初中数学勾股定理专题讲义与习题解析

初中数学勾股定理专题讲义与习题解析3.勾股定理的证明（经典方法选讲：赵爽弦图）勾股定理的证明方法多达数百种，我们来学习一种既经典又直观的证明方法——赵爽弦图，这是中国古代数学家赵爽为证明勾股定理所绘制的图形。证明思路：以直角三角形的斜边为边长作一个大正方形，然后在大正方形内部，以两条直角边为边长，分别向内侧作两个小正方形。整个图形由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成。通过计算大正方形的面积和内部各部分面积之和，可以推导出勾股定理。简要证明过程：设直角三角形的两条直角边分别为`a`和`b`，斜边为`c`。1.大正方形的边长为`c`，其面积为`c²`。2.四个全等的直角三角形，每个的面积为`(a×b)/2`，四个的总面积为`4×(a×b)/2=2ab`。3.中间小正方形的边长为`|b-a|`（假设`b>a`），其面积为`(b-a)²=b²-2ab+a²`。4.大正方形的面积等于四个直角三角形的面积加上中间小正方形的面积，即：`c²=2ab+(b²-2ab+a²)`化简后得到：`c²=a²+b²`从而证明了勾股定理。（*此处建议配合赵爽弦图的示意图进行理解，将四个直角三角形的位置和小正方形的形成清晰展示出来。*）4.勾股定理的基本应用勾股定理的核心应用在于：已知直角三角形的任意两条边的长度，可以求出第三条边的长度。应用场景及公式变形：1.已知两条直角边`a`和`b`，求斜边`c`：`c=√(a²+b²)`（根号下a平方加b平方）2.已知一条直角边`a`和斜边`c`，求另一条直角边`b`：`b=√(c²-a²)`（根号下c平方减a平方）3.已知一条直角边`b`和斜边`c`，求另一条直角边`a`：`a=√(c²-b²)`（根号下c平方减b平方）解题步骤提示：*明确所求的是直角边还是斜边。*确定已知的边，并代入相应的公式。*注意计算的准确性，特别是涉及到平方和开平方的运算。*结果如果是无理数，可以根据题目要求保留根号形式或取近似值。5.勾股定理的逆定理定理表述：如果一个三角形的三条边长`a`、`b`、`c`满足关系`a²+b²=c²`，那么这个三角形是直角三角形，且边长为`c`的边所对的角是直角。作用：勾股定理的逆定理是判断一个三角形是否为直角三角形的重要依据。使用方法：1.确定三角形三条边的长度，并找出其中最长的边，设为`c`。2.计算两条较短边的平方和，即`a²+b²`。3.计算最长边的平方，即`c²`。4.比较`a²+b²`与`c²`的大小：*若`a²+b²=c²`，则该三角形是直角三角形。*若`a²+b²>c²`，则该三角形是锐角三角形。*若`a²+b²<c²`，则该三角形是钝角三角形。（此为拓展，基础阶段重点掌握直角情况）6.勾股数能够构成直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数（或勾股弦数）。例如：(3,4,5)是一组最经典的勾股数，因为3²+4²=5²。常见的勾股数还有：(6,8,10)、(5,12,13)、(7,24,25)等。注意：勾股数的倍数也是勾股数。例如(3,4,5)的2倍(6,8,10)也是勾股数。二、习题解析例题1：基础应用——已知直角边求斜边题目：在直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，求斜边AB的长。分析：这是已知两条直角边求斜边的问题，直接应用勾股定理`c=√(a²+b²)`。解答：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，AB为斜边。根据勾股定理：AB²=AC²+BC²AB²=6²+8²=36+64=100所以AB=√100=10答：斜边AB的长为10。例题2：基础应用——已知直角边和斜边求另一直角边题目：一个直角三角形的斜边长为13，一条直角边长为5，求另一条直角边的长度。分析：这是已知一条直角边和斜边求另一条直角边的问题，应用公式`a=√(c²-b²)`（或`b=√(c²-a²)`）。解答：设另一条直角边的长度为x。根据勾股定理：5²+x²=13²即25+x²=169x²=169-25=144所以x=√144=12(边长为正数，舍去负值)答：另一条直角边的长度为12。例题3：勾股定理的逆定理应用题目：已知三角形的三边长分别为5，12，13，判断该三角形是否为直角三角形。分析：应用勾股定理的逆定理。首先找出最长边13，然后验证两条较短边的平方和是否等于最长边的平方。解答：三角形的三边长为5，12，13。其中最长边为13。计算5²+12²=25+144=169计算13²=169因为5²+12²=13²所以根据勾股定理的逆定理，该三角形是直角三角形，且边长为13的边所对的角是直角。答：该三角形是直角三角形。例题4：实际应用题题目：一架梯子靠在墙上，梯子的顶端距离地面的垂直高度为8米，梯子的底部距离墙根6米。求梯子的长度。分析：梯子、地面和墙构成一个直角三角形。梯子的长度是斜边，梯子顶端距离地面的高度和梯子底部距离墙根的距离是两条直角边。解答：设梯子长度为c米。根据题意，直角边a=6米（梯子底部距墙根距离），直角边b=8米（梯子顶端距地面高度）。根据勾股定理：c²=a²+b²=6²+8²=36+64=100所以c=√100=10答：梯子的长度为10米。例题5：综合应用题题目：如图，在长方形ABCD中，AB=3，BC=4。求对角线AC的长度。分析：长方形的四个角都是直角，所以对角线AC将长方形分成两个全等的直角三角形ABC和ADC。在Rt△ABC中，AB和BC是直角边，AC是斜边。解答：在长方形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4。在Rt△ABC中，根据勾股定理：AC²=AB²+BC²=3²+4²=9+16=25所以AC=√25=5答：对角线AC的长度为5。（*此处可配一个简单的长方形示意图，标出A、B、C、D四个顶点及AB、BC、AC的位置。*）练习题（供课后巩固）1.在Rt△ABC中，∠C=90°，a=9，b=12，求c。2.在Rt△ABC中，∠C=90°，c=25，b=7，求a。3.已知三角形三边长分别为7，24，25，此三角形是否为直角三角形？为什么？4.一个等腰直角三角形的直角边长为√2，求其斜边长。5.小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1米，当他把绳