《构建“倍”模型：从具体操作到抽象关系的概念建构》三年级上册数学教学设计

《构建“倍”模型：从具体操作到抽象关系的概念建构》三年级上册数学教学设计一、教学内容分析

本节课隶属于“数的运算”范畴，是学生从加减运算的“合并”“比较”思维，迈向乘除运算的“比率”“倍比”思维的关键转折点。根据《义务教育数学课程标准（2022年版）》要求，在小学第一学段，学生需“在具体情境中，理解乘法和除法的意义，……理解倍的意义”。“倍”的概念本质是刻画两个数量之间的一种比较关系，是乘法意义从“相同加数的和”到“数量间的比率关系”的拓展，是未来学习分数、比、比例乃至函数关系的代数思维早期萌芽。其知识技能图谱清晰：学生需经历“感知具体数量—抽象‘份’的概念—建构‘倍’的模型—应用模型解决问题”的认知链。过程方法上，本节课是渗透数学建模思想的绝佳载体，引导学生从具体情境中“剥离”非本质属性，抽象出“把其中一种数量看作一份标准，另一种数量包含了几个这样的标准”，从而建立起“几倍”的数学模型。素养价值渗透方面，理解“倍”有助于深化学生的数感，发展初步的符号意识和几何直观（如线段图雏形），同时在比较与归纳中培养推理意识与模型思想。

学情研判是教学的起点。三年级学生已熟练掌握表内乘除法，具备“几个几”的认知基础，这是学习“倍”的正迁移。然而，其思维正从具体形象向抽象逻辑过渡，认知障碍可能集中于两点：一是难以将“倍”理解为一种“关系”而非具体“数量”，易与“多几个”混淆；二是在确定“标准量”（一份）时易发生游移。因此，教学对策需强化“对比”与“操作”。课堂中将通过“看一看、摆一摆、圈一圈、说一说”等多元活动，让概念可视化。同时，设计“谁是1份？”“它有这样的几份？”等核心问题链，辅以及时的随堂练习与展示点评，动态评估学生的理解层次。针对不同思维速度的学生，提供从实物操作（圆片）到图形表征（圈画）再到抽象表达（算式）的多样化“脚手架”，允许其在各自的最远发展区内建构概念。二、教学目标阐述

知识目标：学生能结合具体情境，通过操作与比较，理解“倍”的含义，即一个数里包含几个另一个数；能正确表述两个数量之间的倍数关系（如“6是2的3倍”），并初步运用“倍”的知识解决简单的实际问题，实现从加减关系到乘除关系的认知迁移。

能力目标：学生经历“倍”的概念形成过程，发展初步的几何直观与模型建构能力。具体表现为：能借助实物图或简易图形，通过“圈一圈”“分一分”的方式清晰表征倍数关系；能够从具体情境中抽象出“标准量”与“比较量”，并进行合情推理与数学表达。

情感态度与价值观目标：在小组合作探究与交流中，学生能乐于分享自己的操作方法和思考过程，认真倾听同伴见解，体验从具体事物中发现数学关系的乐趣，感受数学模型的简洁与力量。

学科思维目标：重点发展学生的模型思想与比较思维。通过将“几个几”的乘法结构迁移至“倍”的关系描述，引导学生从“加法结构”思维跃迁至“乘法结构”思维，初步建立“求一个数是另一个数的几倍”即是“求一个数里包含几个另一个数”的除法模型。

评价与元认知目标：引导学生学会使用“先找1份，再看有几份”的策略来分析和检验倍数关系问题。鼓励学生在练习后反思：“我是怎么找到‘倍’的？”“我的圈画或表述清楚吗？”，逐步培养自我监控与策略优化的意识。三、教学重点与难点

教学重点：建立“倍”的概念模型，理解“倍”是两个数量之间比较产生的关系。其确立依据源于课标对本学段核心概念的要求及后续学习的奠基性作用。“倍”是沟通乘除法意义的桥梁，是解决“求一个数的几倍是多少”和“求一个数是另一个数的几倍”两类问题的逻辑起点，在学业评价中亦是考查学生是否真正理解乘除法意义的重要维度。

教学难点：理解“倍”作为一种“关系”的抽象性，并能在变化的情境中准确确定“标准量”（一份）。预设难点成因在于学生习惯于比较数量的绝对差值（“多多少”），而“倍”比较的是相对比率（“是几倍”），思维层次更高。常见错误表现为：比较时基准摇摆，或将“倍”与“份”混淆为具体数量。突破方向在于强化“标准先行”，通过大量的变式与反例对比，固化“先确定一份是谁”的思维程序。四、教学准备清单1.教师准备1.1媒体与教具：交互式课件（含主题图、动态圈画功能）、磁性圆片或卡片、板书设计（预留概念生成区与范例区）。1.2学习材料：分层学习任务单（含基础操作区、巩固练习区、挑战思考区）、每生一份实物操作学具（如6个红色圆片和2个蓝色圆片）。2.学生准备2.1预习与物品：复习乘法的意义（特别是“几个几”）；准备好数学书、练习本和彩笔。3.环境布置3.1座位与板书记划：四人小组合作式座位，便于讨论与操作；板书分区明确，左侧用于呈现学生生成的关键操作与表述，右侧用于提炼核心概念与模型。五、教学过程第一、导入环节1.情境激趣，唤醒旧知：1.1游戏互动：“同学们，我们先来玩一个拍手游戏。老师拍2下，请你拍出3个2下，准备好了吗？”（师生互动）。“刚才我们说的‘3个2下’，在数学里可以用什么算式表示？”（3×2或2×3）。1.2出示主题图：（课件呈现：胡萝卜2根，白萝卜6根，红萝卜10根）。“兔妈妈菜园里的萝卜丰收了！仔细观察，你能比较一下这些萝卜的数量吗？比一比，谁和谁比，谁多谁少？”引导学生用“（）比（）多（）根”表述。2.制造冲突，引出新知：“大家用‘多多少’比较得很清楚。但数学比较还有一种更‘厉害’的方法。比如，如果我们不关心白萝卜比胡萝卜多几根，而是关心白萝卜的‘根数’与胡萝卜的‘根数’之间还有一种特殊关系，你们能发现吗？”（停顿，引发思考）。有同学可能想到“6里面有3个2”。3.揭示课题，明确路径：“对了！像这样，把2根胡萝卜看成一份，白萝卜有3个这样的一份，我们就说‘白萝卜的根数是胡萝卜的3倍’。今天，我们就一起来认识这个表示关系的新朋友——‘倍’。（板书课题）。这节课，咱们就通过分一分、圈一圈、说一说，把‘倍’请进我们心里。”第二、新授环节任务一：分物操作，初步感知“份”教师活动：首先，教师引导学生聚焦胡萝卜和白萝卜。“要找到‘倍’，先要确定‘标准’。我们就把数量少的胡萝卜定为‘标准’。”教师示范将2根胡萝卜磁贴挪在一起，“看，我们把2根胡萝卜看作1份。”（用粉笔虚线框标注）。接着提问：“那白萝卜有几个这样的1份呢？请同学们用手中的圆片，蓝片代表胡萝卜（2个），红片代表白萝卜（6个），也像老师这样，先摆出蓝片作为1份，再看看红片能分出这样的几份？”巡视指导，关注学生是否进行“每2个一份”的分组操作。学生活动：学生动手操作，将6个红片，每2个为一组进行分堆。同桌间互相检查：“我分成了3份，每份都是2个。”通过触觉与视觉，初步体验“份”的构成。即时评价标准：1.操作是否规范：能否先明确“1份”是几个，再进行分组。2.表达是否清晰：能否说出“把（）个看成一份，分成了（）份”。形成知识、思维、方法清单：★确定标准量（1份）是研究“倍”的前提。教师需强调：“找倍数关系，首先要问自己，把谁的数量看作1份？”▲“几个几”是理解“倍”的认知基础。操作将抽象的“份”具体化，为“倍”的抽象搭建台阶。任务二：圈画表征，连接“份”与“倍”教师活动：“刚才我们用圆片分了分，现在能不能在图上圈一圈呢？”课件还原萝卜图。“请同学们在学习单上，像老师这样，先把胡萝卜2根一圈，标明‘1份’。然后，看看白萝卜，你能圈出几个这样的‘1份’？”请一名学生上台展示圈法。教师追问全班：“他圈对了吗？为什么每2根白萝卜圈在一起？”“因为他是在找跟1份（2根）同样多的一份。”教师及时强化：“说得真好！圈画就是让我们一眼看出‘有几个1份’。”学生活动：学生在学习单上独立圈画。观察并理解同学的圈画过程。尝试用语言描述：“把2根胡萝卜圈成1份，白萝卜我圈了3份，每份都是2根。”即时评价标准：1.圈画是否准确：每份的数量是否与标准量一致。2.能否将操作与圈画建立联系：明白圈画是分物操作的图形化记录。形成知识、思维、方法清单：★“圈一圈”是将“份”可视化的关键方法。它沟通了具体操作与抽象思维。▲几何直观的初步运用。通过图形表征，将数量关系形象化，降低思维难度。任务三：语言表述，定义“倍”的概念教师活动：当学生清晰圈画出3份后，教师指向板书的关键处：“现在，奥秘要揭晓了！有1份胡萝卜（标准），白萝卜有这样的3份。在数学上，我们就说‘白萝卜的根数是胡萝卜的3倍’。”完整板书这句话。然后变换句式提问：“谁能反过来，用‘胡萝卜’开头说一说这个关系？”引导学生说出“胡萝卜的根数是1份，白萝卜有3份，所以白萝卜根数是胡萝卜的3倍”。再开展小组“开火车”说活动。学生活动：跟读规范的倍数关系表述。尝试变换主体进行表述。在小组内，一位同学指图，其他同学轮流说倍数关系，相互纠正。即时评价标准：1.表述是否完整：是否包含“（谁）是（谁）的（几）倍”三要素。2.表述逻辑是否清晰：能否联系“几份”来说明“几倍”。形成知识、思维、方法清单：★“倍”是表示两个数量之间比较关系的数学概念。核心表述为“一个数是另一个数的几倍”。▲规范的教学语言是概念内化的催化剂。多次复述能帮助学生形成思维定势，但需结合理解而非机械背诵。任务四：变化标准，深化模型理解教师活动：教师指向红萝卜（10根）：“现在，如果我们将白萝卜（6根）看作新的‘1份’（用虚线框圈出6根），红萝卜的根数与白萝卜又有怎样的倍数关系呢？请大家先圈一圈，再和同桌说一说。”巡视中，故意设置认知冲突：“咦，我发现有同学这样圈：把白萝卜6根当1份，去圈红萝卜，一份圈了6根，还剩4根，不够一份了，这怎么办？‘倍’一定得是整份整份的吗？”学生活动：学生尝试以6根为一份去圈画10根红萝卜，发现无法得到整数份。产生认知冲突并思考。通过讨论明确：在我们目前学习的“倍”里，比较量最好是标准量的整数倍，这样才能正好分完。进而得出：红萝卜的根数不是白萝卜的整数倍。即时评价标准：1.能否灵活转换“标准量”。2.能否理解“整数倍”的现阶段限制，并形成初步的“非整数倍”感性认识。形成知识、思维、方法清单：★“标准量”变化，倍数关系也随之变化。“倍”的关系不是绝对的，取决于以谁为标准。▲现阶段主要研究“整数倍”。为后续学习分数、小数倍埋下伏笔，同时明确当前讨论范围。任务五：逆向思考，巩固概念结构教师活动：教师擦去部分板书，只留下“白萝卜的根数是胡萝卜的3倍”这句话和胡萝卜2根的图。“如果我只告诉你这个倍数关系和胡萝卜的根数，你能‘变’出白萝卜该有多少根吗？请大家用小圆片摆一摆或者画一画。”请不同方法的学生展示：有的是摆出3个2，有的是画3组，每组2根。教师总结：“看，知道1份是2，求3份是多少，就是求（）个（）是多少？用什么法计算？”（3个2，2×3=6）。学生活动：根据倍数关系和已知的标准量，通过摆学具或画图，推导出比较量的数量。理解“求一个数的几倍是多少”就是“求几个几是多少”，用乘法计算。即时评价标准：1.能否根据“倍”的意义反向构造出比较量。2.能否将操作与乘法算式建立联系。形成知识、思维、方法清单：★“求一个数的几倍是多少”用乘法计算。这是“倍”的乘法模型应用。▲双向建构概念。既能从具体数量中抽象出倍数关系，也能从倍数关系反推具体数量，形成可逆思维。任务六：对比辨析，凸显关系本质教师活动：呈现两组对比题：①黄球4个，蓝球8个，蓝球个数是黄球的几倍？②黄球4个，蓝球9个，蓝球个数是黄球的几倍？（无法得到整数倍）。引导学生讨论：“‘倍’和之前学的‘多多少’一样吗？它们有什么根本不同？”教师总结：“‘多多少’求的是数量相差多少，用减法；‘是几倍’求的是数量之间的比率关系，看一个数里包含了几个另一个数。”学生活动：独立尝试解决对比题。小组讨论“倍”与“差”的本质区别。尝试用自己的话总结：“‘多几个’是比多少，‘是几倍’是比份数。”即时评价标准：1.能否正确区分“求差”和“求倍数”两类问题。2.能否从本质上说出“倍”是一种“比率关系”而非“相差数量”。形成知识、思维、方法清单：★“倍”与“差”是两种不同的比较模型。“倍”比较份数关系（比率），“差”比较具体数量（差值）。▲变式与对比是深化概念理解的利器。通过反例和相近概念辨析，使概念内涵更加清晰、稳固。第三、当堂巩固训练

训练体系分为三层，学生可根据自身情况至少完成前两层：1.基础层（直接应用）：教材基础习题。如：给出菊花4盆、月季花12盆的图示，要求圈一圈、填一填“月季花的盆数是菊花的（）倍”。（设计意图：巩固“圈画找份数”的基本技能）。2.综合层（情境变式）：学习单上的情境题。①文字题：“小明有6颗糖，小华的糖数是小明的3倍，小华有多少颗糖？”（反向应用）。②图形题：给出不同组别的三角形和圆，判断倍数关系。（设计意图：脱离直观图示，在简单文字和图形中抽象应用模型）。3.挑战层（开放探究）：“小小设计师：用你喜欢的图形，创造出两种物品的数量，使一种数量是另一种的4倍关系，并写出表述。”（设计意图：开放创作，内化概念，并融入审美与创新元素）。

反馈机制：基础层答案通过课件快速核对，同桌互说思路。综合层选取有代表性的解答进行投影展示，重点讲评如何确定“1份”。挑战层作品进行全班展示，由创作者讲解设计思路，教师点评其概念的准确性。第四、课堂小结

引导学生进行结构化总结：“孩子们，这节课我们‘请’来了哪位新朋友？你是通过哪些步骤认识它的？”师生共同梳理：分一分（确定标准）→圈一圈（找出份数）→说一说（建立倍的概念）。鼓励学生尝试用气泡图简单记录核心要点。“看来，找‘倍’的关键两步是什么？（先找1份，再看有几份）。”最后进行元认知提问：“在刚才的练习中，你觉得自己最容易在哪个地方出错？有什么好办法提醒自己？”

作业布置：1.必做（基础+拓展）：1.完成教材课后相关练习。2.寻找生活中存在的“倍数”关系例子（如：家里筷子数是碗数的2倍），并记录下来。2.选做（探究）：思考：如果弟弟有3块饼干，哥哥的饼干数比弟弟的2倍还多1块，哥哥可能有多少块饼干？画画看。六、作业设计1.基础性作业（必做）：1.2.完成课本第XX页“练一练”第1、2题。要求规范圈画，并完整书写倍数关系句子。2.3.看图列式：提供清晰的倍数关系示意图，要求列出相应的乘法算式（求一个数的几倍是多少）。4.拓展性作业（必做）：1.5.生活小调查：请你观察家中或教室里的物品，找出一组可以用“倍”来描述其数量关系的例子（例如：窗户的块数是门的几倍？），并像今天课堂上一样，用画图或拍照加标注的方式记录下来，准备下节课分享。2.6.数学日记：用几句话写一写你今天对“倍”这个新朋友的认识，可以包括你是怎么学会的，或者你觉得它哪里特别。7.探究性/创造性作业（选做）：1.8.设计“倍数”卡片：使用卡纸，设计制作两张“倍数关系卡”。一张卡片上通过绘画或贴图表现一种倍数关系（如：画4只小鸡，8只小鸭）；另一张卡片上写出对应的问题（如：小鸭的只数是小鸡的几倍？）和答案。可以和你设计的同学交换卡片进行挑战。七、本节知识清单及拓展★1.“倍”的概念本质：“倍”表示两个数量之间的一种比较关系，描述的是一个数包含几个另一个数。它不是具体的数量单位，而是一种比率关系。例如，“6是2的3倍”，关注的是6与2之间的“3份”关系。★2.认识“倍”的关键步骤：第一步，确定标准量（1份）：将其中一个较小的、或作为基准的数量看作“1份”。这是分析的起点。第二步，确定比较量包含几个“1份”：看另一个数量里包含了几个这样的“1份”。这个“几”就是“几倍”。★3.标准量的重要性：“倍”的关系不是固定的。说“A是B的几倍”，前提是把B看作“1份”。如果标准量（B）变了，倍数关系也会随之改变。例如，6根对于2根是3倍，但对于3根则是2倍。★4.“圈一圈”的方法：在图形或实物图中，将标准量（1份）圈出一个圈，接着看比较量能圈出几个同样的圈。这是一种非常有效的将抽象关系可视化的策略，体现了数形结合思想。★5.规范的语言表述：完整的倍数关系表述为“（比较量）是（标准量）的（几）倍”。三要素缺一不可。例如，“白萝卜的根数是胡萝卜的3倍”。多进行顺向和逆向的表述练习，能强化概念结构。★6.“倍”与乘法的联系：“求一个数的几倍是多少”就是求“几个几是多少”，用乘法计算。例如，已知1份是2，求它的3倍，就是求3个2是多少，列式为2×3=6。这是乘法意义的一种拓展应用。▲7.“倍”与“差”的区别：这是两个极易混淆的概念。“差”比较的是两个数量相差的具体数值（多多少、少多少），用减法计算，结果是一个具体数量。“倍”比较的是两个数量之间的份数比率（是几倍），用包含除（或乘法逆运算）来思考，结果是一个倍数（关系）。▲8.整数倍的阶段限制：在小学三年级初步认识“倍”时，通常只研究“整数倍”，即比较量正好是标准量的整数倍（几倍），能正好分完。这为将来学习分数、小数后理解“非整数倍”（如1.5倍）奠定了基础。▲9.模型思想萌芽：本节课是数学建模思想的初步体验。从具体萝卜、圆片等情境中，抽象出“确定1份→找有几份”的通用分析模型，这个模型可以用来解决一类问题，这就是建模的过程。八、教学反思

（一）教学目标达成度分析从预设的巩固练习反馈来看，约85%的学生能独立、准确地完成基础层与综合层的习题，表明“倍”的概念模型在多数学生心中已初步建立。学生在表述时能自觉运用“把…看作一份，…有这样的几份，所以…”的逻辑链，说明其对概念的理解是结构化的，而非机械记忆。然而，挑战层的完成情况显示，约20%的学优生能进行创造性设计，但部分学生对“标准量”非最小单位时的设计（如以4为1份，设计出16是4的4倍）仍显犹豫，反映出对“标准量”可灵活指定的理解深度有待加强。

（二）核心环节有效性评估导入环节的“拍手游戏”与“萝卜图对比”迅速制造了认知冲突，从熟悉的“几个几”和“比多少”自然引向陌生的“倍”，激发了探究欲。任务一至任务三的“操作—圈画—表述”三部曲构成了坚实的认知阶梯，学生参与度高。特别是“圈一圈”环节，将内隐的“分份”思维外显化，为后续抽象表达提供了有力支撑。我听到有学生在小组里说：“原来圈出来就看得清清楚楚了！”这便是直观到抽象的成功过渡。任务四“变化标准”是设计的亮点也是难点，部分学生在此卡壳，暴露了其思维定势——认为标准总是较小的那个数。通过引导讨论“剩下的4根怎么办”，引发了关于“整数倍”的深刻思考，虽然超纲，但激发了学生的好奇心。

（三）学生差异化表现与应对课堂观察发现，学生的建构速度明显分层。A层（思维敏捷者）能迅速迁移“几个几”的经验，在任务三后便跃跃欲试想列算式。对此，我鼓励他们担任“小老师”检查同伴圈画，并提前尝试挑战层题目。B层（多数学生）能跟随任务步骤稳步建构，但在语言表述上需要更多同伴示范和教师复述。C层（少数需支持学生）在独立确定“1份”时存在困难，需教师个别指导，借助手势（“这一堆，我们把它‘框’起来当成一份