2025年复变函数留数计算技巧试卷及答案

2025年复变函数留数计算技巧试卷及答案考试时长：120分钟满分：100分一、单选题（总共10题，每题2分，总分20分）1.若函数f(z)在z₀处有孤立奇点，且在z₀附近可以展开为Laurent级数f(z)=Σ(aₙzⁿ)，则当n→∞时，aₙ与f(z)在z₀处的留数ρ的关系为（）A.aₙ=ρB.aₙ→ρC.aₙ/|z₀|ⁿ=ρD.aₙ=ρ|z₀|ⁿ2.计算函数f(z)=(z²-1)/(z-1)在z=1处的留数，正确的结果是（）A.0B.1C.2D.不存在3.函数f(z)=1/(z²+1)在z=i处的留数等于（）A.-i/2B.i/2C.1D.-14.若函数f(z)在z₀处有m阶极点，则计算f(z)在z₀处的留数ρ的正确公式是（）A.ρ=lim(z→z₀)(dᵐ⁻¹/dzᵐ⁻¹)[(z-z₀)ᵐf(z)]B.ρ=lim(z→z₀)(dᵐ/dzᵐ)[(z-z₀)ᵐf(z)]C.ρ=lim(z→z₀)(dᵐ⁺¹/dzᵐ⁺¹)[(z-z₀)ᵐf(z)]D.ρ=lim(z→z₀)(dᵐ⁻²/dzᵐ⁻²)[(z-z₀)ᵐf(z)]5.函数f(z)=z/(z²-1)在z=-1处的留数等于（）A.-1/2B.1/2C.-1D.16.函数f(z)=sec(z)在z=π/2处的留数等于（）A.1B.-1C.iD.-i7.若函数f(z)在z₀处有本性奇点，则f(z)在z₀处的留数ρ等于（）A.0B.1C.不一定存在D.无法计算8.计算函数f(z)=sin(z)/(z-π)在z=π处的留数，正确的结果是（）A.0B.1C.-1D.π9.函数f(z)=(z²+1)ln(z)在z=0处的留数等于（）A.0B.1C.-1D.不存在10.若函数f(z)在z₀处有简单极点，则计算f(z)在z₀处的留数ρ的正确方法是（）A.直接取f(z)在z₀处的值B.取f(z)的导数在z₀处的值C.取f(z)的洛朗展开式中(z-z₀)⁻¹项的系数D.取f(z)的泰勒展开式中z⁻¹项的系数二、填空题（总共10题，每题2分，总分20分）1.函数f(z)=1/(z-2)在z=2处的留数ρ=________。2.函数f(z)=z/(z²+1)在z=i处的留数ρ=________。3.函数f(z)=(z²-1)/(z-1)在z=1处的留数ρ=________。4.函数f(z)=1/(z²-1)在z=1处的留数ρ=________。5.函数f(z)=z/(z²+1)在z=-i处的留数ρ=________。6.函数f(z)=sec(z)在z=π/2处的留数ρ=________。7.函数f(z)=sin(z)/(z-π)在z=π处的留数ρ=________。8.函数f(z)=(z²+1)ln(z)在z=0处的留数ρ=________。9.函数f(z)=1/(z-1)在z=1处的留数ρ=________。10.函数f(z)=z/(z-1)在z=1处的留数ρ=________。三、判断题（总共10题，每题2分，总分20分）1.函数f(z)在z₀处有孤立奇点，则f(z)在z₀处的留数ρ一定存在。（）2.函数f(z)在z₀处有本性奇点，则f(z)在z₀处的留数ρ一定为0。（）3.函数f(z)在z₀处有m阶极点，则f(z)在z₀处的留数ρ可以通过取f(z)的导数在z₀处的值得到。（）4.函数f(z)=1/(z²+1)在z=i处的留数ρ等于-1/2。（）5.函数f(z)=z/(z-1)在z=1处的留数ρ等于1。（）6.函数f(z)在z₀处有简单极点，则f(z)在z₀处的留数ρ可以通过取f(z)的洛朗展开式中(z-z₀)⁻¹项的系数得到。（）7.函数f(z)=sin(z)/(z-π)在z=π处的留数ρ等于1。（）8.函数f(z)=(z²+1)ln(z)在z=0处的留数ρ等于0。（）9.函数f(z)在z₀处有孤立奇点，则f(z)在z₀处的留数ρ可以通过取f(z)的泰勒展开式中z⁻¹项的系数得到。（）10.函数f(z)=1/(z-1)在z=1处的留数ρ等于1。（）四、简答题（总共3题，每题4分，总分12分）1.简述函数f(z)在z₀处有孤立奇点的分类及其留数计算方法。2.解释留数定理在计算积分中的应用，并给出一个具体例子。3.说明如何判断函数f(z)在z₀处是否有极点，并举例说明。五、应用题（总共2题，每题9分，总分18分）1.计算积分∮ₜₐₛₜₐₓ|z|²dz，其中积分路径为|z|=1的逆时针方向，t为实数且t≠0。2.计算积分∮ₜₐₛₜₐₓeᶻ/(z²+1)dz，其中积分路径为|z|=2的逆时针方向。【标准答案及解析】一、单选题1.B解析：根据留数的定义，f(z)在z₀处的留数ρ等于其洛朗展开式中(z-z₀)⁻¹项的系数。当n→∞时，若f(z)在z₀附近可以展开为Laurent级数f(z)=Σ(aₙzⁿ)，则aₙ与f(z)在z₀处的留数ρ的关系为aₙ→ρ。2.B解析：函数f(z)=(z²-1)/(z-1)在z=1处可以化简为f(z)=z+1，因此f(z)在z=1处的留数ρ=1。3.A解析：函数f(z)=1/(z²+1)在z=i处的留数ρ=lim(z→i)(z-i)·1/(z²+1)=lim(z→i)(z-i)/(z-i)(z+i)=lim(z→i)1/(z+i)=-i/2。4.B解析：若函数f(z)在z₀处有m阶极点，则f(z)在z₀处的留数ρ可以通过公式ρ=lim(z→z₀)(dᵐ/dzᵐ)[(z-z₀)ᵐf(z)]计算。5.B解析：函数f(z)=z/(z²-1)在z=-1处的留数ρ=lim(z→-1)(z+1)·z/(z²-1)=lim(z→-1)z/(z-1)=-1/2。6.A解析：函数f(z)=sec(z)=1/cos(z)在z=π/2处的留数ρ=lim(z→π/2)(z-π/2)·sec(z)=lim(z→π/2)(z-π/2)/cos(z)=1。7.C解析：函数f(z)在z₀处有本性奇点时，其洛朗展开式中(z-z₀)⁻¹项的系数可能存在也可能不存在，因此f(z)在z₀处的留数ρ不一定存在。8.C解析：函数f(z)=sin(z)/(z-π)在z=π处的留数ρ=lim(z→π)(z-π)·sin(z)/(z-π)=sin(π)=-1。9.A解析：函数f(z)=(z²+1)ln(z)在z=0处的留数ρ=0，因为ln(z)在z=0处没有洛朗展开式中(z-0)⁻¹项的系数。10.C解析：若函数f(z)在z₀处有简单极点，则f(z)在z₀处的留数ρ可以通过取f(z)的洛朗展开式中(z-z₀)⁻¹项的系数得到。二、填空题1.12.1/23.24.1/25.-1/26.17.-18.09.110.1三、判断题1.×解析：函数f(z)在z₀处有孤立奇点时，其留数ρ不一定存在，例如当f(z)在z₀处的洛朗展开式中没有(z-z₀)⁻¹项的系数时。2.×解析：函数f(z)在z₀处有本性奇点时，其留数ρ不一定为0，例如f(z)=eᶻ在z=∞处的留数ρ=1。3.×解析：函数f(z)在z₀处有m阶极点时，其留数ρ不能通过取f(z)的导数在z₀处的值得到，而应该通过公式ρ=lim(z→z₀)(dᵐ⁻¹/dzᵐ⁻¹)[(z-z₀)ᵐf(z)]计算。4.√解析：函数f(z)=1/(z²+1)在z=i处的留数ρ=lim(z→i)(z-i)·1/(z²+1)=lim(z→i)1/(z+i)=-1/2。5.√解析：函数f(z)=z/(z-1)在z=1处的留数ρ=lim(z→1)(z-1)·z/(z-1)=1。6.√解析：函数f(z)在z₀处有简单极点时，其留数ρ可以通过取f(z)的洛朗展开式中(z-z₀)⁻¹项的系数得到。7.√解析：函数f(z)=sin(z)/(z-π)在z=π处的留数ρ=lim(z→π)(z-π)·sin(z)/(z-π)=sin(π)=-1。8.√解析：函数f(z)=(z²+1)ln(z)在z=0处的留数ρ=0，因为ln(z)在z=0处没有洛朗展开式中(z-0)⁻¹项的系数。9.×解析：函数f(z)在z₀处有孤立奇点时，其留数ρ不能通过取f(z)的泰勒展开式中z⁻¹项的系数得到，而应该通过取f(z)的洛朗展开式中(z-z₀)⁻¹项的系数得到。10.√解析：函数f(z)=1/(z-1)在z=1处的留数ρ=lim(z→1)(z-1)·1/(z-1)=1。四、简答题1.函数f(z)在z₀处有孤立奇点的分类及其留数计算方法：-可去奇点：若f(z)在z₀附近可以展开为洛朗级数，且(z-z₀)⁻¹项的系数为0，则z₀为可去奇点。留数ρ=0。-简单极点：若f(z)在z₀附近可以展开为洛朗级数，且(z-z₀)⁻¹项的系数不为0，则z₀为简单极点。留数ρ=lim(z→z₀)(z-z₀)f(z)。-m阶极点：若f(z)在z₀附近可以展开为洛朗级数，且(z-z₀)⁻¹项的系数为a₋¹，则z₀为m阶极点。留数ρ=lim(z→z₀)(dᵐ⁻¹/dzᵐ⁻¹)[(z-z₀)ᵐf(z)]。-本性奇点：若f(z)在z₀附近无法展开为有限项的洛朗级数，则z₀为本性奇点。留数ρ的计算较为复杂，需要具体分析。2.留数定理在计算积分中的应用：留数定理可以用于计算沿封闭曲线的积分。具体应用如下：设f(z)在区域D内解析，除有限个孤立奇点z₁,z₂,...,zₙ外处处解析，且积分路径C为D内的一条封闭曲线，则∮ₐₛₜₐₓf(z)dz=2πiΣ(ρᵢ)，其中ρᵢ为f(z)在zᵢ处的留数。例如，计算积分∮ₜₐₛₜₐₓ1/(z²+1)dz，其中积分路径为|z|=2的逆时针方向。函数f(z)=1/(z²+1)在z=i和z=-i处有简单极点，留数ρ₁=-i/2，ρ₂=i/2。根据留数定理，∮ₜₐₛₜₐₓ1/(z²+1)dz=2πi(ρ₁+ρ₂)=2πi(-i/2+i/2)=2πi0=0。3.判断函数f(z)在z₀处是否有极点的方法：-若f(z)在z₀附近可以展开为洛朗级数，且(z-z₀)⁻¹项的系数不为0，则z₀为简单极点。-若f(z)在z₀附近可以展开为洛朗级数，且(z-z₀)⁻¹项的系数为a₋¹，且存在k使得dᵏ/dzᵏ[(z-z₀)ᵏf(z)]在z₀处解析且不为0，则z₀为k阶极点。例如，函数f(z)=1/(z-1)²在z=1处有2阶极点，因为f(z)在z=1附近可以展开为洛朗级数1/(z-1)²，且(z-1)⁻¹项的系数为1，且d¹/dz¹[(z-1)²·1/(z-1)²]=1在z=1处解析且不为0。五、应用题1.计算积分∮ₜₐₛₜ