2025年高考数学圆锥曲线与方程试题考试及答案

2025年高考数学圆锥曲线与方程试题考试及答案考试时长：120分钟满分：100分班级：__________姓名：__________学号：__________得分：__________一、单选题（总共10题，每题2分，总分20分）1.已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，其右焦点到右准线的距离为4，则椭圆C的方程为（）A.$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$B.$\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1$C.$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{16}=1$D.$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{8}=1$2.抛物线$y^2=2px(p>0)$的焦点到准线的距离为3，则抛物线上一点P到焦点的距离为5时，点P的横坐标为（）A.4B.3C.2D.13.双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$的离心率为2，其渐近线方程为（）A.$y=\pm\frac{b}{a}x$B.$y=\pm\frac{a}{b}x$C.$y=\pm\sqrt{3}x$D.$y=\pm\frac{\sqrt{3}}{3}x$4.已知点A(1,2)在椭圆$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$上，点B在抛物线$y^2=8x$上，则线段AB中点到原点的距离的最小值为（）A.1B.$\sqrt{2}$C.2D.$\sqrt{3}$5.已知F为双曲线$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$的左焦点，点P在双曲线上，且$\angleF_1PF_2=90^\circ$（F₁、F₂为双曲线的左、右焦点），则$\triangleF_1PF_2$的面积为（）A.12B.16C.20D.246.已知直线$y=kx+1$与椭圆$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$相交于A、B两点，且AB的中点为(1,0)，则k的值为（）A.1B.-1C.$\frac{3}{2}$D.$-\frac{3}{2}$7.已知点P在椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$上，且其离心角为$\theta$，则点P到椭圆短轴端点的距离为（）A.$a\cos\theta$B.$b\sin\theta$C.$a\sin\theta$D.$b\cos\theta$8.已知抛物线$y^2=4x$的焦点为F，点A在抛物线上，且AF的倾斜角为$45^\circ$，则点A的坐标为（）A.(1,2)B.(2,1)C.(1,-2)D.(4,4)9.已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$的离心率为$\sqrt{2}$，其右焦点到渐近线的距离为$\sqrt{2}$，则双曲线的方程为（）A.$\frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{2}=1$B.$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{4}=1$C.$\frac{x^2}{1}-\frac{y^2}{1}=1$D.$\frac{x^2}{8}-\frac{y^2}{8}=1$10.已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的短轴长为4，离心率为$\frac{1}{2}$，则其焦点到准线的距离为（）A.1B.2C.3D.4二、填空题（总共10题，每题2分，总分20分）1.椭圆$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$的焦点坐标为_________。2.抛物线$y^2=12x$的焦点坐标为_________，准线方程为_________。3.双曲线$\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$的离心率为_________。4.椭圆$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$的短轴长为_________。5.抛物线$y^2=-8x$的焦点坐标为_________，准线方程为_________。6.双曲线$\frac{y^2}{4}-\frac{x^2}{9}=1$的焦点坐标为_________。7.椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，则其渐近线方程为_________。8.抛物线$y^2=10x$上一点P到焦点的距离为5，则点P的横坐标为_________。9.双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$的离心率为2，其渐近线方程为_________。10.椭圆$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$上一点P的横坐标为1，则点P到椭圆长轴端点的距离为_________。三、判断题（总共10题，每题2分，总分20分）1.椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的焦点到准线的距离为$\frac{a^2}{c}$。（）2.抛物线$y^2=2px(p>0)$的焦点到准线的距离为p。（）3.双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$的离心率恒大于1。（）4.椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的短轴端点到焦点的距离为$\sqrt{a^2-b^2}$。（）5.抛物线$y^2=4x$的焦点到准线的距离为2。（）6.双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$的渐近线方程为$y=\pm\frac{b}{a}x$。（）7.椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的离心率为$\frac{c}{a}$，其中c为焦点到原点的距离。（）8.抛物线$y^2=2px(p>0)$上一点P到焦点的距离等于其到准线的距离。（）9.双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$的离心率为$\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}$。（）10.椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的焦点到长轴端点的距离为$\sqrt{a^2-b^2}$。（）四、简答题（总共3题，每题4分，总分12分）1.求椭圆$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$的焦点坐标、离心率、准线方程。2.求抛物线$y^2=8x$的焦点坐标、准线方程，并求其上一点P到焦点的距离为4时，点P的坐标。3.求双曲线$\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$的焦点坐标、离心率、渐近线方程。五、应用题（总共2题，每题9分，总分18分）1.已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，其短轴长为4，求椭圆的方程。2.已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$的离心率为2，其右焦点到渐近线的距离为$\sqrt{3}$，求双曲线的方程。【标准答案及解析】一、单选题1.A解析：椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$，右焦点到右准线的距离为$\frac{a^2}{c}-c=4$，代入e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，解得a=4，b=2，故方程为$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$。2.A解析：抛物线$y^2=2px$的焦点到准线的距离为p，焦点为($\frac{p}{2}$,0)，点P到焦点的距离为5，则$\sqrt{(x-\frac{p}{2})^2+y^2}=5$，代入$y^2=2px$，解得x=4。3.C解析：双曲线的离心率e=$\frac{c}{a}$=2，渐近线方程为$y=\pm\frac{b}{a}x$，且$\frac{b}{a}=\sqrt{e^2-1}=\sqrt{3}$，故渐近线方程为$y=\pm\sqrt{3}x$。4.B解析：椭圆上点A(1,2)到原点的距离为$\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，抛物线$y^2=8x$上点B的横坐标为t，则B(t,±2$\sqrt{2t}$)，AB中点为($\frac{t+1}{2}$,±$\sqrt{2t}$)，到原点的距离为$\sqrt{(\frac{t+1}{2})^2+2t}=\sqrt{\frac{t^2+6t+1}{4}}$，最小值为$\sqrt{2}$（当t=-3时）。5.A解析：双曲线$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+\frac{16}{9}}=\frac{5}{3}$，左焦点F₁(-5,0)，右焦点F₂(5,0)，$\angleF_1PF_2=90^\circ$，则$\triangleF_1PF_2$面积为$\frac{1}{2}×2c×b=\frac{1}{2}×10×4=20$，但实际计算需用双曲线定义，面积应为12。6.D解析：直线$y=kx+1$与椭圆$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$相交于A、B，联立方程得$(3+4k^2)x^2+8kx-8=0$，中点(1,0)的横坐标为x₁+x₂=-$\frac{8k}{3+4k^2}$=1，解得k=-$\frac{3}{2}$。7.B解析：椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$的离心角为$\theta$，点P坐标为(a$\cos\theta$,b$\sin\theta$)，到短轴端点(0,b)的距离为$\sqrt{(a\cos\theta)^2+(b\sin\theta-b)^2}=b\sin\theta$。8.A解析：抛物线$y^2=4x$的焦点为(1,0)，点A到焦点的距离为5，则A(4,±4)。9.A解析：双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$的离心率e=2，渐近线方程为$y=\pm\frac{b}{a}x$，右焦点到渐近线的距离为$\frac{ab}{c}=\sqrt{2}$，代入e=$\frac{c}{a}$，解得a²=2，b²=2，方程为$\frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{2}=1$。10.C解析：椭圆$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$的短轴长为4，b=2，离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，焦点到准线的距离为$\frac{a^2}{c}-c=\frac{9}{\sqrt{5}}-\sqrt{5}=3$。二、填空题1.(-$\sqrt{5}$,0),($\sqrt{5}$,0)2.(3,0),x=-33.$\sqrt{25/16+9/16}=5/4$4.85.(-2,0),x=26.(0,±5)7.y=±$\frac{b}{a}\sqrt{a^2-b^2}x$8.49.y=±$\frac{b}{a}x$10.2三、判断题1.×解析：椭圆焦点到准线的距离为$\frac{a^2}{c}-c=\frac{b^2}{c}$。2.√3.√4.√5.√6.√7.√8.√9.√10.×解析：焦点到长轴端点的距离为$\sqrt{a^2-b^2}$（当焦点在长轴上时）。四、简答题1.解：a=3，b=2，c=$\sqrt{9-4}=\sqrt{5}$，焦点：(-$\sqrt{5}$,0),($\sqrt{5}$,0)，离心率：e=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，准线：x=±$\frac{9}{\sqrt{5}}$。2.解：焦点(2,0)，准线x=-2，点P到焦点距离为4，则x=4，y=±8，坐标：(4,8),(4,-8)。3.解：a=4，b=3，c=$\sqrt{16+9}=5$，焦点：(±5,0)，离心率：e=