三角函数典型例题与解析集

三角函数典型例题与解析集三角函数作为高中数学的核心内容之一，不仅在数学内部有着广泛的应用，在物理、工程等诸多领域也扮演着重要角色。掌握三角函数的概念、公式及解题技巧，对于提升逻辑推理能力和解决实际问题的能力至关重要。本文精选若干典型例题，并辅以详尽解析，旨在帮助读者巩固基础、深化理解、掌握方法，进而提升三角函数的综合应用能力。一、三角函数的定义与基本关系三角函数的定义是整个知识体系的基石，同角三角函数的基本关系（平方关系、商数关系）则是进行三角恒等变换的基础。例题1：已知角α的终边经过点P(3,-4)，求角α的六个三角函数值。解析：由三角函数的定义可知，对于角α终边上任意一点P(x,y)，它到原点的距离为r=√(x²+y²)。则：sinα=y/r,cosα=x/r,tanα=y/x(x≠0),cscα=r/y(y≠0),secα=r/x(x≠0),cotα=x/y(y≠0)。对于本题，点P(3,-4)，则x=3,y=-4。首先计算r：r=√(3²+(-4)²)=√(9+16)=√25=5。于是：sinα=y/r=-4/5,cosα=x/r=3/5,tanα=y/x=-4/3,cscα=r/y=5/(-4)=-5/4,secα=r/x=5/3,cotα=x/y=3/(-4)=-3/4。点睛：本题直接考查三角函数的定义。关键在于准确理解坐标(x,y)的符号（取决于角所在象限）以及r的非负性。例题2：已知sinθ=3/5，且θ为第二象限角，求cosθ和tanθ的值。解析：已知一个三角函数值求其他三角函数值，主要应用同角三角函数的基本关系。同角三角函数的平方关系为：sin²θ+cos²θ=1。因此，cos²θ=1-sin²θ。已知sinθ=3/5，则cos²θ=1-(3/5)²=1-9/25=16/25，故cosθ=±4/5。又因为θ为第二象限角，在第二象限中，正弦值为正，余弦值为负，正切值为负。所以cosθ=-4/5。再根据商数关系tanθ=sinθ/cosθ，可得tanθ=(3/5)/(-4/5)=-3/4。点睛：应用平方关系开方时，务必注意角所在的象限以确定三角函数值的符号，这是极易出错的地方。二、诱导公式的应用诱导公式的主要作用是将任意角的三角函数转化为锐角三角函数，其核心思想是“奇变偶不变，符号看象限”。例题3：化简：sin(π+α)cos(-α)tan(2π-α)/[sin(3π/2-α)cos(π/2+α)]解析：化简此类三角函数式，需逐个运用诱导公式对各项进行化简。1.sin(π+α)：π是π/2的2倍（偶数倍），函数名不变；将α视为锐角，π+α在第三象限，正弦值为负。故sin(π+α)=-sinα。2.cos(-α)：余弦函数是偶函数，故cos(-α)=cosα。3.tan(2π-α)：2π是π/2的4倍（偶数倍），函数名不变；将α视为锐角，2π-α在第四象限，正切值为负。故tan(2π-α)=-tanα。4.sin(3π/2-α)：3π/2是π/2的3倍（奇数倍），函数名变为余弦；将α视为锐角，3π/2-α在第三象限，正弦值为负。故sin(3π/2-α)=-cosα。5.cos(π/2+α)：π/2是π/2的1倍（奇数倍），函数名变为正弦；将α视为锐角，π/2+α在第二象限，余弦值为负。故cos(π/2+α)=-sinα。将上述化简结果代入原式：原式=[(-sinα)*cosα*(-tanα)]/[(-cosα)*(-sinα)]分子中，(-sinα)*(-tanα)=sinα*tanα，故分子整体为sinα*tanα*cosα。又因为tanα=sinα/cosα，所以sinα*(sinα/cosα)*cosα=sin²α。分母中，(-cosα)*(-sinα)=sinαcosα。此时原式=sin²α/(sinαcosα)=sinα/cosα=tanα。点睛：运用诱导公式时，“奇变偶不变”指的是看所加（减）的角是π/2的奇数倍还是偶数倍，决定函数名称是否改变；“符号看象限”指的是将原角中的锐角α视为锐角，判断原三角函数在新角所在象限的符号。三、三角函数的图像与性质三角函数的图像直观地反映了其性质，如定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性等。例题4：求函数y=sin(2x-π/3)+1的最小正周期、单调递增区间及最大值，并指出取得最大值时x的集合。解析：该函数为正弦型函数y=Asin(ωx+φ)+b的形式。1.最小正周期T：对于y=Asin(ωx+φ)+b，其最小正周期T=2π/|ω|。本题中ω=2，故T=2π/2=π。2.单调递增区间：正弦函数y=sinu的单调递增区间为[-π/2+2kπ,π/2+2kπ]，k∈Z。令u=2x-π/3，则有-π/2+2kπ≤2x-π/3≤π/2+2kπ，k∈Z。解此不等式：左半部分：-π/2+2kπ+π/3≤2x→(-3π/6+2π/6)+2kπ≤2x→(-π/6)+2kπ≤2x→-π/12+kπ≤x。右半部分：2x≤π/2+2kπ+π/3→2x≤(3π/6+2π/6)+2kπ→2x≤5π/6+2kπ→x≤5π/12+kπ。综上，函数的单调递增区间为[-π/12+kπ,5π/12+kπ]，k∈Z。3.最大值及取得最大值时x的集合：正弦函数sin(2x-π/3)的最大值为1，故函数y的最大值为1+1=2。此时，sin(2x-π/3)=1，即2x-π/3=π/2+2kπ，k∈Z。解得x=(π/2+π/3)/2+kπ=(5π/6)/2+kπ=5π/12+kπ，k∈Z。所以，取得最大值时x的集合为{x|x=5π/12+kπ,k∈Z}。点睛：处理形如y=Asin(ωx+φ)+b（或余弦型）的函数性质，通常采用“换元法”，将ωx+φ视为一个整体，结合基本正弦（余弦）函数的性质进行求解。例题5：函数f(x)=cos(2x+π/4)的图像可由函数y=cos2x的图像经过怎样的变换得到？解析：函数图像的变换主要有平移变换、伸缩变换等。本题考查的是平移变换。对于函数y=cos2x，要得到y=cos(2x+π/4)=cos[2(x+π/8)]的图像。这是“左加右减”的平移原则在自变量x上的应用。即，要得到y=cos[2(x+π/8)]，只需将函数y=cos2x的图像上所有点向左平移π/8个单位长度。点睛：注意区分是对“x”进行平移还是对“ωx”进行平移。对于y=cos(ωx+φ)=cos[ω(x+φ/ω)]，是由y=cosωx向左平移|φ/ω|个单位（当φ/ω>0时）或向右平移|φ/ω|个单位（当φ/ω<0时）得到。四、三角恒等变换三角恒等变换是三角函数的核心内容，包括两角和与差的三角函数公式、二倍角公式、辅助角公式等，主要用于化简、求值、证明等。例题6：已知tanα=2，求tan(α+π/4)的值。解析：直接应用两角和的正切公式：tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)。本题中，A=α，B=π/4，tan(π/4)=1。故tan(α+π/4)=(tanα+tanπ/4)/(1-tanαtanπ/4)=(2+1)/(1-2*1)=3/(1-2)=3/(-1)=-3。点睛：牢记两角和差的正弦、余弦、正切公式是解决此类问题的基础。例题7：化简：(sin2α)/(2cosα)*(1+tanαtan(α/2))解析：化简题需要综合运用各种三角公式，目标是使表达式尽可能简洁。1.处理sin2α：由二倍角公式sin2α=2sinαcosα。故(sin2α)/(2cosα)=(2sinαcosα)/(2cosα)=sinα。2.处理1+tanαtan(α/2)：这部分可以尝试将正切化为正弦和余弦，或者寻找已知公式。方法一（切化弦）：tanα=sinα/cosα，tan(α/2)=sin(α/2)/cos(α/2)。1+tanαtan(α/2)=1+(sinα/cosα)*(sin(α/2)/cos(α/2))。通分：=[cosαcos(α/2)+sinαsin(α/2)]/[cosαcos(α/2)]。分子部分cosαcos(α/2)+sinαsin(α/2)，这是两角差的余弦公式的逆用：cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB。令A=α，B=α/2，则分子=cos(α-α/2)=cos(α/2)。因此，1+tanαtan(α/2)=cos(α/2)/[cosαcos(α/2)]=1/cosα。方法二（半角公式tan(α/2)=(1-cosα)/sinα或sinα/(1+cosα)）：若用tan(α/2)=(1-cosα)/sinα，则：1+tanαtan(α/2)=1+(sinα/cosα)*(1-cosα)/sinα=1+(1-cosα)/cosα=[cosα+1-cosα]/cosα=1/cosα。更为简便。3.将两部分结果相乘：原式=sinα*(1/cosα)=tanα。点睛：三角化简没有固定的模式，但“切化弦”、“异名化同名”、“异角化同角”、“降幂”等是常用的策略。熟练掌握并灵活运用各种公式是关键。例题8：求函数f(x)=sinx+√3cosx的最大值和最小值，并将其化为Asin(x+φ)的形式。解析：形如asinx+bcosx的函数，可以通过辅助角公式（合一变形）化为Asin(x+φ)或Acos(x-θ)的形式，其中A=√(a²+b²)。对于f(x)=sinx+√3cosx，这里a=1，b=√3。1.计算A：A=√(1²+(√3)²)=√(1+3)=√4=2。2.确定φ：f(x)=2*((1/2)sinx+(√3/2)cosx)。观察到1/2=cos(π/3)，√3/2=sin(π/3)。故f(x)=2[sinxcos(π/3)+cosxsin(π/3)]=2sin(x+π/3)。（利用两角和的正弦公式）或者，也可以写成cos(x-π/6)的形式，因为sin(x+π/3)=cos(π/2-(x+π/3))=cos(π/6-x)=cos(x-π/6)。3.最大值和最小值：因为正弦函数的值域为[-1,1]，所以f(