一元一次方程在行程问题中的应用-北师大版七年级数学上册学案设计

一元一次方程在行程问题中的应用——北师大版七年级数学上册学案设计一、教学内容分析《义务教育数学课程标准（2022年版）》在初中阶段“数与代数”领域明确强调，方程是刻画现实世界数量关系的有效模型。本课“应用一元一次方程解决行程问题”是学生在学习了等式性质、解一元一次方程基本步骤后，首次系统地将数学模型应用于一类典型的现实情境。从知识技能图谱看，它处于从“如何解方程”到“为何、何时列方程”的转折点，要求学生能将文字语言描述的动态过程，抽象为数学符号（方程）表示的数量关系，是实现“用数学眼光观察现实世界”的关键跃迁。其认知要求已从单纯的程序性“理解”与“操作”，上升到策略性的“分析”与“建模”。过程方法上，本课是渗透数学建模思想的绝佳载体，学生将经历“情境识别—要素分析—关系抽象—模型构建—求解检验”的完整探究路径，培养“将实际问题数学化”的核心能力。素养价值层面，行程问题蕴含了运动、变化与对应的思想，通过分析相遇、追及等情境，能潜移默化地培养学生用运动、联系的眼光看待事物，发展逻辑推理与数学抽象素养，体会数学模型的简洁与力量。基于“以学定教”原则，学生已掌握解一元一次方程的基本技能，并初步接触过用方程解决简单的和差倍分问题。然而，从静态数字关系到动态过程分析的跨越是主要认知障碍。学生普遍不善于从复杂情境中提取有效数学信息，难以将“同时出发”、“相遇”、“快车追上慢车”等生活语言，转化为“时间相等”、“路程和等于总路程”、“路程差等于初始距离”等等量关系。在过程评估中，我将通过“情境复述”、“线段图绘制”等任务，动态诊断学生信息提取与表征的困难点。针对不同层次学生，教学调适策略如下：对于基础薄弱学生，提供“关键信息勾画表”和线段图模板作为脚手架；对于多数学生，引导其通过小组合作，互相讲解对运动过程的理解；对于学有余力者，鼓励其尝试用不同方法（如设不同未知数）建立方程，并比较优劣，或探究更复杂的变式问题。二、教学目标阐述知识目标：学生能准确识别行程问题中的路程、速度、时间三要素及其基本关系（s=vt）；能理解相遇、追及两类典型情境中的核心等量关系（如路程和、路程差）；能依据题意，合理设未知数，并将文字语言描述的等量关系，规范地列为一元一次方程。能力目标：学生经历从实际问题抽象为数学模型的完整过程，发展数学建模能力。具体表现为：能自主阅读题目，提取关键信息并用线段图直观表征运动过程；能基于线段图分析并找出等量关系；能完整执行“审设列解验答”的解题流程，并清晰表述思考过程。情感态度与价值观目标：在解决贴近生活的行程问题过程中，学生能体会数学的工具性与应用性，增强学习兴趣和应用意识。在小组合作探究中，能积极参与讨论，敢于表达并倾听他人见解，形成互助共赢的学习氛围。科学（学科）思维目标：重点发展学生的模型思想与化归思想。通过将复杂的动态行程问题化归为直观的线段图，再抽象为简洁的方程模型，学生能体会“数形结合”在分析问题中的优越性，以及用数学符号系统化表征现实世界的思维方式。评价与元认知目标：引导学生建立解题后的反思习惯。能够依据“信息提取是否完整”、“等量关系寻找是否准确”、“方程两边意义是否一致”等标准，对自己或同伴的解题过程进行初步评价；能总结解决行程类应用题的通用策略与易错点，优化自己的学习策略。三、教学重点与难点教学重点：分析行程问题中的数量关系，寻找等量关系并建立一元一次方程。确立依据在于：从课标看，“模型思想”是核心概念，建立方程是建模过程的中心环节；从学业评价看，能否从复杂情境中抽象出等量关系，是考查学生数学应用能力的分水岭，是后续学习工程、利润、浓度等各类应用题的通用思维框架，具有奠基性作用。教学难点：从复杂的文字情境中，准确分析运动过程，特别是理解追及问题中“时间相等”及“路程差”的由来。预设依据源于学情分析：学生空间想象与动态过程分析能力尚在发展，容易混淆不同对象的速度、时间与路程对应关系，是作业和考试中的典型失分点。突破方向在于强化“线段图”这一可视化工具的运用，将抽象的运动过程转化为直观的图形，以形助数，化解思维跨度。四、教学准备清单1.教师准备1.1媒体与教具：交互式课件（内含动态演示相遇、追及过程的动画），实物投影仪。1.2学习材料：分层设计的学习任务单（含引导性问题、基础与拓展练习题），小组合作讨论记录卡。2.学生准备2.1知识预备：复习路程、速度、时间的基本关系，熟练解一元一次方程。2.2学具：直尺、铅笔。3.环境布置3.1座位安排：课前调整为46人异质分组，便于开展合作探究。五、教学过程第一、导入环节1.情境创设：（播放一段简短动画：两辆小车从甲乙两地同时相向而行，最终相遇）同学们，这是我们生活中常见的场景。假如动画中甲乙两地相距180千米，小车A的速度是60千米/时，小车B的速度是40千米/时，大家能立刻告诉我它们多久后相遇吗？“心算快的同学可能已经喊出答案了！但我们生活中更多的情况是，知道距离和速度，求时间；或者知道时间和其中一方的速度，求另一方的速度。我们上节课学了解方程，但方程解出来，问题就真的解决了吗？不，更关键的一步在于——如何从问题中‘变’出那个正确的方程。”1.1问题提出：今天，我们就化身“数学翻译官”，学习如何将行程这类动态问题，“翻译”成一元一次方程这个数学模型。1.2路径明晰：我们的学习路线是：首先，重温行程问题的“三要素”这件法宝；然后，重点学习用“线段图”来描绘运动过程这个神奇的工具；最后，掌握从图中找出等量关系、列出方程的“翻译”法则。大家准备好接受挑战了吗？第二、新授环节任务一：重温基础，唤醒“三要素”关系教师活动：首先，我会在黑板上写下核心关系式：路程=速度×时间（s=vt）。并提问：“这个公式大家都熟悉，但谁能用自己的话解释一下，当一辆车以固定速度行驶时，路程、速度、时间三者是如何‘联动’变化的？”接着，呈现一个简单填空题：“若小明骑车的速度是v米/分，骑了t分钟，则路程为____米；若知道路程是s米，速度是v米/分，则时间为____。”通过这两个问题，确保所有学生基础记忆被激活。我会强调：“记住，这三个量必须是对应于同一个对象、同一段过程的。”学生活动：学生集体回答关系式，并尝试用自己的语言描述三者关系。独立完成填空题，并与同桌快速交换检查。即时评价标准：1.能准确复述s=vt及其两个变形式。2.在描述三者关系时，能体现出“知二求一”的对应思想。3.填空题答案准确无误。形成知识、思维、方法清单：★行程问题三要素：路程(s)、速度(v)、时间(t)。★核心基本关系：s=v×t（及其变形式v=s/t,t=s/v）。▲关键认知：应用公式时，必须确保s,v,t三者是同一运动对象在同一时间段内的对应量。这是后续所有分析正确的前提。任务二：情境初探，引入“线段图”工具教师活动：出示教材或任务单上的例1（简单的相遇问题，如：甲、乙两站间的路程为450km，一列慢车从甲站开出，速度为65km/h；一列快车从乙站开出，速度为85km/h。两车同时开出，相向而行，几小时后相遇？）。不急于让学生列方程，而是说：“面对这样的问题，我们第一步不是找x，而是要在脑海里‘放电影’。谁能把题中的运动过程像讲故事一样说出来？”请一位学生描述。然后引导：“故事很清晰，但为了更直观地找到数量关系，数学家发明了一个好工具——线段图。大家看，我用一条线段表示甲乙两地的总路程450km…”在黑板上规范绘制线段图，用点表示站点，用箭头表示运动方向和起点。“慢车从甲往乙，快车从乙往甲，它们相遇的点在哪？对，在中间某个位置。我们通常用一段表示慢车走的路程s慢，另一段表示快车走的路程s快。”边画边讲解，“大家发现了吗？s慢和s快加起来，就是总路程。”学生活动：聆听同学对题意的复述，观察教师在黑板上的绘图过程。跟随教师的引导，在任务单上模仿绘制线段图，并尝试标出已知的“总路程”以及未知的“慢车路程”和“快车路程”。即时评价标准：1.能用自己的语言清晰复述题意，包含“同时”、“相向”、“相遇”等关键词。2.能初步模仿绘制线段图，线段总长、起点、方向标示基本正确。3.能指出图中各部分线段与题目中信息的对应关系。形成知识、思维、方法清单：★线段图：是分析行程问题（特别是动态、多对象问题）的可视化利器。★作图规范：用一条线段表示总路程；用点表示地点或时刻；用箭头表示运动方向与起点；不同对象的路程用不同线段或标注区分。★相遇问题核心等量关系：甲路程+乙路程=总路程（s₁+s₂=s_总）。▲思维提示：画图的过程，就是梳理题目信息、将文字“翻译”成图形的过程。图形能让隐藏的数量关系“浮出水面”。任务三：合作探究，完成从“图”到“式”的翻译教师活动：“好，现在‘剧本’（题意）有了，‘分镜图’（线段图）也画好了，我们怎么把它‘翻译’成数学语言（方程）呢？”抛出核心引导问题：“在图中，什么量是相等的？”给予学生1分钟小组讨论时间。巡视并参与小组讨论，提示：“关注两辆车，它们是什么时候出发的？什么时候结束的？行驶的时间有什么关系？”待讨论后，请小组代表分享。明确：“对，因为是同时出发到相遇，所以它们所用的时间相同！这是我们设未知数的关键。”设相遇时间为x小时。“那么，慢车走的路程如何用含x的式子表示？（65x）快车呢？（85x）”“现在，看着你们的线段图，根据‘s慢+s快=s总’，方程可以怎么列？”板书列方程过程：65x+85x=450。学生活动：以小组为单位，围绕“图中什么量相等”进行讨论。积极思考并回答教师的引导性问题。在教师引导下，共同完成设未知数、用代数式表示路程、根据线段图揭示的等量关系列出方程的全过程。即时评价标准：1.小组讨论时，能围绕“时间相等”这一隐藏条件进行有效交流。2.能正确用含x的代数式表示出各对象的运动路程。3.能根据线段图，准确指认并说出作为列方程依据的等量关系（路程和=总路程）。形成知识、思维、方法清单：★列方程一般步骤（审设列解验答）之“审”与“设”：审题要提取关键信息并画图；设未知数时，优先选择时间、路程等直接影响其他量的因素为x。★代数式表示路程：若设时间为x，则路程=速度×x。★构建方程的核心：从线段图或情境中，找出一个包含未知数x的等量关系。▲方法提炼：寻找等量关系的两大常见突破口——①路程关系（如和、差、倍分）；②时间关系（如同时、提前、延迟）。本例中，我们同时用到了“时间相等”（设元依据）和“路程和相等”（列方程依据）。任务四：变式迁移，挑战“追及”问题模型教师活动：变换情境，出示追及问题（如：小明每天早上要在7:50前赶到距家1000米的学校。一天，小明以80米/分的速度出发，5分钟后，爸爸发现他忘了带数学书，立即以180米/分的速度去追。爸爸能否在小明到校前追上他？）。引导学生对比：“这个情境和刚才的相遇有什么本质不同？”（运动方向、出发时间）。“请大家小组合作，尝试独立完成‘放电影’—‘画线段图’—‘找等量关系’三部曲。”我会重点巡视学生绘制线段图时，如何处理“小明先走5分钟”这个时间差。请一个小组上台展示他们的图和分析。“大家看，这个图里，爸爸出发时，小明已经走了一段路了。到追上时，什么量相等？（路程？不对，爸爸追的路程多。时间？爸爸用的时间少。）”引导学生发现：“从爸爸开始追到追上，两人所用的时间是不一样的吗？仔细想想…哦，对，小明多走了5分钟。那有没有什么量是相同的？从爸爸开始追的那一刻算起，到追上那一刻为止，两人所用的时间是一样的！这是理解追及问题的钥匙。”基于此，引导学生设爸爸追上的时间为x分，则小明走的时间为(x+5)分。根据“追上时两人走的总路程相等”列出方程：180x=80(x+5)。学生活动：小组合作，对比新情境与相遇问题的异同。尝试绘制追及问题的线段图，重点关注“时间差”的表示方法。在教师引导下，辨析“追击时间”这一关键点，理解“从追开始到追上，时间相同”。参与完成设未知数、代数式表示路程、寻找路程相等的等量关系并列出方程。即时评价标准：1.能准确辨别相遇与追及情境的区别（方向、时间）。2.在线段图中能合理处理“时间差”，正确标注不同对象的路程与时间。3.能突破“时间差”的干扰，抓住“追击过程时间相等”这一核心，并据此建立方程。形成知识、思维、方法清单：★追及问题核心等量关系：快车路程慢车路程=初始距离差（s_快s_慢=Δs₀）；或甲路程=乙路程（当起点不同但最终位置相同时）。★时间处理难点：对于不同时出发的追及问题，要明确以某一事件（如后者出发）为时间零点，分段表示时间。设追及时间为t，则先出发者的总时间为t+提前量。▲思维突破：追及问题的分析，关键在于确定一个共同的比较时段，在此时段内，两者的时间相同，从而可以比较路程关系。画图时，用不同起点或分段线段来体现初始距离差，至关重要。任务五：模型凝练，归纳解题思维框架教师活动：带领学生回顾解决两个例题的全过程。通过提问串引导总结：“我们遇到一个行程应用题，第一步做什么？（读题，画线段图）第二步呢？（分析图形，找出所有已知、未知量，尤其是隐藏的等量关系，如时间相等）第三步？（合理设元，用代数式表示相关量）第四步？（根据等量关系列出方程）”将这一流程板书为思维导图。强调：“这个‘图式方程’的思维框架，不仅适用于行程问题，对于后面要学的工程、调配等问题，同样有启发意义。数学建模，就是这样一套‘翻译’世界的方法。”学生活动：跟随教师的提问，回顾、反思并大声说出解题的各个关键步骤。在笔记本或任务单上，尝试用关键词或简易图示整理出解决一元一次方程应用题的通用思维流程。即时评价标准：1.能脱离具体题目，流畅说出解应用题的几个关键步骤（审/画、找、设、表、列）。2.能明确指出“画线段图”和“寻找等量关系”是解题的核心环节。3.初步体会到“数学建模”是一个有章可循的过程。形成知识、思维、方法清单：★一元一次方程解应用题的通用流程：审题画图→分析找等量关系→设未知数→用代数式表示其他量→列出方程→解方程→检验→作答。★核心思想方法：数学建模思想、数形结合思想（线段图）。▲元认知提示：养成“先画图，后列式”的习惯，能极大提高解题正确率。解完题后，问自己：我的等量关系找对了吗？方程两边的单位或意义一致吗？第三、当堂巩固训练我将设计分层训练题，利用实物投影进行讲评与反馈。基础层（全体必做）：1.A、B两地相距15千米，甲每小时走5千米，乙每小时走4千米。两人分别从A、B两地同时出发，背向而行，几小时后两人相距60千米？（点评：“‘背向而行’和‘相向而行’在线段图上有什么区别？大家画画看。”）2.一队学生从学校出发去营地，步行速度为4千米/时。走了1小时后，学校有紧急通知要传达，派一名通讯员骑自行车以12千米/时的速度按原路追赶。通讯员多久可以追上学生队伍？综合层（大多数学生完成）：3.一架飞机在两城之间飞行，顺风需4小时，逆风需4.5小时。已知风速为20千米/时，求无风时飞机的速度和两城之间的距离。（点评：“这题里，飞机自己的速度在变吗？不变的量是什么？顺风、逆风时的实际速度如何表示？”此题涉及行程问题的变式，需引导学生抓住“两城距离不变”这一等量关系。）挑战层（学有余力选做）：4.在一条直的长河中有甲、乙两船，现同时由A地顺流而下，乙船到B地时接到通知需立即返回A、B之间的C地执行任务，甲船继续顺流航行。已知两船在静水中的速度相同，水流速度不变。甲、乙两船距离C地的距离分别为y1、y2（千米）与乙船行驶时间x（小时）之间的函数关系如图所示（此处预设一个分段函数图像）。请结合图像，提出一个可用一元一次方程解决的问题并求解。（点评：“图像也是描述运动过程的‘高级线段图’。你能从图中读出哪些等量关系？比如，交点代表什么？”此题融合函数图像分析，挑战学生的信息提取与跨知识点联系能力。）反馈机制：学生独立完成后，小组内交换批改基础题。教师针对综合层和挑战层题目，请不同解法的学生上台展示讲解，重点分析等量关系的寻找过程。展示典型错误案例（如设元不当导致方程复杂、单位不统一、忽略时间差等），引导学生共同辨析纠错。“这位同学列的方程，等号两边意义一致吗？大家帮他检查一下。”第四、课堂小结引导学生进行结构化总结。提问：“今天这堂课，你收获了哪些‘知识干货’？又掌握了哪些‘思维法宝’？”鼓励学生用关键词或简易思维导图在任务单上整理。请学生分享，教师补充完善，形成板书网络：中心是“一元一次方程应用（行程问题）”，延伸出“三要素s=vt”、“两大模型（相遇、追及）”、“一个工具（线段图）”、“一套流程（审设列解验答）”、“一种思想（建模）”。作业布置：必做（基础性作业）：教材课后练习中涉及相遇、追及的基础题目3道，并每道题配以线段图。选做A（拓展性作业）：编写一道涉及环形跑道（同向、反向）的行程问题，并给出解答。选做B（探究性作业）：调研共享单车、网约车平台计价规则，尝试用方程思想分析其计费模型，并模拟计算一个具体案例。“下节课，我们将带着方程这个工具，去探索‘打折销售’中的数学奥秘。”六、作业设计基础性作业（必做）：1.甲、乙两人从相距42千米的两地同时相向而行，3小时后相遇。如果甲比乙每小时多走2千米，求甲、乙两人的速度。（要求：画线段图辅助分析）2.小明和小华的家相距1200米，两人同时从家出发相向而行，小明每分钟走70米，小华每分钟走50米。多少分钟后两人相遇？相遇点距离小华家多少米？3.一辆摩托车以每小时45千米的速度追赶它前面30千米处的一辆货车，货车每小时行35千米。摩托车几小时后可以追上货车？拓展性作业（选做A）：4.（环形跑道问题）一条环形跑道长400米，甲、乙两人同时同地同向出发跑步，甲的速度是每秒6米，乙的速度是每秒4米。请问：(1)经过多少秒后两人第一次相遇？(2)若两人同时同地反向出发，经过多少秒后第一次相遇？请分别画出两种情况下的运动过程示意图，并列出方程求解。探究性/创造性作业（选做B）：5.“我是出行规划师”微型项目：假设你计划从家中前往市图书馆。已知：(1)步行速度为5千米/时；(2)乘坐公交车，需要先步行500米到车站，等车平均耗时5分钟，公交车速度为20千米/时，下车后还需步行300米；(3)网约车平均响应时间为3分钟，车速为30千米/时。三者路程均为8千米。请建立数学模型（使用一元一次方程），分别计算三种出行方式所需的总时间。并分析：在什么条件下（如仅考虑时间成本），你会选择哪种出行方式？请将你的分析过程、计算和结论写成一份简短的报告。七、本节知识清单及拓展★1.行程问题三要素及基本关系：路程(s)、速度(v)、时间(t)。核心关系：s=v×t。应用时务必确保三者对应。★2.线段图工具：用于直观表征运动过程、梳理数量关系的图形工具。作图要点：定总长、标点、画箭头、分线段、注数据。★3.相遇问题模型：特征：同时出发、相向（或背向）而行、相遇（或达到预定距离）。核心等量关系：甲路程(s₁)+乙路程(s₂)=总路程(s_总)或初始距离。★4.追及问题模型：特征：同向而行、后者追上前者。核心等量关系：快车路程(s_快)慢车路程(s_慢)=初始距离差(Δs₀)。（或追及时两者路程相等，但起点不同）★5.时间处理关键点：对于不同时出发的问题，需设定共同的时间起点，通常设从后者出发到追及（或相遇）的时间为t，则先出发者的总时间为t+提前的时间量。★6.列一元一次方程解应用题的一般步骤：审题（画图）→分析找等量关系→设未知数→用代数式表示相关量→列出方程→解方程→检验→作答。▲7.环形跑道问题：可视为封闭路线的相遇或追及。同向为追及，等量关系：快者路程慢者路程=跑道周长（追上一次）。反向为相遇，等量关系：两者路程和=跑道周长。▲8.航行问题：顺水（风）速度=静水（无风）速度+水（风）速；逆水（风）速度=静水（无风）速度水（风）速。常用等量关系：往返路程相等。▲9.方程检验的双重含义：一是检验解方程的过程是否正确（数学检验）；二是检验解是否符合实际问题的意义（实际检验），如时间、路程应为正数等。★10.数学建模思想：从现实生活具体问题中，抽象出数学结构（方程模型），通过求解模型来解决实际问题的过程。本课是数学建模的初步体验。★11.数形结合思想：通过绘制线段图，将抽象的行程问题直观化，借助图形发现数量关系（以形助数），是本课核心的思维方法。▲12.常见错误警示：(1)单位不统一（如速度是千米/时，时间是分钟）。(2)设元不当导致方程复杂（通常设时间为x更直接）。(3)忽略“同时”、“提前”等关键词导致时间关系错误。(4)列方程时，等号两边意义或量纲不一致。八、教学反思（一）目标达成度分析从当堂巩固训练的完成情况看，约85%的学生能独立正确完成基础层题目，并能规范画出线段图，表明知识目标与基础能力目标基本达成。在小组讨论和综合层题目解答中，约60%的学生能清晰地表述“寻找等量关系”的过程，并尝试用不同方法设元，显示出模型思想和分析能力得到有效发展。情感目标在活跃的小组合作与生活化情境中得以落实，学生参与度高。元认知目标通过课堂小结的自主梳理环节和错题辨析环节有所体现，但深度有待加强。（二）环节有效性评估导入环节的“校车问题”快速聚焦，成功激发了探究欲。“我们不只是解方程，更是‘翻译官’”的定位，为课堂奠定了高认知基调。新授环节的五个任务，层层递进，逻辑清晰。任务二（画图）与任务三（找等量关系）是本节课的“脊柱”，时间分配充足，学生活动充分。动态线段图课件的运用，特别是对追及问题“时间差”的演示，有效突破了难点。我内心独白是：“这个动画效果比纯粹口述‘小明先走了5分钟’要直观十倍。”巩固环节的分层设计照顾了差异，挑战题虽只有少数学生尝试，但激发了全班的思维火花。小结环节的学生自主归纳，比教师直接总结效果更好。（三）学生表现深度剖析在合作探究中，基础薄弱的学生在“画图”任务上表现积极，可视化工具降低了他们的入门门槛，他们更愿意指着图说：“这里，他俩的路程加起来应该是总长。”这是可喜的进步。中等层次学生在“寻找等量关系”时，常能发现“时间相等”，但在将文字关系转化为代数式时偶有迟疑。学有余力的学生则不满足于一种解法，在追及问题中，有学生问：“老师，如果设小明总共走了x分钟，方程是不是80x=180(x5