、教学过程第一、导入环节  1.情境创设与冲突激发：“同学们，想象一下你手机里的流量套餐：每月固定有20G，用超了就要额外付费。这个月你的使用情况，和你需要交的总话费之间，有什么关系？”（等待学生思考回答）接着，展示一个“匀速行驶的汽车”动画，提问：“汽车行驶的时间，和它离开起点的路程，这二者的关系，跟刚才流量话费的例子，在数学本质上有共同点吗？”  1.1核心问题提出：“这些生活中一个量变化，另一个量也跟着‘唯一确定’地变化的例子，就是我们数学中的‘函数’。今天，我们不仅要深入理解它，更要掌握一个强大的工具来‘看见’这种变化——函数的图象。我们如何‘画’出这种看不见的‘关系’？画出来之后，又能从图上‘读’出什么秘密呢？”  1.2学习路径勾勒：“本节课，我们将一起：第一，回顾函数的‘灵魂’——对应关系；第二，学习函数的‘语言’——三种表示法，重点攻克图象法；第三，动手‘绘制’一次函数的肖像；第四，化身‘侦探’，从图象中‘揭秘’函数的性质。”第二、新授环节  本环节采用“探究任务链”驱动，教师搭建认知脚手架，学生小组合作，主动建构。任务一：概念辨析——何为“唯一确定”？  教师活动：首先，板书函数定义核心句。然后，出示三组关系判断：(1)y=2x+1；(2)某人身高与年龄的关系；(3)兰州某日气温随时间变化。针对每一例，追问：“这里哪两个量在变？对于其中一个量的每一个值，另一个量的值是不是‘唯一确定’的？你是怎么判断的？”对于(2)(3)，引导学生讨论其“确定性”的差异，明确函数关系要求的是精确的数学确定性。最后，总结：“所以，函数就像一部精确的‘机器’，输入一个x，输出一个且只有一个y。”  学生活动：倾听思考，针对教师提出的三个例子进行快速判断和理由阐述。在讨论(2)(3)时，可能与同伴产生争议，通过辨析深化对“唯一确定”的理解，区分生活模糊关联与数学精确对应。  即时评价标准：1.能否准确识别问题中的两个变量。2.对“唯一确定”的解释是否清晰、有依据。3.在小组讨论中能否倾听并回应他人观点。  形成知识、思维、方法清单：★函数本质：函数是刻画两个变量之间一种单值对应关系的数学模型。核心是“任意性”与“唯一性”。▲概念辨析：并非所有有联系的两个量都是函数关系（如身高与年龄），必须满足“对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应”。方法提示：判断是否为函数，可紧扣“给一个x，算得（或找到）几个y？”若始终只有一个，则是。任务二：表示法转化——函数的“多副面孔”  教师活动：以函数y=2x为例，提问：“我们如何‘告诉’别人这个函数关系？”引导学生说出解析式。接着，要求：“请列出当x=1,0,1,2时对应的y值。”形成表格。进而引出：“除了用式子和表格，我们还有更直观的方法吗？能否把表格里的这些数对在坐标系里‘安置’下来？”示范将(1,2)等点描在坐标系中。“大家先别急着画，想想为什么x不能取0？”（针对反比例函数预留伏笔，强调定义域）。  学生活动：根据解析式完成指定数值的对应计算并填表。在教师示范后，尝试在坐标纸上将表格中的数对描成点。初步感受“数”对“形”的转换。  即时评价标准：1.列表计算是否准确无误。2.描点操作是否规范（找准横、纵坐标）。3.是否理解列表和描点均以解析式为根本依据。  形成知识、思维、方法清单：★函数表示法：解析法（简明、抽象）、列表法（具体、对应值明确）、图象法（直观、反映变化趋势）。三者相辅相成，可相互转化。★有序数对与点：每一个合格的x与其对应的y组成的数对(x,y)，对应坐标系中唯一一个点。这是数形结合的基石。易错提醒：列表或描点前，务必先考虑自变量的取值范围（实际意义或数学限定）。任务三：描点作图——画出一次函数的“肖像”  教师活动：布置小组任务：在同一坐标系中，用描点法画出y=2x，y=2x+1，y=2x1的图象。巡视指导，关注学生是否取点合理（建议至少5个点，包括正数、负数、零），描点是否精准，连线是否用直尺。完成后，利用实物投影展示不同小组作品，引导观察：“这三条线有什么共同特征？把它们放在一起看，像什么？”（引导学生发现都是直线，且互相平行）。“再仔细观察，它们与y轴的交点有什么规律？这个交点和解析式里的哪个‘零件’直接相关？”  学生活动：以小组为单位分工合作，完成三个函数的列表、描点、连线全过程。观察所作图象，讨论教师提出的问题，尝试发现规律并用语言描述。  即时评价标准：1.作图过程是否规范、有序（列表→描点→连线）。2.小组分工是否明确，合作是否有效。3.观察结论是否基于图象事实，描述是否准确。  形成知识、思维、方法清单：★一次函数图象：一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是一条直线。因此，画一次函数图象只需确定两个点，再过这两点画直线即可，但通常建议多取点以校验。★直线位置与k,b的关系（初步）：k相同，直线平行。b是直线与y轴交点的纵坐标，即截距。操作规范：作图三步骤“列表、描点、连线”缺一不可，连线（尤其是直线）必须用尺，体现数学的严谨性。任务四：图象分析——破解图象中的“密码”  教师活动：聚焦y=2x和y=2x+1的图象。通过动态几何软件，展示点在直线上从左到右运动。提问：“对于y=2x，当点从左向右‘行走’时，它的位置（y值）在如何变化？y=2x+1呢？”引出“增减性”。“这个‘走势’，就是我们数学里要研究的‘性质’。谁能用一句完整的话概括y=2x的增减性？”（板书：当k>0时，y随x的增大而增大）。类比让学生描述k<0的情况。追问：“除了升降，图象还告诉了我们什么？比如，它们分别经过哪几个象限？与坐标轴的交点坐标是多少？怎么算出来的？”  学生活动：观察动态演示，直观感受图象的上升与下降趋势。尝试用语言描述增减性。在教师引导下，学习规范表述。进一步观察静态图象，回答象限分布、交点坐标等问题，并说明如何通过解析式计算交点（令x=0求y；令y=0求x）。  即时评价标准：1.能否将图形趋势准确地转化为“y随x增大而增大/减小”的语言描述。2.能否准确读出图象与坐标轴的交点，并理解其代数求法。3.能否将图象特征（象限分布）与k,b的符号联系起来。  形成知识、思维、方法清单：★一次函数性质（核心）：增减性：当k>0时，y随x的增大而增大（图象从左向右上升）；当k<0时，y随x的增大而减小（图象从左向右下降）。▲图象分布：由k、b符号共同决定直线所经过的象限（可简单归纳口诀，但重在理解）。★关键点：与y轴交点(0,b)；与x轴交点(b/k,0)（即一次函数与一元一次方程的联系）。思维升华：性质是从大量具体图象中归纳出的普遍规律，体现了从特殊到一般的思想。任务五：综合小试——数形互译实战  教师活动：出示一个简单的实际问题，如“某水箱匀速进水，剩余水量y与进水时间x的关系为y=505x(0≤x≤10)”。提问：“1.画出这个函数的图象。2.从图象中找出，当剩余水量为20升时，进水时间是多少？3.这个过程中，y随x如何变化？”此任务综合了作图、识图、用图。  学生活动：独立或与同桌协作完成。首先根据实际意义确定自变量范围，列表取点（特别注意端点），画图。然后通过图象估算或代数计算解决问题。最后用函数性质描述变化。  即时评价标准：1.作图时是否考虑了实际取值范围（图象是否为线段）。2.能否灵活运用图象或解析式求解问题。3.解答过程是否清晰、完整。  形成知识、思维、方法清单：★实际应用建模：将实际问题转化为函数问题时，必须关注自变量的实际意义与取值范围，图象可能只是直线的一部分（线段、射线）。★数形结合解题：根据问题需求，灵活选择从“数”（解析式、计算）或从“形”（图象观察、估算）的角度切入，或双管齐下相互验证。素养指向：该任务直接锻炼模型观念与应用意识，是函数学习的价值归宿。第三、当堂巩固训练  设计核心：构建三层递进的训练体系，提供差异化选择。  基础层（全员必做）：1.已知函数y=3x+6，填空：k=,b=，图象与y轴交于点____，与x轴交于点____。2.不画图，判断下列函数图象的增减性：y=4x1;y=x+2。  综合层（大多数学生完成）：3.在同一坐标系中，画出y=x+2和y=2x+2的图象，并借助图象回答：(1)它们与y轴的交点有什么关系？(2)求两条直线的交点坐标。(3)当x在什么范围内时，y=x+2的函数值大于y=2x+2的函数值？  挑战层（学有余力选做）：4.直线y=kx+b经过点A(1,3)和B(2,3)。(1)求k和b的值。(2)若点C(m,9)也在该直线上，求m的值。(3)该直线与两坐标轴围成的三角形面积是多少？  反馈机制：学生独立完成后，“请同桌交换，对照屏幕上的关键步骤和答案，互相打个分，重点看看作图规范吗？计算过程对吗？”教师巡视，收集典型错误（如交点求错、面积计算忽略绝对值等），用实物投影展示，进行集中点评与辨析。对挑战层问题，邀请完成的学生分享思路，提炼待定系数法等通法。第四、课堂小结  知识整合：“同学们，现在请拿出‘思维导图模板’，以‘函数及其图象’为中心，尝试补全我们今天探索的知识分支：概念、表示法、画法、性质、应用。”给学生23分钟梳理，然后请一位学生展示并讲解。  方法提炼：“回顾整堂课，我们研究一个新函数，走过了怎样的路径？”（引导全班共同回顾：定义—表示—画图—观察—归纳性质—应用）。“这条‘华山一条路’，其实就是我们未来研究二次函数、反比例函数，甚至更多函数的一般方法。其中贯穿始终的灵魂思想是什么？”（强调数形结合）。  作业布置：必做作业：1.整理课堂笔记，完善思维导图。2.完成练习册上与本讲内容匹配的基础题组。选做作业：寻找一个生活中或其它学科（如物理匀速运动、化学匀速反应）中的一次函数实例，用今天所学的方法（解析式、表格、图象）进行描述，并简要分析其性质。“下节课，我们将利用这些性质，来解决更复杂的函数综合问题，期待大家的精彩发现！”六、作业设计  基础性作业（必做）：  1.概念巩固：判断下列各式中，y是否为x的函数？并说明理由。(1)y=±√x(x≥0)；(2)在关系式x+y=10中，y=10x。  2.技能训练：用两点法画出函数y=0.5x3的图象，并标出它与坐标轴的交点坐标。  3.性质应用：已知一次函数y=(m1)x+2，当m为何值时，函数值y随x的增大而减小？  拓展性作业（建议大多数学生完成）：  4.综合应用：某快递公司的省内收费标准为：首重1千克内12元，续重每千克5元（不足1千克按1千克计）。设快件重量为x千克（x>1且为整数），运费为y元。  (1)写出y与x之间的函数关系式。  (2)计算一个3.2千克快件的运费。  (3)请指出这个函数的自变量取值范围，并说明其实际意义。  探究性/创造性作业（选做）：  5.图象探究：在几何画板或坐标纸上，绘制函数y=2x，y=2x+3,y=2(x1)的图象。观察并思考：(1)y=2x+3的图象可由y=2x的图象经过怎样的平移得到？(2)y=2(x1)与y=2x2是同一个函数吗？它的图象与y=2x的图象又有怎样的平移关系？尝试总结规律。七、本节知识清单及拓展  1.★函数定义：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么就说x是自变量，y是x的函数。理解核心在于“任意”与“唯一”。  2.★函数值：如果当x=a时y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值。它是一个具体的数，注意与“函数”这个整体关系相区别。  3.★函数的三种表示法：解析法、列表法、图象法。解析式便于计算和理论分析；列表法给出具体对应值，一目了然；图象法最直观，能整体把握变化趋势。三者各有优劣，需根据情境选择或结合使用。  4.★描点法画函数图象的一般步骤：(1)列表（给出一些自变量的值及其对应的函数值）；(2)描点（在坐标系中，以表中每对对应值为坐标描点）；(3)连线（按照横坐标由小到大的顺序，用平滑曲线或直线连接各点）。步骤规范是准确作图的前提。  5.★一次函数图象：一次函数y=kx+b(k,b为常数，k≠0)的图象是一条直线。因此画一次函数图象时，只需确定两个点（通常取与坐标轴的交点或计算方便的点），过这两点画直线即可。  6.★直线y=kx+b的位置特征：直线与y轴交于(0,b)，b称为截距。k决定直线的倾斜方向与程度，b决定直线与y轴的交点位置。  7.★一次函数y=kx+b的性质（核心）：当k>0时，直线从左向右上升，y随x的增大而增大；当k<0时，直线从左向右下降，y随x的增大而减小。这是从“形”的角度对函数变化规律的直观描述。  8.★一次函数图象与坐标轴的交点：求与y轴交点：令x=0，得y=b，即(0,b)。求与x轴交点：令y=0，解方程kx+b=0得x=b/k，即(b/k,0)。这是沟通函数、方程、图形的重要节点。  9.★k，b符号与图象象限分布关系：k>0,b>0：过一、二、三象限；k>0,b<0：过一、三、四象限；k<0,b>0：过一、二、四象限；k<0,b<0：过二、三、四象限。可结合具体图象记忆理解，重在推导而非死记。  10.▲正比例函数：当b=0时，y=kx(k≠0)是特殊的一次函数，其图象是过原点(0,0)的直线。  11.▲待定系数法求解析式（预埋）：若知直线过两点(x1,y1)，(x2,y2)，可设y=kx+b，代入解关于k,b的方程组。这是后续求函数解析式的通用重要方法。  12.易错点1：自变量取值范围：从实际问题抽象出的函数，自变量取值受实际情况限制（如人数为正整数、时间非负等）；纯数学表达式也需考虑分母不为零、被开方数非负等，作图时图象可能是直线的一部分。  13.易错点2：画图不规范：未用尺规作图导致直线不直；描点不准；连线顺序混乱。规范作图是正确分析的基础。  14.易错点3：性质描述不准确：必须说“y随x的增大而增大（或减小）”，不能说“x随y…”。描述对象要清晰。  15.思想方法：数形结合：本讲灵魂思想。函数的解析式（数）与图象（形）是同一对象的两种表现形式，相互转化、相互印证。用数算形，以形助数。  16.思想方法：模型思想：从现实问题中抽象出函数关系，即建立数学模型。一次函数是刻画均匀变化（线性变化）世界的最基本模型。  17.思想方法：从特殊到一般：通过画几个具体的一次函数图象，观察、归纳出所有一次函数共有的性质（直线、增减性由k决定等）。  18.应用关联：与方程、不等式：求函数图象与x轴交点，即解一元一次方程kx+b=0；比较两个函数值大小，可转化为解一元一次不等式，也可通过观察图象解决。  19.▲图象的平移（拓展）：直线y=kx+b可由正比例函数y=kx向上(b>0)或向下(b<0)平移|b|个单位得到。初步了解有助于整体把握函数图象家族。  20.▲动态观念：函数图象上的点(x,y)是“活”的，当x连续变化时，点沿着图象移动，其纵坐标y随之变化。这是理解函数动态本质的关键。八、教学反思  （一）目标达成度分析本节课预设的知识与技能目标基本达成。从后测练习反馈看，约85%的学生能规范画出一次函数图象并准确说出其增减性，表明描点作图技能与性质归纳这一重点得到了有效落实。能力目标方面，学生在任务五的“综合小试”中表现出了初步的数形互译能力，但在从复杂图象中提取多重信息（如综合层练习第3问的不等式比较）时，部分学生仍显犹豫，表明数形结合的熟练度与深度有待加强。情感与思维目标在小组合作探究环节表现活跃，学生乐于分享发现，“我发现它们都像是互相平行的‘三兄弟’！”这类生动描述体现了直观感知的成功。元认知目标通过小结环节的思维导图补全得以初步实现，但学生自主提炼研究路径的能力仍需长期培养。  （二）教学环节有效性评估导入环节的生活实例成功引发了兴趣，并快速锚定了“变化与对应”的核心，效率较高。新授环节的五个任务链逻辑清晰，层层递进。其中，任务三（作图）与任务四（分析）是耗时最长也是生成最多的环节。动手作图有效暴露了学生取点不合理、描点马虎等问题，通过即时投影与互评得到纠正，“看来，不用尺子画的‘直线’，真的会骗过我们的眼睛”，这个过程比单纯说教更深刻。动态几何软件的运用，将抽象的“增减性”转化为可视的点运动，化解了难点。然而，任务二向任务三的过渡中，对“为何只需两点确定直线”的数学原理强调稍显不足，部分学生虽操作上会简化，但理解上可能存在知其然不知其所以然的情况。  （三）学生表现与差异化关照剖析课堂观察显示，学生呈现三类状态：约20%的“引领者”思维敏捷，能提前发现k、b与图象的关系，并乐于在