素养导向的差异化教学设计：乘法原理（北师大版六年级下册）

素养导向的差异化教学设计：乘法原理（北师大版六年级下册）一、教学内容分析  本节课内容隶属于北师大版小学数学六年级下册“数学好玩”综合与实践领域，是对排列组合思想的初步、系统性接触。从《义务教育数学课程标准（2022年版）》视角解构，其知识技能图谱清晰：核心概念为“乘法原理”（即分步计数原理），关键技能在于能识别“完成一件事需要分步进行”的情境，并正确计算所有可能情况的总数。它在认知上要求从“理解”原理过渡到“应用”原理解决实际问题，是连接简单枚举与高中系统学习排列组合的桥梁，起着承上启下的作用。过程方法上，本节课是渗透“数学建模”思想的绝佳载体：学生需经历从具体生活情境中抽象出“步骤”模型，并用乘法进行运算求解的过程。素养价值层面，其育人指向明确：发展学生的“模型意识”（将实际问题数学化）和“应用意识”，同时，在分析复杂情境、做到“不重不漏”的严谨思考中，培育逻辑推理能力和有序、严谨的思维品质。这绝非单纯的计算教维模式的建构课。  基于“以学定教”原则，学情研判如下：学生已有基础包括能进行简单的分类枚举，并熟练掌握乘法运算。然而，认知障碍显著：一是极易混淆“分类”（加法原理）与“分步”（乘法原理）的根本区别，这是最核心的易错点；二是在复杂情境中难以准确识别独立的“步骤”，或忽略步骤之间的相互影响；三是虽然能列出算式，但对原理本质——“每一步选择都是独立的，且共同构成完整事件”理解模糊。为动态把握学情，课堂将设计“前测性”问题（如穿衣搭配的简单问题）暴露前概念，并通过“思维可视化”任务（如画示意图、流程图）和分层练习中的典型错误分析，进行过程性评估。教学调适应体现差异化：对理解困难的学生，提供实物操作（如卡片搭配）、步骤分解图示等直观“脚手架”；对思维敏捷的学生，则挑战其解释原理本质、设计变式问题或寻找生活中更复杂的案例，引导深度思辨。二、教学目标  知识目标：学生能准确阐述乘法原理（分步计数原理）的核心要义——完成一件事需要分多个步骤，每一步有若干方法，则完成这件事的总方法数是各步方法数的乘积。他们能辨析其与加法原理（分类计数）在情境结构上的本质区别，并能在典型生活情境（如穿衣搭配、路线选择、数字组数）中正确建构分步模型，列出乘法算式求解。能力目标：学生发展出将杂乱的实际问题抽象、分解为有序分步模型的数学建模能力。他们能够通过画树状图、列表或简单符号等策略，直观表征分步过程，验证计算结果的正确性，做到思考的有序与严谨。情感态度与价值观目标：在解决源自生活的趣味计数问题时，学生能感受到数学的工具性与实用性，增强学习兴趣。在小组合作探究中，能耐心倾听同伴的不同解题思路，欣赏策略的多样性，并愿意清晰、有条理地表达自己的思考过程。科学（学科）思维目标：本节课重点发展学生的模型化思维和有序化思维。通过“情境识别步骤分解模型建立计算求解验证反思”的问题解决链条，学生将体验完整的数学建模过程，并强化做事、思考讲求顺序与条理的思维习惯。评价与元认知目标：引导学生依据“步骤划分是否独立完整”、“计算是否准确”、“表达是否清晰”等量规，对他人或自己的解题过程进行评价。鼓励学生在课后反思：“我今天是如何突破‘分类’与‘分步’这个难点理解的？”、“在遇到新问题时，我的第一步分析策略是什么？”，从而提升对学习策略的监控与调整能力。三、教学重点与难点  教学重点：乘法原理的概念理解及其在简单实际问题中的正确建模与应用。确立依据在于，该原理是解决一类计数问题的基本模型（大概念），是培养模型意识的关键节点。从小升初乃至后续学习看，它是排列组合的基础，且在各类测评中均为高频考点，常以应用题型出现，分值较高，直接体现学生分析问题、逻辑建模的能力立意。因此，透彻理解原理内涵并能准确建模是教学的枢纽。  教学难点：一是准确区分“分类”（用加法）与“分步”（用乘法）的适用情境；二是在稍复杂或非标准情境中，灵活、正确地识别和划分独立的步骤。预设难点成因在于，学生思维从“分类枚举”到“分步相乘”存在认知跨度，需克服“看到多种可能就相加”的思维定势。常见失分点如“数字组数时忽略0不能在首位”、“路线问题中遗漏中转点”等，究其根源都是步骤划分不清或对步骤间的制约关系考虑不周。突破方向在于强化对比辨析和借助直观工具进行步骤分解训练。四、教学准备清单  1.教师准备  1.1媒体与教具：交互式课件（内含动态情境演示、对比辨析题组）；实物卡片（衣服、裤子图片）；学习任务单（含前测、探究记录、分层练习）。  1.2预设与规划：设计小组讨论议题与引导语；预判学生可能出现的错误解法，准备课堂生成性资源。  2.学生准备  2.1知识预备：复习乘法的意义；简单生活经验的唤醒（如搭配衣服）。  2.2学具：彩笔、草稿纸。  3.环境布置  3.1座位安排：便于四人小组讨论的座位布局。  3.2板书规划：左侧区域呈现核心原理与公式；中部区域呈现问题情境分析与建模过程；右侧区域作为对比辨析区（分类vs.分步）和学生成果展示区。五、教学过程第一、导入环节  1.情境创设，激发冲突：“同学们，下周我们班要举办一个‘数学游园会’，需要大家帮忙设计游园路线。看，这是游园地图简图（课件出示：从大门到游乐场有A、B两条路，从游乐场到礼品店有C、D、E三条路）。小明想从大门经过游乐场再到礼品店，他一共有多少种不同的走法呢？大家可以先猜一猜，或者在纸上画一画。”  1.1暴露前概念：给予学生1分钟独立思考与尝试。教师巡视，关注典型解法：可能有学生直接回答“5种”（2+3），也可能有学生尝试枚举或画出6种。这是一个非常好的认知冲突点。  1.2提出核心问题：“咦，大家的答案好像不一样？到底哪种方法对呢？这中间藏着什么样的数学规律？今天，我们就一起来破解这个‘计数密码’，学习一种能帮我们又快又准解决这类问题的新方法——乘法原理。”第二、新授环节  任务一：从具体枚举到规律初探  教师活动：首先，引导全体学生用最“笨”但最可靠的方法——画图或列表，把所有走法一一列举出来验证。教师用课件动态演示：先固定大门到游乐场选A路，此时从游乐场到礼品店有C、D、E三种选择，生成A>C,A>D,A>E三条路线；同理，固定选B路，又生成B>C,B>D,B>E三条。边演示边提问：“当我们确定第一步走A路时，第二步有几种变化？这说明了第一步和第二步的选择之间是什么关系？”（相互独立，互不影响）。然后板书枚举结果：“一共是2个3种，也就是3+3=6种，或者说，2×3=6种”。  学生活动：学生跟随教师引导，在任务单上用自己的方式（画线、写字母组合等）尝试枚举所有路线。观察课件演示，思考并回答教师提问，理解“每一步选择独立”的含义。比较“3+3”和“2×3”两种表达，直观感受乘法的简洁性。  即时评价标准：1.枚举过程是否有序、不重复不遗漏。2.能否用自己的话解释“为什么第一步的选择不影响第二步的选择”。3.是否能发现枚举总数与两个路段选择数量之间的乘法关系。  形成知识、思维、方法清单：  1.★乘法原理的雏形：当完成一件事（如从大门到礼品店）需要分两步（先选第一段路，再选第二段路），且每一步的方法数已知时，总方法数可以是各步方法数相乘。教师提示：这里是从具体例子中“感觉”到的规律，先不急于给出严谨定义。  2.▲有序枚举的价值：在情况较多时，有序思考（如先固定第一步）是确保“不重不漏”的关键策略，也是我们发现规律的基础。  3.核心概念辨析点：此情境为什么不能用2+3？因为并非“从两类不同的路中只选一类走”，而是“两类路都必须依次走到”，这是“分步”与“分类”最直观的区别。  任务二：建模抽象，归纳原理  教师活动：提供第二个情境“早餐搭配”：饮料有牛奶、豆浆2种，点心有包子、油条、蛋糕3种，各选一种，有多少种搭配？提问：“这个‘搭配’问题和刚才的‘路线’问题，在结构上有什么共同点？”引导学生抽象出共同模型：“完成一件事（搭配早餐）→分两步（先选饮料，再选点心）→每一步有若干方法（2种、3种）→总方法数：2×3=6”。然后，鼓励学生自己再举一个类似的生活例子。接着，教师用规范语言总结：“像这样，完成一件事需要分几步，每一步有几种不同的方法，那么完成这件事总的方法数，就等于这几步方法数相乘。这就是我们今天要学习的乘法原理，也叫分步计数原理。”并板书原理文字及公式模型。  学生活动：分析早餐搭配问题，与路线问题进行比较，在教师引导下尝试抽象出共同的结构模式。积极思考并分享自己想到的例子（如穿衣搭配）。倾听教师总结，在任务单上记录原理的核心表述。  即时评价标准：1.能否准确识别新情境中的“步骤”划分。2.举例是否贴切，符合“分步完成”的结构。3.能否较流利地复述原理的核心意思。  形成知识、思维、方法清单：  1.★乘法原理的定义：完成一件事，需要分成n个步骤，做第一步有m1种方法，第二步有m2种方法……第n步有mn种方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×…×mn种不同的方法。教学提示：强调“分步”、“每一步方法数已知”、“相乘”三个关键词。  2.数学建模过程：从具体问题中识别共同结构，剥离非数学细节（饮料、路名），抽象出“步骤”与“方法数”的数学模型，这是解决应用问题的通用思维路径。  3.原理的符号化表示：引入公式“N=m1×m2×…×mn”，这是将原理一般化、简洁化的表达，便于思维和计算。  任务三：对比辨析，深化理解（分类vs.分步）  教师活动：设计对比题组，这是攻克高频易错点的关键。题组一：(1)从甲地到乙地，可以乘火车、汽车或飞机，3种方式任选其一，有几种走法？（加法）(2)从甲地到丙地，必须先到乙地中转，甲到乙有2种走法，乙到丙有3种走法，有几种走法？（乘法）。抛出核心问题：“认真观察这两个问题，最大的不同在哪里？什么情况下用加法，什么情况下用乘法？”组织小组讨论。教师巡视，参与讨论，引导聚焦于“完成这件事的方式是‘一类中的一种’还是‘必须经历多个环节’”。  学生活动：独立审题并尝试解答对比题组。在小组内热烈讨论，比较两题差异，争论并试图提炼判断标准。推选代表发言，阐述小组观点。  即时评价标准：1.解题是否正确。2.讨论时能否紧扣问题结构的差异进行对比。3.归纳的判断标准是否清晰、准确（用关键词如“任选其一/分类完成”vs.“分步完成/依次进行”）。  形成知识、思维、方法清单：  1.★加法原理与乘法原理的根本区别：分类计数（加法原理）针对的是“分类”问题，各类方法之间是“或”的关系，任选其一即可完成；分步计数（乘法原理）针对的是“分步”问题，各步之间是“与”的关系，缺一不可，必须依次完成。易错警示：这是小升初最易混淆点，必须通过大量对比辨析来强化。  2.▲决策流程图：引导学生形成分析问题的思维链：面对计数问题→自问“这件事是一步到位还是分几步完成？”→若一步到位（分类），用加法；若必须分几步（分步），用乘法。  3.语言表征差异：题目中的关键词暗示：“任选一种”常指向加法；“先…再…”、“搭配”、“组成…密码/号码”常指向乘法。  任务四：变式应用，灵活建模（处理步骤制约）  教师活动：呈现稍复杂情境：“用1、2、3、4、5这五个数字，组成没有重复数字的两位数，可以组成多少个？”提问：“这属于分类还是分步问题？分哪几步？”引导学生明确分两步：选十位数字、选个位数字。进一步追问：“每一步的方法数都是5吗？”让学生意识到步骤间的制约：十位有5种选择，但一旦十位选定，个位只剩下4个数字可选。因此总数是5×4=20。可追问：“如果数字可以重复呢？”（则各步独立，5×5=25）。通过对比，强调分析步骤间是否相互影响。  学生活动：分析数字组数问题，识别步骤（十位、个位）。在教师追问下，发现“没有重复数字”这一条件导致第二步的选择依赖于第一步，从而理解方法数的变化。思考并回答数字可重复的情况。  即时评价标准：1.能否准确划分步骤。2.能否根据条件（如“不重复”）正确分析每一步的实际方法数，而不是机械地认为每一步方法数固定。3.能否解释“为什么两步方法数不同”。  形成知识、思维、方法清单：  1.★步骤间的依赖关系：乘法原理中，各步“方法数”是完成该步时当下的选项数。若后一步的选择受前一步影响（如不能重复），则需根据实际情况确定方法数，而非简单套用初始总数。核心认知：原理中的“m1,m2…”是动态确定的。  2.审题关键点：特别关注“有无重复”、“是否0可在首位”等限制条件，这些条件直接影响具体某一步的方法数。  3.推广与联系：此题为后续学习排列数公式A_n^m埋下伏笔，体现了从特殊到一般的数学思想。  任务五：策略验证，思维可视化  教师活动：回归导入的游园路线问题或数字组数问题，提出：“我们算出了结果，怎么验证它一定是对的？除了枚举，还有什么好办法能帮我们理清思路？”介绍树状图法。以数字组数（1,2,3）为例，在黑板上示范画树状图：从树根（起点）分出3支（十位的3种选择），每支再分出2支（对应个位的剩余选择），最后数出“树叶”（终点）的个数即为总数。鼓励学生用树状图去分析一个自己感兴趣的问题。  学生活动：观察教师示范，学习树状图的画法。在任务单上选择一个任务（如早餐搭配）尝试画树状图。通过画图，直观感受“分步”和“所有可能”的生成过程。  即时评价标准：1.树状图结构是否清晰，步骤层次是否分明。2.能否通过树状图正确数出总数，并验证乘法计算的结果。3.是否体会到树状图作为一种思考工具的价值。  形成知识、思维、方法清单：  1.★树状图（枚举图）：一种直观的、结构化的枚举工具，能将抽象的分步过程可视化，特别适用于步骤不多但容易混淆的情况，是验证乘法原理计算结果的有效手段。  2.策略多样化：解决问题时，计算方法（乘法）追求简洁高效，验证方法（树状图、列表等）追求直观可靠。鼓励学生根据问题特点灵活选用。  3.有序思维的图形化：树状图的生长过程本身就是“先固定第一步，再考虑第二步……”的有序思维过程的完美体现。第三、当堂巩固训练  设计分层练习，学生可根据自身情况至少完成基础层和综合层。  基础层（直接应用）：1.小红有3件上衣和2条裙子，一件上衣搭配一条裙子，有几种穿法？2.从学校到书店有3条路，从书店到家有2条路，从学校经书店回家有几种走法？  综合层（情境稍复杂）：1.用0、1、2、3可以组成多少个没有重复数字的三位数？2.一个密码锁的密码由两个数字组成（每个数字可以是09），一共有多少种可能的密码？（数字可重复）  挑战层（开放探究）：为班级“数学游园会”设计一个包含两个环节的闯关游戏，要求第一关有A种通过方式，第二关有B种通过方式，玩家必须连续通过两关才算成功。请说明你的游戏设计，并计算玩家有多少种不同的成功路径。你能让A和B的乘积等于24吗？  反馈机制：学生独立练习后，开展小组内互评，重点对照“步骤划分是否正确”、“是否考虑制约条件”、“计算是否准确”进行核对。教师巡视，收集典型正确解法和共性错误。选取一份有步骤制约错误的综合层解法（如三位数问题中忽略0不能在百位）和一份挑战层的创意设计进行投影展示、集体评议。教师针对性点评，强化重难点。第四、课堂小结  知识整合：“同学们，经过一节课的探索，我们的‘计数工具箱’里多了一件强大的工具。谁来用自己的话，结合黑板上的板书，给大家梳理一下今天收获的核心知识？”引导学生回顾从具体问题抽象出模型，再到对比辨析、灵活应用的过程。鼓励用思维导图关键词（分步、相乘、与分类区别、树状图）进行总结。  方法提炼：“回顾一下，当我们遇到一个复杂的计数问题时，我们是如何一步步搞定的？”（识别结构→判断分类/分步→若分步，则划分步骤并确定每步方法数→列式计算→可画图验证）。  作业布置与延伸：“今天的作业是‘自助餐’式的：必做题是完成学习任务单上的基础巩固题；选做题A是解决一个生活中的乘法原理问题并记录下来；选做题B是思考：如果完成一件事需要分三步，每步分别有2、3、4种方法，总方法数是多少？如果其中某一步可以‘跳过’（即0种方法），结果会怎样？这留给爱思考的你。”六、作业设计  基础性作业（必做）：1.完成教材配套练习中关于乘法原理的基础应用题23道。2.判断以下问题适用加法原理还是乘法原理，并说明理由：(1)从3本语文书和4本数学书中任取1本；(2)从3本不同的语文书中选1本，再从4本不同的数学书中选1本，配成一套。  拓展性作业（建议大多数学生完成）：寻找生活中一个符合乘法原理的例子（如早餐搭配、出行路线选择、照片滤镜叠加效果等），用文字简要描述情境，画出步骤示意图，并列出乘法算式计算总数。  探究性/创造性作业（选做）：设计一个简单的“密码破译”游戏。假设一个2位密码，第一位是字母（AC），第二位是数字（13）。请你：1.列出所有可能的密码。2.如果你的朋友告诉你，密码中字母和数字之和是5，可能的密码范围缩小了多少？还剩几种可能？（此题融合了乘法原理与简单的条件筛选）七、本节知识清单及拓展  1.★乘法原理（分步计数原理）核心定义：完成一件事，如果需要分成n个步骤，做第一步有m1种方法，做第二步有m2种方法，……，做第n步有mn种方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×…×mn种不同的方法。关键在于理解“分步”与“每一步方法数”的确定。  2.★乘法原理与加法原理的对比表：加法原理针对“分类”问题（任选一类其一即可完成）；乘法原理针对“分步”问题（必须依次完成所有步骤）。前者是“或”的关系，后者是“且”的关系。这是选择的基石。  3.★应用乘法原理的解题步骤：一“析”（分析完成一件事的整个过程）；二“分”（合理分成若干个相互独立的步骤）；三“算”（求出每一步中单独的方法数）；四“乘”（将各步方法数相乘得到总数）。养成程序化思考习惯。  4.★步骤的独立性与制约性：原理要求各步“独立”，意指完成第一步的方法不影响第二步选项的“存在性”，但可能影响其“数量”。如数字组数（不重复），十位选后个位选项依然存在（独立），但可选数字减少（数量制约）。这是分析难点。  5.▲树状图（枚举图）：一种有效的辅助思考和验证工具。像树的枝干一样，从起点开始，每一步作为一层分支，能清晰、不重不漏地展示所有可能情况。适用于步骤较少（通常≤3）时。  6.易错点警示1：混淆“分类”与“分步”。看到“多种选择”勿急于相加，先判断结构。典型错误：将搭配问题算成3+2=5。  7.易错点警示2：忽视步骤间的条件制约。特别是“0不在首位”、“数字不重复”、“某人必须站在中间”等条件，会改变某一步或几步的实际方法数。务必“动态”确定m1,m2…。  8.易错点警示3：步骤划分不合理或重复。必须确保划分的步骤能完整覆盖完成事件的所有环节，且各步之间不重叠。例如，从甲地经乙地到丙地，不能把“选择从甲到乙”和“选择从乙到丙”合并为一步。  9.学科思想：模型思想。乘法原理本身是一个数学模型。学习过程即训练从千变万化的实际问题中识别出“分步计数”这一共同结构的能力，是数学建模的初级体验。  10.学科思想：有序思维。无论是原理蕴含的“分步有序进行”，还是树状图的“有序生成”，都强调思维的条理性和严密性，是数学核心素养“逻辑推理”的具体表现。  11.拓展联系：排列组合的种子。本节课学习的乘法原理，是后续学习排列（A）、组合（C）公式的基础。例如，从n个不同元素中取出m个排成一列（排列），就可以用乘法原理推导：有n种选择作为第一个位置，有(n1)种作为第二个……总数为n×(n1)×…×(nm+1)，这正是排列数A_n^m。  12.生活与跨学科联系：乘法原理在计算机科学（密码学、算法路径）、遗传学（基因组合概率）、活动策划（方案搭配）等领域有广泛应用，体现了数学作为基础学科的工具价值。八、教学反思  （一）目标达成度评估：本节课预设的知识与能力目标基本达成。通过导入环节的冲突和任务一的枚举验证，大多数学生能理解乘法原理的由来。任务三的对比辨析小组讨论较为激烈，从汇报来看，学生能抓住“任选其一”与“分步完成”这一核心区别，这是突破易错点的关键。在当堂巩固练习中，基础层正确率高，综合层关于“0不在首位”的问题，仍有约20%的学生初次出错，经反馈点评后能自我纠正，说明难点突破需反复强化。情感与思维目标方面，学生在举例和挑战层任务中表现出较高兴趣，建模思想的渗透在教师的逐步引导下得以实现。  （二）环节有效性分析：导入环节的生活情境有效激发了探究欲。“任务二”到“任务四”的梯度设计，形成了从“具体建模”到“对比辨析”再到“灵活应用”的认知阶梯，符合支架式教学理念。“任务五”引入树状图作为验证工具，时机恰当，既巩固了原理，又提供了思维策略，部分学生表示“画出来就清晰多了”。巩固训练的分层设计照顾了差异，挑战层的开放性问题为学优生提供了创造空间，他们设计的游戏情境颇有创意。  （三）学生表现深度剖析：课堂观察可见，学生差异明显。一部分学生思维敏捷，能迅速抽象出模型并应用到新情境，甚至能指出同伴步骤划分的细微瑕疵。他们是课堂讨论的“引领者”。另一部分学生则处于“理解中跟随”的状态，他们