九年级数学（下）：二次函数建模与决策应用精讲

九年级数学（下）：二次函数建模与决策应用精讲  一、教学内容分析  从《义务教育数学课程标准（2022年版）》看，本讲内容处于“函数”主题下，是初中阶段函数学习的综合与深化应用。知识技能图谱上，它要求学生基于对二次函数概念、图象与性质（顶点、对称轴、增减性）的深刻理解，将其迁移至利润、面积、运动轨迹等多元现实情境中，完成从“识别解析式特征”到“自主建立函数模型”的认知跃迁，是连接函数理论与社会实践的关键节点。过程方法路径上，课标强调“模型观念”与“应用意识”。本课将通过“情境识别—变量提炼—模型建立—求解优化—解释决策”的完整探究链条，让学生亲历数学建模的全过程，将“数学抽象”与“数学运算”能力融入解决真问题的行动中。素养价值渗透在于，通过分析最值问题，引导学生感悟数学的优化思想，体会理性决策的力量；在小组协作解决跨学科情境（如物理抛物线、经济利润）问题时，培养其跨学科视野与科学态度。  立足“以学定教”，需进行立体化学情研判。学生的已有基础与障碍在于：已掌握二次函数的图象与基本性质，能进行配方求顶点坐标，但将文字叙述的实际问题抽象为函数模型是普遍难点，表现为无法准确确定自变量取值范围、忽略实际意义对解的约束。多数学生习惯于封闭式习题，面对开放性问题时策略性知识不足。过程评估设计将贯穿始终：导入环节的问题讨论用于探查前概念；任务探究中的小组展示与质疑用于评估建模思路的清晰度与合理性；分层巩固练习的完成情况则是检验知识迁移能力的试金石。教学调适策略上，对基础薄弱学生提供“变量关系梳理表”作为脚手架，对思路受阻者采用“追问链”引导其一步步拆解问题；为学有余力者设计“方案择优”或“参数变化探究”等挑战任务，满足其深度学习需求。  二、教学目标  知识目标：学生能够系统梳理利润最大化、面积最值、抛物线型运动三类典型问题的基本等量关系，准确建立二次函数模型；能结合具体情境，解释模型中自变量取值范围的实际意义，并依据函数性质求出符合实际的最优解或特定状态值，形成结构化的应用知识网络。  能力目标：学生经历从实际情境中抽象出数学问题、建立并求解二次函数模型、最后回归原问题进行合理解释与决策的完整过程。能够独立或协作完成对中等复杂度应用题的建模与求解，并清晰表述其思考路径，发展数学建模、数学运算和逻辑推理的核心能力。  情感态度与价值观目标：在解决“如何获得最大利润”、“怎样设计面积最大”等问题的过程中，体验数学的实用价值和优化思想，激发学习内驱力。在小组合作建模时，乐于分享想法、倾听同伴意见，形成严谨求实、合作共赢的科学态度。  科学（学科）思维目标：重点发展学生的模型建构思维与优化思想。通过设计“同一数据，不同模型”的对比任务（如总利润是二次函数，单件利润是反比例函数），引导其辨析不同数学模型的特征与适用条件，学会根据问题本质选择恰当的数学模型，提升思维的批判性与灵活性。  评价与元认知目标：引导学生依据“建模步骤完整性”、“解的实际意义检验”、“表述逻辑性”等量规，对同伴或自己的解题过程进行评价。在课堂小结阶段，鼓励学生反思“我最容易在建模的哪一步出错”、“解决这类问题的一般流程是什么”，提升对学习策略的监控与调节能力。  三、教学重点与难点  教学重点是引导学生掌握建立二次函数模型解决实际问题的基本思路与方法。其确立依据源于课标对“模型观念”这一核心素养的强调，以及学业水平考试中对应用题的考查常态。此类问题不仅综合考查学生对函数概念的深层理解，更是将数学知识转化为解决现实问题能力的关键枢纽，对培养学生“用数学的眼光观察世界”具有奠基性作用。  教学难点在于如何从复杂的文字情境中准确抽象出变量间的二次函数关系，并注意到自变量取值必须符合实际意义。预设依据来自学情分析：学生抽象概括能力尚在发展，容易遗漏隐含条件或混淆变量。常见错误如忘记“销量随涨价减少”的线性关系、求最值后未检验顶点横坐标是否在取值范围内。突破方向在于提供结构化的问题分析框架，并通过正反例对比强化审题意识。  四、教学准备清单  1.教师准备    1.1媒体与教具：交互式电子白板课件，内含动态几何软件（如GeoGebra）制作的拱桥、投篮轨迹动画，以及可拖拽参数的函数图象生成器。    1.2文本与材料：分层学习任务单（含基础梳理、核心探究、挑战进阶三部分）、小组合作讨论记录表、典型错题案例卡片。  2.学生准备    复习二次函数的图象与性质，完成前置任务：观察生活中可能的抛物线现象（如喷泉、拱门）并拍照或简单描述。  3.环境布置    课桌按46人异质小组摆放，便于合作探究。白板划分出“模型建构区”、“成果展示区”和“疑问收集区”。  五、教学过程  第一、导入环节    1.情境创设：“同学们，假设你是我们学校‘爱心义卖’活动的小掌柜，进了一批成本8元的文创书签。你发现，如果定价10元，能卖200个；定价每增加1元，销量就会减少10个。现在，你怎么定价才能让这次义卖的利润最大，为班级争取更多善款呢？”（利用贴近学生生活的真实情境，激发探究兴趣）。    1.1问题提出：“这个‘利润最大’的问题，和我们学过的什么数学知识能联系起来？你能不能用一个式子来表示出利润和定价之间的关系？”（自然引出核心驱动问题：如何建立函数模型求最值）。    1.2路径明晰：“看来大家觉得二次函数能帮上忙。今天，我们就化身‘数学建模师’，专门攻克这类用二次函数做最优决策的难题。我们会先一起破解‘利润之谜’，然后挑战‘设计花园’和‘篮球投篮’等问题，总结出一套通用的解题‘兵法’。”  第二、新授环节    任务一：解剖“利润之谜”，初建模型      教师活动：首先，引导学生将生活语言转化为数学语言。“大家别急，我们一步步来。先找找这里面有哪些量是变化的？”板书：定价（元）、销量（个）、利润（元）。接着追问：“利润和定价、销量有什么关系？利润=(定价成本)×销量，这个关系式是铁打不动的。”然后聚焦难点：“定价和销量之间又有什么‘神秘’联系？题目说‘定价每增加1元，销量减少10个’。如果我们设定价为x元，比10元增加了(x10)元，那么销量减少了多少？能列出销量关于x的表达式吗？”（提供从具体到抽象的思维脚手架）。最后引导学生合作，尝试写出总利润y关于x的函数关系式。      学生活动：在教师引导下，识别关键变量。回忆并确认利润的基本计算公式。思考定价与销量的联动关系，通过讨论，得出销量=20010(x10)。小组合作，尝试将销量表达式和定价x代入利润公式，推导并化简出函数关系式：y=(x8)[20010(x10)]=10x²+380x2400。      即时评价标准：1.能否准确识别成本、定价、销量、利润四个核心量。2.能否正确写出销量随定价变化的线性关系式。3.小组推导过程中，代数式化简是否准确无误。      形成知识、思维、方法清单：★利润问题核心等量关系：总利润=(售价进价)×销售量。▲销量与售价的关系：往往是“涨价减销，降价增销”的一次函数关系，这是建模的易错点，务必仔细审题。方法：建模第一步是“翻译”，把文字中的数量关系逐句转化为数学式子。    任务二：求解与解释，完成决策闭环      教师活动：“模型y=10x²+380x2400已经建立，怎么求最大利润？‘哦，配方求顶点！’对，请大家动手算一算。”巡视指导计算。待大部分学生完成后，抛出关键一问：“算出来的顶点横坐标x=19，意味着定价19元时利润最大。但是，定价能随便定吗？比如定100元，行不行？大家想想，销量20010(10010)等于多少？负的！这在实际中可能吗？”引导学生关注自变量x的实际意义。“所以，我们必须考虑x的取值范围！销量不能为负，所以20010(x10)≥0，解得x≤30。同时，售价要高于成本，x>8。因此x的取值范围是8<x≤30。我们求出的顶点x=19在这个范围内吗？在！所以结论有效。”      学生活动：通过配方或公式法求出二次函数顶点坐标（19,1210）。理解教师提出的质疑，讨论定价的实际约束条件。根据“销量非负”和“售价高于成本”列出不等式，确定x的取值范围。验证顶点横坐标19在取值范围内，从而确认定价19元时，最大利润为1210元是一个合理的、可实现的决策。      即时评价标准：1.求二次函数最值的方法（配方或公式）运用是否正确熟练。2.是否有意识地在得到数学解后，讨论其实际合理性与约束条件（定义域）。3.能否用完整清晰的语言解释“定价19元，最大利润1210元”这一结论的实际含义。      形成知识、思维、方法清单：★求解与检验：利用二次函数顶点坐标公式或配方求最值后，必须回归实际情境，检验自变量取值是否在允许范围内。若顶点不在范围内，则需根据函数单调性在边界处求最值。思维：培养数学结果的现实检验意识，这是数学建模区别于纯数学计算的关键。    任务三：变式“围栏花园”，迁移建模思想      教师活动：呈现新情境：“学校有一面长20米的墙，现用50米长的栅栏，靠墙围成一个矩形花园。怎么围，花园的面积最大？”提问：“这个问题里，变化的量是什么？矩形的长和宽，以及面积。不变的量是什么？栅栏总长50米。我们设其中一边（比如垂直于墙的宽）为x米，那么平行于墙的长怎么表示？（502x）米，对吗？大家动手写写面积S的函数关系。”引导学生辨析定义域：“这里x能取任意值吗？长（502x）必须大于0且不超过墙长20米，由此x的范围是多少？”（引导学生自主分析复杂约束）。      学生活动：分析新情境中的变量与不变量。设宽为x米，根据总长50米推导出长为(502x)米，进而建立面积模型S=x(502x)=2x²+50x。小组讨论x的取值范围：由长>0得x<25，由长≤20得502x≤20=>x≥15。所以x的取值范围是15≤x<25。在此范围内求函数最大值。      即时评价标准：1.能否独立设元，并利用“栅栏总长”这一不变量正确表示出另一变量。2.能否周全地考虑到“墙长”这一限制条件，从而准确求出自变量取值范围。3.建模过程是否清晰、有条理。      形成知识、思维、方法清单：★几何最值问题核心：通常涉及周长一定求面积最大，或面积一定求周长最小。关键步骤是用一个变量表示出所有相关几何量。易错点：实际问题中的隐含条件（如墙长、材料损耗）往往决定了自变量的取值范围，必须仔细挖掘。    任务四：探究“篮球轨迹”，跨学科融合      教师活动：播放篮球投篮动画。“篮球在空中划出的美丽弧线，我们可以近似看成什么？抛物线！如果已知篮球出手点坐标和篮筐中心坐标，以及最高点高度，我们能求出这条抛物线的解析式吗？”展示问题：“如图，篮球出手点A(0,2)，篮筐中心B(6,3.05)，最高点纵坐标为4米。求篮球运动轨迹的二次函数解析式，并判断此球能否投进。”引导学生思考：“已知顶点纵坐标，设哪种形式的解析式更方便？顶点式！顶点横坐标怎么求？在出手点和篮筐点水平距离的中点吗？不一定！我们需要利用A、B两点的坐标来列方程组。”      学生活动：观察动画，联系已学的抛物线知识。根据已知“最高点纵坐标为4”，小组讨论决定设顶点式y=a(xh)²+4。将A(0,2)和B(6,3.05)两点坐标代入，得到关于a和h的方程组。合作解方程组，求出a和h的值，得到完整解析式。计算当x=6时，函数值是否等于（或非常接近）3.05，以判断能否投进。      即时评价标准：1.能否根据问题特征（已知顶点纵坐标）灵活选用二次函数的顶点式。2.解二元方程组（含平方项）的运算能力。3.能否将数学解“翻译”回物理情境，做出合理判断。      形成知识、思维、方法清单：▲抛物线形问题：常涉及拱桥、投篮、喷泉等。方法：通常需建立合适坐标系，将关键点坐标化。根据已知点坐标，选用一般式、顶点式或交点式求解析式。思维：体会数学作为工具在物理等学科中的应用，建立坐标化思想。  第三、当堂巩固训练    训练体系采用三层设计，学生可根据自身情况至少完成前两层。    基础层（直接应用）：1.某商品进价40元，售价60元时每周卖100件。调查发现，售价每降2元，每周多卖20件。为周利润最大，应降价多少？最大利润多少？（点评：“这是对‘利润之谜’的直接迁移，注意‘降价增销’的关系哦。”）    综合层（复杂情境）：2.旅行社推一线路，若报价30人/团，单价1000元/人。每增加1人，单价降20元。但旅行社最多能接50人。为利润最大，每团多少人？此时单价？（点评：“这里多了‘最多接50人’的限制，定义域要算准。另外，利润=(单价)×人数，单价本身也是人数的函数，有点绕，理清链式关系。”）    挑战层（开放探究）：3.（用GeoGebra动态呈现）一农民想用篱笆围一矩形菜地，一边靠墙，篱笆总长固定。他犹豫：是围成正方形面积大，还是长宽比为2:1的长方形面积大？你能用二次函数模型证明你的猜想吗？改变篱笆总长，结论会变吗？（点评：“这是一个有趣的优化对比问题，模型建立后，结论可能会让你意想不到。”）    反馈机制：基础层题采用全班快速核对、教师点评关键步骤方式。综合层题请不同小组派代表上台板书并讲解，其他组质疑补充，教师聚焦共性问题精讲。挑战层题作为课后延伸思考，下一节课前请有思路的同学分享探究结果。  第四、课堂小结    引导学生进行结构化总结与元认知反思。“同学们，今天我们打了场漂亮的‘建模攻坚战’，现在来清点一下我们的‘战利品’。”鼓励学生用思维导图或流程图梳理解决二次函数应用问题的一般步骤：1.审题设元（识别变量、设自变量）；2.建立模型（找等量关系，列函数解析式）；3.确定范围（根据实际意义求自变量取值范围）；4.求解验证（利用性质求最值或特定值，检验解的合理性）；5.作答解释。“在今天的探究中，你觉得自己在哪个环节最有心得？哪个环节还容易‘卡壳’？”（引导学生进行元认知反思）。作业布置：必做（基础+综合）：教材对应章节练习题（第1，3，5题）。选做（探究）：1.自行设计一个生活中的二次函数最优化问题，并给出解答。2.探究挑战层第3题，撰写一份简短的探究报告。  六、作业设计    基础性作业（全体必做）：      1.某商场销售一种商品，进价20元。经调查发现，售价为30元时，日销量200件；售价每提高1元，日销量减少5件。求该商品日销售利润y与售价x的函数关系，并求售价为多少时，日利润最大，最大利润是多少？（要求：写出自变量取值范围）      2.用一段长30米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜地，墙长18米。当矩形的长和宽各为多少时，菜地面积最大？最大面积是多少？    拓展性作业（建议大多数学生完成）：      3.某公园要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个柱子OA，O恰在水面中心。柱子顶端A处装有喷头，向外喷出的水柱形状是抛物线。已知柱子OA高1.25米，水柱在与OA水平距离1米处达到最高，高度为2.25米。若不计其他因素，请建立平面直角坐标系，求水柱落地点B到柱子O的距离。（提示：以O为原点，OA所在直线为y轴建立坐标系）    探究性/创造性作业（学有余力学生选做）：      4.【项目小课题】“我为班级活动献策”：假设班级即将举行联欢会，需要采购饮料。超市A的优惠是“买一箱送一罐”，超市B是“全场九折”。已知饮料每箱原价相同，每箱内装有一定罐数。请通过调查、假设与建模，分析在什么情况下选择哪家超市更优惠。你的决策模型可以考虑哪些变量？（如：购买箱数、每箱罐数、单罐价格等）。请写出你的分析过程和结论建议。  七、本节知识清单及拓展    ★1.二次函数应用三大类基本模型：利润最大化模型（核心关系：总利润=(售价成本)×销量，注意销量与售价常呈一次函数关系）；几何面积最值模型（在周长一定条件下，通过设一边长，用其表示面积，建立二次函数）；抛物线轨迹模型（建立坐标系，将关键点坐标化，用待定系数法求解析式）。    ★2.数学建模一般步骤（六字诀）：“审、设、列、解、验、答”。审清题意，识别变量与常量；设出自变量和因变量；列出函数关系式（建模核心）；解出数学结果（如顶点坐标）；验证结果是否符合实际意义（尤其注意定义域）；作出符合题意的解答。    ★3.自变量取值范围的确定依据：这是将数学解“拉回”现实的关键。主要依据：①问题本身的物理/几何限制（如长度>0，人数为整数）；②关键量的非负性（如销量、成本非负）；③题目中的隐含条件（如“墙长不超过20米”、“最多接待50人”）。    ▲4.最值点不在定义域内的处理：若求出二次函数顶点的横坐标不在自变量实际取值范围内，则函数在定义域区间内具有单调性。此时，最值必出现在区间的端点处。需计算两端点的函数值并进行比较。    ▲5.设未知数的技巧：通常将所求最值的那个量（如利润、面积）设为因变量y。自变量x的选择要便于表示其他量，如利润问题常设售价或涨价量，面积问题常设垂直于墙的一边。    ★6.实际意义检验：求得最值后，需回答完整。例如：“当定价为19元时，可获得最大利润1210元”。不能只写“x=19，y=1210”。    ▲7.二次函数解析式形式的灵活选择：在抛物线问题中，已知顶点坐标用顶点式；已知抛物线与x轴交点用交点式；已知任意三点用一般式。选择得当可简化计算。    ▲8.跨学科联系（物理中的抛物线运动）：平抛运动、斜抛运动的轨迹（忽略空气阻力）均为抛物线。数学模型可帮助计算射程、最大高度等，是数学与物理融合的典型范例。  八、教学反思      本课教学基本达成了预设目标，大部分学生能跟随任务链条，完成从具体情境抽象出二次函数模型，并能求解与解释。教学目标达成度上，通过课堂观察与随堂练习反馈，“知识目标”与“能力目标”达成度较高，约80%的学生能独立解决基础层和综合层问题。但在“科学思维目标”上，部分学生对模型选择与优化的思辨深度不足，例如在任务四中，仍有学生机械地想用一般式而非更便捷的顶点式，反映了思维灵活性有待加强。      各教学环节有效性评估：导入环节的“义卖定价”情境效果显著，快速点燃了学生的探究热情，成功建立了学习心向。新授环节的四个任务层层递进，形成了有效的认知支架。其中，任务二中对自变量取值范围的追问是亮点，成功制造了认知冲突，强化了“数学解需经实际检验”这一关键观念。任务四的跨学科融合设计意图很好，但因涉及解稍复杂的方程组，耗时略长，导致部分计算能力较弱的学生在此处“掉队”。当堂巩固的分层设计满足了差异化需求，但课堂时间所限，对挑战层问题的讨论不够充分。      对不同层次学生的课堂表现剖析：基础薄弱学生在任务一的公式推导和任务二的配方计算中表现出依赖性强，需要教师或同伴的即时支持，但他们对于“售价涨、销量降”的生活逻辑理解直观，这是他们的优势起点。中等层次学生是课堂的主力军，能较好地完成建模和求解，但在自主分析复杂情境（如综合层作业题）的隐含条件时，仍会遗漏。学有余力者在完成基础任务后，对“为什么顶点式在这里更优”、“如果墙长变短，最优方案如何变化”等问题表现出自发探究的兴趣，课堂应为这部分学生预留更多展示和追问的空间。      教学策略的得失与理论归因：成功之处在于贯彻了“学生为主体”的探究理念，通过问题链驱动代替了例题讲解，学生知识建构的过程更为主动。差异化的任务单和小组合作机制，为不同层次学生提供了参与路径。不足之处在于，对“模型观念”素养的培养还可更深入。本课侧重于“如何建一个正确的模型”，但对“为什么用二次函数模型而不用其他”、“这个模型在什么条件下会失效”等批判性问题的触及较浅。从建构主义理论看，未能充分创设让学生暴露和辩论不同建模思路的冲突情境。      后续改进计划：1.在后续课时或习题课中，增设“模型诊断”环节，呈现一些不完整或有瑕疵的建模过程（如忘记定义域、变量关系设错），让学生扮演“医生”进行诊断和修正，深化对建模规范性的理解。2.设计简短的“迷你辩论”：如同一个利润问题，