奥数升学考试难点专练题目集

奥数升学考试难点专练题目集在奥数的学习旅程中，升学考试往往是检验学习成果、实现名校梦想的关键一步。这些考试不仅考察学生对基础知识的掌握程度，更侧重于检验其思维的灵活性、逻辑性和解决复杂问题的能力。本文精心筛选了奥数升学考试中常见的几类核心难点，并配以典型例题与深度解析，旨在帮助同学们拨开迷雾，掌握解题精髓，实现能力的突破。一、行程问题的变速与多过程综合行程问题是奥数中的常青树，也是升学考试的重中之重。其中，涉及变速、分段、往返以及多人多次相遇的题目，往往让学生感到棘手。这类问题的核心在于准确理解题意，抓住运动过程中的不变量与变量，灵活运用路程、速度、时间三者的关系。例题1：甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行。出发时，甲、乙两车的速度比是5:4。相遇后，甲车的速度减少20%，乙车的速度增加20%。这样，当甲车到达B地时，乙车离A地还有10千米。A、B两地相距多少千米？思路点拨：1.出发时速度比为5:4，相遇时所行路程比也为5:4（时间相同）。不妨设全程为9份。2.相遇后，甲车速度变为5×(1-20%)=4，乙车速度变为4×(1+20%)=4.8。此时甲、乙速度比为4:4.8=5:6。3.相遇后甲车还需行4份路程到达B地，根据时间=路程÷速度，这段时间内乙车能行多少份路程？4.用乙车相遇后所行路程与相遇前已行路程之和，与全程9份比较，差距10千米对应的份数是多少？从而求出全程。参考答案：450千米例题2：一条环形跑道长400米，甲、乙两人同时同地同向出发，甲每分钟跑300米，乙每分钟跑250米。问：甲第一次追上乙需要多少分钟？如果两人同时同地反向出发，多少分钟后第一次相遇？思路点拨：1.同向出发，甲第一次追上乙时，甲比乙多跑了一圈（400米）。这是一个追及问题，速度差是关键。2.反向出发，第一次相遇时，两人所跑路程之和为一圈（400米）。这是一个相遇问题，速度和是关键。参考答案：8分钟；8/11分钟(或写作八分之十一分钟)二、几何图形的分割、拼接与面积计算几何问题在升学考试中占据重要地位，尤其考验学生的空间想象能力和对图形变换的理解。不规则图形的面积计算、图形的分割与拼接、以及利用等积变换、比例关系求解的题目，常常是拉开差距的难点。例题3：一个等腰直角三角形的斜边长为8厘米，求这个三角形的面积。思路点拨：1.等腰直角三角形的特点是两条直角边相等，且斜边上的高等于斜边的一半。2.除了直接使用勾股定理求出直角边长度外，是否有更简便的方法？比如，将四个这样的等腰直角三角形拼成一个正方形，利用正方形面积与三角形面积的关系求解。参考答案：16平方厘米例题4：如图，正方形ABCD的边长为6厘米，E、F分别是AB、BC的中点，连接AF、CE交于点G。求阴影部分（△AGC）的面积。（*此处假设学生能根据描述想象图形或题目配有图形*）思路点拨：1.对于正方形中出现中点和交叉线的问题，通常可以考虑利用比例关系或添加辅助线（如连接BG或BD）。2.可以通过计算整个图形面积，减去空白部分面积来得到阴影面积；或者通过分析各三角形之间的面积关系，特别是等高三角形面积比等于底边比的性质。参考答案：6平方厘米三、数论初步：整除、余数与同余数论是奥数的基石之一，也是升学考试中区分度较高的内容。涉及数的整除特征、带余除法、同余问题以及质数与合数的性质应用，需要学生具备严谨的逻辑推理能力和对数字的敏感度。例题5：一个自然数既能被3整除，又能被5整除，同时它被7除余2。求满足条件的最小的三位数。思路点拨：1.既能被3整除又能被5整除的数，一定能被15整除。因此，这个数可以表示为15k（k为自然数）。2.根据题意，15k除以7余2。即15k≡2mod7。由于15除以7余1，所以15k≡kmod7。因此k≡2mod7。即k可以表示为7m+2。3.所以这个数为15×(7m+2)=105m+30。要求最小的三位数，解不等式105m+30≥100即可。参考答案：135例题6：已知两个数的最大公约数是12，最小公倍数是180，且这两个数不成倍数关系。求这两个数分别是多少？思路点拨：1.设这两个数分别为a和b，且a=12m，b=12n，其中m和n互质（即最大公约数为1）。2.根据最大公约数与最小公倍数的关系：a×b=最大公约数×最小公倍数。可得12m×12n=12×180，化简得m×n=15。3.因为15可以分解为1×15或3×5。又因为这两个数不成倍数关系，所以m和n不能是1和15（否则a=12，b=180，成倍数关系），因此只能是3和5。参考答案：36和60四、攻克难点的几点建议1.夯实基础，回归本质：任何难题都是基础知识的综合与拔高。务必熟练掌握基本概念、公式和方法，理解其内在逻辑。2.勤于思考，善于总结：不要满足于听懂或看懂答案，更要思考“为什么这么做”、“思路是如何想到的”。建立错题本，定期回顾，总结同类题目的解题规律。3.一题多解，拓展思维：尝试用不同的方法解决同一道题，培养发散思维能力，找到最优解法。4.模拟演练，调整心态：定期进行模拟考试，熟悉考试节奏，培养在