初中数学应用题解题技巧及练习

初中数学应用题解题技巧及练习初中数学应用题，常常是同学们在学习过程中感到头疼的部分。它不仅考察数学知识的掌握程度，更考验将实际问题转化为数学模型的能力、逻辑思维能力以及分析解决问题的能力。很多同学并非数学知识本身掌握不牢，而是在面对冗长的文字描述、复杂的数量关系时，不知从何下手。本文将结合初中数学的特点，为同学们系统梳理应用题的解题技巧，并辅以典型练习，希望能帮助大家攻克这一难关。一、深刻理解题意——审题是前提审题是解应用题的第一步，也是最关键的一步。很多时候，题目做错并非因为不会，而是因为没看懂题目。1.通读与精读结合：首先快速通读全文，了解题目大意，知道讲的是什么事情，涉及哪些基本量。然后进行精读，逐字逐句理解，特别是关键的词语和句子，要反复琢磨。2.圈点勾画关键信息：在阅读过程中，要用笔把题目中的已知条件、未知量、以及一些表示数量关系的关键词（如“一共”、“比……多（少）”、“是……的几倍（几分之几）”、“增加到”、“增加了”、“平均”、“相遇”、“追及”、“利润”、“折扣”等）圈点出来，提醒自己注意。3.明确已知与未知：清晰地列出题目中给出了哪些数据（已知条件），要求什么（未知量）。对于一些隐含的条件，也要努力挖掘出来。例如，“匀速行驶”意味着速度不变；“水池注满水”意味着体积为水池容量等。4.理解专业术语：数学应用题中会涉及一些特定领域的术语，如行程问题中的“相向而行”、“同向而行”、“相向而行”；工程问题中的“工作效率”、“工作总量”；经济问题中的“成本”、“售价”、“利润率”等，必须准确理解其含义。二、巧妙转化与建模——数学化是核心应用题的文字描述是“外衣”，我们需要将其“剥去”，转化为数学符号、公式、方程或图形等数学模型。1.用字母表示未知数：这是代数方法的基础。通常可以设题目所求的量为未知数（直接设元），有时为了方便，也可以设与所求量相关的其他量为未知数（间接设元）。设未知数时，要带上单位。2.绘制示意图或表格：对于一些较为复杂的问题，如画线段图分析行程问题中的路程、速度、时间关系；画几何图形分析图形面积、体积问题；列表格梳理工程问题中的工作效率、工作时间、工作总量，或者经济问题中的成本、售价、数量、利润等，都能使抽象的数量关系直观化、清晰化。这是一种非常有效的辅助手段。3.联想数学公式与基本数量关系：每一类应用题都有其核心的数量关系。例如：*行程问题：路程=速度×时间*工程问题：工作总量=工作效率×工作时间*利润问题：利润=售价-成本，利润率=利润/成本×100%*增长率问题：增长后的量=原来的量×(1+增长率)ⁿ(n为增长次数)*几何图形面积/体积公式等。熟练掌握这些基本关系，是列方程的基础。三、准确列方程（组）或算式——关系是桥梁在理解题意、完成数学转化之后，关键在于根据题目中的等量关系列出方程（组）或算式。1.寻找等量关系：这是列方程的灵魂。等量关系可以从以下几个方面寻找：*题目中的关键语句：如“……等于……”、“……与……的和是……”、“……比……多/少……”等。*利用基本公式：将已知量和未知量代入上述提到的各类基本数量公式。*分析事情发展过程：根据事情发生、发展、变化的过程，找出其中不变的量或相等的关系。例如，行程问题中的相遇，两人所走路程之和等于总路程；追及问题中，快者比慢者多走的路程等于初始距离。*利用“不变量”：有些问题中，某个量在变化过程中保持不变，这往往是建立等量关系的突破口。2.根据等量关系列方程（组）：将找到的等量关系，用含有未知数的代数式表示出来，即可得到方程或方程组。列方程时，要注意单位的统一。四、细心求解与检验——确保正确性列出方程（组）后，就进入了解方程（组）的阶段，这需要扎实的代数运算能力。1.规范求解：按照解方程（组）的步骤进行，确保每一步运算的准确性。解完方程后，要记得写出未知数的值。2.检验答案：这一步至关重要，却常常被忽略。*代入检验：将求得的解代入原方程（组），看是否满足方程（组），确保解方程过程无误。*实际意义检验：更重要的是，要检验所求的解是否符合实际问题的意义。例如，求得的人数不能为负数或小数（除非题目允许），求得的长度、时间等不能为负数等。如果不符合实际意义，即使能使方程成立，也不是原问题的解。五、规范作答——完整呈现结果求出符合题意的解后，要按照题目要求，用简洁、准确的语言写出答案，注意带上相应的单位。六、典型应用题类型及练习下面结合几种初中阶段常见的应用题类型，进行技巧点拨和练习。（一）行程问题核心关系：路程=速度×时间(s=v×t)常见类型：相遇问题、追及问题、航行问题（顺水/逆水）、环形跑道问题等。技巧：画线段图分析各对象的运动轨迹和路程关系，明确相遇或追及时的等量关系（如相遇时路程和等于总路程，追及时路程差等于初始距离）。练习1：甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行。已知甲的速度是每小时走5千米，乙的速度是每小时走4千米，经过3小时两人相遇。求A、B两地之间的距离。（分析：相遇问题，路程和=速度和×相遇时间）练习2：一队学生去校外进行军事野营训练，他们以每小时5千米的速度行进，走了18分钟的时候，学校要将一个紧急通知传给队长。通讯员从学校出发，骑自行车以每小时14千米的速度按原路追上去。通讯员需要多少时间可以追上学生队伍？（分析：追及问题，通讯员行进路程=学生先行路程+学生后续行进路程）（二）工程问题核心关系：工作总量=工作效率×工作时间(W=P×t)常见处理方式：通常将工作总量看作单位“1”，则工作效率为工作时间的倒数。技巧：明确各部分工作的工作量、工作效率和工作时间，注意合作时的效率是各部分效率之和。练习3：一项工程，甲单独做需要10天完成，乙单独做需要15天完成。如果甲、乙两人合作，需要多少天可以完成这项工程？（分析：设工作总量为1，甲效率为1/10，乙效率为1/15，合作效率为两者之和）练习4：一个蓄水池有甲、乙两个进水管和一个丙排水管。单独开甲管6小时可注满水池，单独开乙管8小时可注满水池，单独开丙管9小时可将满池水排空。若先将甲、乙两管同时开放2小时，然后打开丙管，问打开丙管后几小时可注满水池？（分析：注意丙管是排水管，其效率为负。各阶段注水量之和等于水池总量“1”）（三）利润问题核心关系：*利润=售价-成本（进价）*利润率=利润/成本×100%*售价=成本×(1+利润率)或售价=标价×折扣率练习5：某商店购进一批商品，每件进价为10元，在销售过程中发现，每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间满足关系y=-x+20。若商店每天想获得40元的利润，每件商品的售价应定为多少元？此时每天的销售量是多少件？（分析：总利润=单件利润×销售量，单件利润=x-10）（四）增长率问题核心关系：*增长后的量=原来的量×(1+增长率)ⁿ(n为增长次数)*降低后的量=原来的量×(1-降低率)ⁿ(n为降低次数)练习6：某工厂去年的产值是a万元，计划在今后5年内每年的产值比上一年增长10%。则今年的产值是多少万元？明年的产值是多少万元？（五）几何图形相关问题核心关系：利用相关的周长、面积、体积公式。技巧：仔细分析图形特征，准确运用公式，注意单位换算。练习7：一个长方形的周长是24厘米，长比宽多2厘米，求这个长方形的面积。（分析：设宽为x，则长为x+2，利用周长公式列方程求出长和宽，再求面积）七、总结与建议解初中数学应用题，没有一蹴而就的捷径，需要同学们在掌握上述解题技巧的基础上，进行大量的练习，在练习中不断总结经验，提升审题能力、建模能力和运算能力。*勤加练习，熟能生巧：接触不同类型的题目，开阔思路。*错题整理，查漏补缺：建立