中学数学函数章节重点知识及练习题

中学数学函数章节重点知识及练习题函数，作为中学数学的核心内容之一，贯穿了从初中到高中的整个学习过程，也是进一步学习高等数学的重要基础。它不仅仅是一种数学工具，更是一种重要的数学思想方法，帮助我们描述现实世界中变量之间的依存关系，解决各类实际问题。本章我们将系统梳理函数的重点知识，并通过练习题巩固理解，希望能帮助同学们真正掌握这一重要章节。一、函数的基本概念在数学中，函数描述的是两个非空数集之间的一种特殊对应关系。我们可以这样理解：对于一个“输入”值（通常用x表示），按照某种确定的规则，总有唯一的“输出”值（通常用y表示）与之对应，那么我们就说y是x的函数，记作y=f(x)。1.1函数的三要素构成一个函数，必须具备三个要素：定义域、对应关系和值域。*定义域：指的是自变量x的取值范围。在实际问题中，定义域的确定需要考虑变量的实际意义；在纯数学问题中，则要保证函数表达式有意义（例如，分母不为零，偶次根号下的被开方数非负等）。*对应关系：即x如何“变换”得到y的规则，通常用解析式、图像或表格等形式表示。*值域：是函数值y的集合，由定义域和对应关系共同决定。理解函数的概念，关键在于把握“每一个输入x，都有唯一确定的输出y”这一核心。这意味着，一个x不能对应多个y，但多个x可以对应同一个y。1.2函数的表示方法函数常见的表示方法有三种：*解析法：用数学式子（解析式）表示两个变量之间的对应关系，例如y=2x+1，y=x²等。这种方法简洁明了，便于进行理论分析和运算。*列表法：通过列出表格来表示两个变量之间的对应关系。这种方法直观具体，适用于自变量取值较少或有特定对应值的情况。*图像法：用平面直角坐标系中的图形来表示函数关系。图像能够非常直观地展示函数的变化趋势和一些几何特征，是“数形结合”思想的重要体现。二、几种重要的基本函数中学阶段，我们主要学习和掌握以下几种基本函数：2.1一次函数定义：形如y=kx+b（其中k、b是常数，且k≠0）的函数，叫做一次函数。当b=0时，即y=kx（k≠0），此时函数称为正比例函数，它是一次函数的特殊形式。图像：一次函数的图像是一条直线。其中，k称为直线的斜率，决定了直线的倾斜程度；b称为直线在y轴上的截距，即直线与y轴交点的纵坐标。*当k>0时，直线从左到右上升；当k<0时，直线从左到右下降。*当b>0时，直线与y轴交于正半轴；当b=0时，直线过原点；当b<0时，直线与y轴交于负半轴。性质：一次函数是定义域为全体实数的单调函数。当k>0时，函数在R上单调递增；当k<0时，函数在R上单调递减。2.2二次函数定义：形如y=ax²+bx+c（其中a、b、c是常数，且a≠0）的函数，叫做二次函数。图像：二次函数的图像是一条抛物线。*a的符号决定了抛物线的开口方向：a>0时，开口向上；a<0时，开口向下。*抛物线是轴对称图形，其对称轴为直线x=-b/(2a)。*抛物线的顶点是图像的最高点（当a<0时）或最低点（当a>0时），顶点坐标为(-b/(2a),(4ac-b²)/(4a))。性质：*开口方向与最值：由a的符号决定。若a>0，函数有最小值，当x=-b/(2a)时，y最小值=(4ac-b²)/(4a)；若a<0，函数有最大值，当x=-b/(2a)时，y最大值=(4ac-b²)/(4a)。*单调性：*当a>0时，在对称轴左侧（x<-b/(2a)），函数单调递减；在对称轴右侧（x>-b/(2a)），函数单调递增。*当a<0时，在对称轴左侧（x<-b/(2a)），函数单调递增；在对称轴右侧（x>-b/(2a)），函数单调递减。*与坐标轴的交点：与y轴交点为(0,c)；与x轴的交点个数由判别式Δ=b²-4ac决定：Δ>0时，有两个不同交点；Δ=0时，有一个交点（顶点在x轴上）；Δ<0时，无交点。二次函数的表达式形式：*一般式：y=ax²+bx+c(a≠0)*顶点式：y=a(x-h)²+k(a≠0)，其中(h,k)为抛物线的顶点坐标。*交点式（两根式）：y=a(x-x₁)(x-x₂)(a≠0)，其中x₁、x₂是抛物线与x轴交点的横坐标（前提是抛物线与x轴有交点）。2.3反比例函数定义：形如y=k/x（其中k是常数，且k≠0）的函数，叫做反比例函数。也可以表示为y=kx⁻¹。图像：反比例函数的图像是双曲线，由两支曲线组成。*当k>0时，双曲线的两支分别位于第一、三象限；*当k<0时，双曲线的两支分别位于第二、四象限。*双曲线的两支都无限接近但永远不会与坐标轴相交。性质：*反比例函数的图像关于原点对称。*当k>0时，在每个象限内，y随x的增大而减小；*当k<0时，在每个象限内，y随x的增大而增大。*其定义域为x≠0的一切实数，值域为y≠0的一切实数。三、练习题基础巩固1.求函数定义域：（1）求函数y=√(x-2)+1/(x-3)的定义域。（2）函数y=(x+1)/(x²-4)的定义域是什么？2.一次函数：（1）已知一次函数的图像经过点(1,3)和(-2,-3)，求此一次函数的解析式。（2）若一次函数y=(m-1)x+2的图像经过第一、二、四象限，求m的取值范围。3.二次函数：（1）写出二次函数y=2x²-4x+1的顶点坐标、对称轴，并说明其开口方向及最值情况。（2）已知二次函数y=ax²+bx+c的图像开口向下，且经过原点和点(1,-1)，请写出一个满足条件的二次函数解析式。4.反比例函数：（1）已知反比例函数y=k/x的图像经过点(2,-3)，则k的值为多少？此函数图像位于哪些象限？（2）若点A(x₁,y₁)和点B(x₂,y₂)在反比例函数y=6/x的图像上，且x₁<x₂<0，则y₁与y₂的大小关系如何？能力提升5.已知二次函数y=x²-2x-3。（1）画出该函数的大致图像（要求标出顶点、对称轴及与坐标轴的交点）。（2）结合图像，指出当x取何值时，y>0？y=0？y<0？（3）当-1≤x≤4时，求函数y的最大值和最小值。6.某商店销售一种商品，每件成本为a元。经市场调研发现，该商品的日销售量y（件）与销售单价x（元/件）之间满足一次函数关系：当x=50时，y=100；当x=60时，y=80。（1）求y与x之间的函数关系式。（2）设该商店销售这种商品的日利润为w元，求w与x之间的函数关系式（利润=（售价-成本）×销售量）。（3）若该商品的销售单价不低于成本价，且不高于某个值（例如70元），则当销售单价为多少元时，日利润最大？最大日利润是多少？（注：此处a的值可自行设定一个具体数值代入计算，如a=40）7.已知一次函数y=kx+b的图像与反比例函数y=m/x的图像交于点A(1,4)和点B(-2,n)。（1）求这两个函数的解析式。（2）求点B的坐标。（3）根据图像直接写出，当x为何值时，kx+b>m/