四川省阆中中学05-06学年高二上学期期中学习质量检测数学试题

阆中中学校年秋高级期中学习质量检测数学试题（考试时间：分钟满分：分）注意事项：．答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上.．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效.85分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知直线l的方程为，则直线l的斜率为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】把直线方程化成斜截式方程进行求解即可.【详解】由，所以直线l的斜率为，故选：C2.已知为空间任意一点，的值为（）A.B.C.D.1【答案】C【解析】【分析】借助空间向量的线性运算及四点共面的充要条件即可判断选项.第1页/共16页又因为A，B，C，P满足任意三点不共线，但四点共面，所以，解得．故选：C．3.已知空间单位向量两两垂直，则（）A1B.C.3D.【答案】D【解析】【分析】根据空间向量数量积的运算性质，结合空间向量垂直的性质进行求解即可.【详解】因为空间单位向量两两垂直，所以，因此，故选：D4.棱长均为3的正三棱柱的各个顶点均在球O的表面上，则球O的表面积为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据题意，确定球心及外接球半径，然后利用球的表面积公式，求出球O的表面积．【详解】如图：设正三棱柱的上，下底面的中心分别为，，连接，设线段的中点为O，则O为其外接球的球心．第2页/共16页因为等边三角形ABC的边长为3，所以，所以球O的半径，故球O表面积．故选：B．5.从1、2、、9中任取两数，其中：①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；②至少有一个是奇数和两个数都是奇数；③至少有一个是奇数和两个数都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数．在上述事件中，是对立事件的是（）A.①；B.②④；C.③；D.①③．【答案】C【解析】123，9中任取两数，其中可能的情况即基本事件，进而依次分析四个事件，看其中包含的事件是否对立，即可得答案．【详解】根据题意，从1，2，3，，9中任取两数，其中可能的情况有“两个奇数”“两个偶数”“一个奇数与一个偶数”三种情况；依次分析所给的4个事件可得，①恰有一个偶数和恰有一个奇数都是“一个奇数与一个偶数”一种情况，不是对立事件；②至少有一个奇数包括“两个奇数”与“一个奇数与一个偶数”两种情况，与两个都是奇数不是对立事件；③至少有一个奇数包括“两个奇数”与“一个奇数与一个偶数”两种情况，和“两个都是偶数”是对立事件；④至少有一个奇数包括“两个奇数”与“一个奇数与一个偶数”两种情况，至少有一个偶数包括“两个偶数”与“一个奇数与一个偶数”两种情况，不对立事件.故选：C．6.设分别是中所对边的边长，则直线与的位置关系是（）A.平行B.重合C.垂直D.相交但不垂直【答案】C【解析】【分析】根据直线方程确定斜率，利用三角形边角关系及直线垂直的判定判断两直线的位置关系即可.第3页/共16页【详解】由题设，的斜率为，的斜率为，又，则，即两直线垂直.故选：C7.已知实数x，y满足，则的最小值为（）A.B.C.D.1【答案】D【解析】【分析】为直线上的点到原点距离的平方，利用点到直线的距离公式求解即可.【详解】为直线上的点到原点距离的平方，所以的最小值为原点到直线的距离的平方，又原点到直线的距离，所以的最小值为1．故选：D.8.“.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（）A.4B.5C.D.【答案】B【解析】【分析】求出点关于直线的对称点坐标，再由两点间距离公式计算可得结果.【详解】设关于直线的对称点，如下图所示：第4页/共16页此时即为最短路程，易知.所以最短总路程为.故选:C36分在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.在平行六面体中，，，M为的中点，则（）A.B.C.D.【答案】AD【解析】AAB量数量积运算求模，判断C，根据几何图形，判断D.【详解】对于A，，故A正确：对于B，B错误，第5页/共16页对于D，易得为正三角形，故，故D正确.故选：AD10.《黄帝内经》中十二时辰养生法认为：子时的睡眠对一天至关重要（子时是指23点到次日凌晨1点）.相关数据表明，入睡时间越晚，沉睡时间越少，睡眠指数也就越低.根据某次的抽样数据，对早睡群体和晚睡群体的睡眠指数统计如下图，则下列说法错误的是（）A.在睡眠指数的人群中，早睡人数多于晚睡人数B.早睡人群睡眠指数主要集中在C.早睡人群睡眠指数的极差比晚睡人群睡眠指数的极差小D.晚睡人群睡眠指数主要集中在【答案】BCD【解析】【分析】根据统计图表一一判断即可.【详解】由图知，通过比较折线图中中两条折线的高低可知，早睡人数多于晚睡人数，故选项A正确；早睡人群睡眠指数主要集中在BD错误；由图可看出，早睡人群睡眠指数的极差和晚睡人群睡眠指数的极差的大小无法确定，故选项C错误．故选：BCD.点在以为直径的球，的表面积是直线和所成角的大小为和平面所成角的大小为内切球半径为，下列说法中正确的是（）第6页/共16页C.D.【答案】ABD【解析】，A，垂直和面面垂直的判定可知BC系和异面直线所成角定义可知求得D正确；【详解】对于A，为球的直径，为球上一点，，又，，平面，平面，A正确；对于B，为球的直径，为球上一点，，由①知：平面，又平面，，，平面，平面，又平面，平面平面，B正确；对于D，取中点，连接，分别为中点，，，，分别为中点，，又平面，平面，平面，；因为球的表面积为，所以，解得，，；，，，又，，为等边三角形，，则；第7页/共16页又平面平面，平面平面，平面，平面，，，，，，，D正确.对于C，，，，，，四面体的表面积，四面体内切球半径，C错误；故选：ABD.D选项，根据平行关系和异面直线所成角定义可知和线面角定义可知，由长度关系可求得答案，本题考查了学生的空间想象能力、运算能力.三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共分）12.在空间直角坐标系中，点到轴的距离为______．【答案】【解析】【分析】将点到轴的距离转化为点到点的距离.【详解】点到轴的距离即为点到的距离，即为，故答案为：.第8页/共16页13.某校有教师为的样本.已知从女学生中抽取的人数为人，则的值为________．【答案】【解析】【分析】根据女学生的入样比与总体的入样比相等列等式可求出的值.【详解】由于女学生的入样比与总体的入样比相等，则，解得.故答案为：.【点睛】本题考查分层抽样的定义和方法，根据每层的入样比与总体的入样比相等列等式是解答的关键，考查运算求解能力，属于基础题.14.已知，，则过不同的两点的直线方程为_____________．【答案】【解析】【分析】根据方程解的性质，结合直线的方程进行求解即可.【详解】因为，，所以两点的坐标是方程的解，因此过点的直线方程为，故答案为：四、解答题本大题共5小题，共分解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.（1）已知，，求线段的垂直平分线所在直线的方程；（2）求证：不论m为何实数，直线都过某一定点，并求出定点坐标．【答案】（1）2）证明见解析，【解析】1）由垂直关系确定斜率，再结合中点坐标公式即可求解；第9页/共16页（2）法一，通过特殊值确定交点坐标，代入验证即可；法二：由求解即可.1）解：由题可得，则其垂直平分线的斜率为，线段的中点坐标为，即，则边上的垂直平分线所在直线的方程为，即．（2）证明：方法一：当，直线方程为；当时，直线方程为.两直线的交点为，将点P的坐标代入原方程，左边右边，故不论m取何实数，点总直线上，即直线恒过点方法二：原方程可化为.若对任意m都成立，则解得所以不论m为何实数，所给直线都过定点．16.（1）已知直线与直线平行，求实数m的值;（2）已知直线与直线垂直，求实数a的值.【答案】（1）或2）或.【解析】1）利用在一般式方程下，两直线平行的条件，列出方程，即可求解；（2）利用在一般式方程下，两直线垂直的条件，列出方程，即可求解.1）由题意，直线与直线平行，可得，解得或，当时，，，显然与不重合，此时，当时，，，显然与不重合，此时，所以或.第10页/共16页（2）由题意，直线与直线垂直可得，解得或，即当或时，直线.【点睛】本题主要考查了两直线的位置关系的条件及应用，其中解答中熟记两直线平行和垂直的条件是解答的关键，着重考查运算与求解能力.17.如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD为矩形，E，F分别为PA，CD的中点．（1）求证：平面PBF；（2）若，求直线PC与平面PBF所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】1）根据三角形中位线定理，结合平行四边形的判定定理和性质、线面平行的判定定理进行证明即可；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可.【小问1详解】证明：取PB的中点G，连接EG，GF，如图．因为E，G是PA，PB的中点，所以，且.因为，且，第11页/共16页所以，又平面PBF，平面PBF，所以平面PBF.【小问2详解】如图，以A为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，则．所以，，．设平面PBF的法向量为，则，则|，所以直线PC与平面PBF所成角的正弦值为.18.某校从参加环保知识竞赛的学生中抽出60，，后得到频率分布直方图（如下图所示）.第12页/共16页（1）求分数在内的频率；（2）求直方图意义下的中位数；（3）用分层抽样的方法在80分以上(含80分)的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任意选取2人，求其中恰有1人的分数不低于90分的概率.【答案】（1）（2）（3）【解析】1）由频率分布直方图面积和为1即可求解；（2）由中位数的计算公式即可求解；（3）通过列举法确定样本空间，再结合古典概率计算公式即可求解.【小问1详解】分数在内的频率为：.【小问2详解】设中位数为，则【小问3详解】由题意，分数段的人数为：分数段的人数为：因为用分层抽样的方法在80分以上（含80分）的学生中抽取一个容量为6的样本，所以分数段抽取5人，分别记为A，B，C，D，E；分数段抽取1人，记为M.因为从样本中任取2人，其中恰有1人的分数不低于90分，第13页/共16页则另一人的分数一定是在分数段，所以只需在分数段抽取的5人中确定1人.设“从样本中任取2人，其中恰有1人的分数不低于90分为”事件，则基本事件空间包含的基本事件有：，共15种.事件包含的基本事件有5种，所以恰有1人的分数不低于90分的概率为.19.在长方形中，，点是的中点，沿折起平面，使平面⊥平面．（1）求证：在四棱锥中，；（2）若在线段上存在点，使平面与平面的夹角的余弦值为，求的值；（3）在（2）的条件下，求点到平面的距离．【答案】（1）证明见解析（2）（3）【解析】1）通过勾股定理得到，再通过平面平面，得到，即可求证；（2）建系，由求得平面法向量，代入夹角公式即可求解；（3）由点到面的距离公式即可求解.【小问1详解】连接，因为是的中点，所以.第14页/共16页在直角三角形中，，同理又，所以，所以.因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，因为平面，所以.又，且，