2025年数学方程求解试题

2025年数学方程求解试题考试时长：120分钟满分：100分班级：__________姓名：__________学号：__________得分：__________一、单选题（总共10题，每题2分，总分20分）1.若方程组$\begin{cases}ax+by=3\\cx+dy=5\end{cases}$有唯一解，则系数矩阵的行列式$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}$的值必须为（）A.0B.1C.3D.非零任意值2.方程$x^2-6x+5=0$的根的判别式$\Delta$的值为（）A.-4B.4C.14D.113.若方程$2x^2-3x+k=0$的一个根为1，则$k$的值为（）A.1B.2C.-1D.04.方程$\sqrt{x+3}=x$的解集为（）A.$\{3\}$B.$\{0,3\}$C.$\{0\}$D.$\emptyset$5.不等式$x^2-5x+6<0$的解集为（）A.$(-2,3)$B.$(-\infty,-2)\cup(3,+\infty)$C.$[2,3]$D.$(-\infty,2)\cup(3,+\infty)$6.方程$x^3-2x^2-x+2=0$的实数根的个数为（）A.1B.2C.3D.47.若方程$ax^2+bx+c=0$的两根之和为3，两根之积为1，则$b$的值为（）A.3B.-3C.2D.-28.方程$\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x+1}=\frac{2}{x}$的解为（）A.1B.-1C.2D.09.若方程$x^2+px+q=0$的两根为$\alpha$和$\beta$，且$\alpha^2+\beta^2=10$，则$p^2+q$的值为（）A.14B.20C.16D.1810.方程$|x-1|+|x+2|=3$的解集为（）A.$[-3,4]$B.$[-1,2]$C.$[-2,1]$D.$(-\infty,-2)\cup(1,+\infty)$二、填空题（总共10题，每题2分，总分20分）11.方程$x^2+4x-5=0$的两根分别为$\boxed{\}$和$\boxed{\}$。12.不等式$2x-1>x+1$的解为$\boxed{\}$。13.方程$x^2-4x+4=0$的判别式$\Delta$的值为$\boxed{\}$。14.若方程$x^2+kx+9=0$的两根之差为4，则$k$的值为$\boxed{\}$。15.方程$\sqrt{2x-1}=3$的解为$\boxed{\}$。16.方程组$\begin{cases}x+y=5\\x-y=1\end{cases}$的解为$\boxed{\}$。17.方程$x^3-3x^2+2x=0$的实数根的个数为$\boxed{\}$。18.若方程$ax^2+bx+c=0$的两根为$2$和$-3$，则$a+b+c$的值为$\boxed{\}$。19.方程$\frac{x}{x-1}+\frac{1}{x+1}=2$的解为$\boxed{\}$。20.方程$|x-2|+|x+1|=3$的解集为$\boxed{\}$。三、判断题（总共10题，每题2分，总分20分）21.方程$x^2+1=0$在实数范围内有解。（）22.若方程$ax^2+bx+c=0$的判别式$\Delta<0$，则该方程无实数解。（）23.方程$x^2-6x+9=0$的两根相同。（）24.不等式$x^2+x+1>0$对所有实数$x$都成立。（）25.方程$\sqrt{x^2+1}=x$的解集为$\{1\}$。（）26.方程$x^3-x=0$的实数根的个数为3。（）27.若方程$ax^2+bx+c=0$的两根为$\alpha$和$\beta$，则$\alpha+\beta=-\frac{b}{a}$。（）28.方程$\frac{1}{x}+\frac{1}{x+1}=\frac{1}{x-1}$的解为$x=1$。（）29.方程$|x-1|=2$的解集为$\{3,-1\}$。（）30.方程$x^2+px+q=0$的两根为$1$和$-1$，则$p=0$，$q=-1$。（）四、简答题（总共3题，每题4分，总分12分）31.已知方程$x^2-px+q=0$的两根为$2$和$3$，求$p$和$q$的值。32.解不等式$x^2-5x+6\geq0$。33.若方程$ax^2+bx+c=0$的两根为$1+\sqrt{2}$和$1-\sqrt{2}$，求$a$、$b$、$c$的关系式。五、应用题（总共2题，每题9分，总分18分）34.某工厂生产一种产品，固定成本为10000元，每件产品的可变成本为50元，售价为80元。若要使利润最大，该工厂应生产多少件产品？35.已知某函数$f(x)=x^2+px+q$的图像经过点$(1,0)$和$(-1,6)$，求$p$和$q$的值。【标准答案及解析】一、单选题1.D解析：方程组有唯一解的条件是系数矩阵的行列式非零。2.B解析：判别式$\Delta=b^2-4ac=(-6)^2-4\cdot1\cdot5=4$。3.A解析：代入$x=1$，得$2\cdot1^2-3\cdot1+k=0$，解得$k=1$。4.A解析：平方后得$x+3=x^2$，即$x^2-x-3=0$，解得$x=3$（舍去$x=-1$，因不满足原方程）。5.A解析：因式分解得$(x-2)(x-3)<0$，解集为$(-2,3)$。6.C解析：因式分解得$(x-1)(x+1)^2=0$，实数根为$x=1$（重根）。7.D解析：由韦达定理，$\alpha+\beta=-\frac{b}{a}=3$，$\alpha\beta=\frac{c}{a}=1$，解得$b=-2$。8.D解析：去分母得$x^2-1+2x=x$，即$x^2+x-1=0$，解得$x=0$。9.A解析：由韦达定理，$\alpha+\beta=-p$，$\alpha\beta=q$，$\alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta=10$，代入得$p^2+q=14$。10.C解析：分段讨论，$x<-2$时$-x+1-x-2=3$，解得$x=-1$（舍）；$-2\leqx\leq1$时$-x+1+x+2=3$，恒成立；$x>1$时$x-1+x+2=3$，解得$x=1$（舍）。解集为$[-2,1]$。二、填空题11.-5,1解析：因式分解得$(x+5)(x-1)=0$。12.$(1,+\infty)$解析：移项得$x>2$。13.0解析：$\Delta=(-4)^2-4\cdot1\cdot4=0$。14.$\pm6\sqrt{2}$解析：设两根为$\alpha$和$\beta$，则$|\alpha-\beta|=4$，$(\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta=16$，代入$\alpha+\beta=-k$，$\alpha\beta=9$，解得$k=\pm6\sqrt{2}$。15.4解析：平方后得$2x-1=9$，解得$x=5$。16.$(3,2)$解析：加减法消元。17.3解析：因式分解得$x(x-1)(x-2)=0$，实数根为$0,1,2$。18.-4解析：代入两根，$a(2)^2+b(2)+c=0$，$a(-3)^2+b(-3)+c=0$，$a+b+c=0$，解得$a+b+c=-4$。19.1解析：去分母得$x(x+1)+x-1=2(x^2-1)$，解得$x=1$。20.$[-1,2]$解析：分段讨论，$x<-1$时$-x+2-x-1=3$，解得$x=-1$（舍）；$-1\leqx\leq2$时$-x+2+x+1=3$，恒成立；$x>2$时$x-2+x+1=3$，解得$x=2$（舍）。解集为$[-1,2]$。三、判断题21.×解析：方程$x^2+1=0$的根为$i$和$-i$，不在实数范围内。22.√解析：判别式$\Delta<0$时，方程无实数解。23.√解析：$\Delta=(-6)^2-4\cdot1\cdot9=0$。24.√解析：判别式$\Delta=(-1)^2-4\cdot1\cdot1=-3<0$，图像在$x$轴上方。25.×解析：解集为$\{1\}$。26.√解析：实数根为$0,1$（重根）。27.√解析：由韦达定理。28.×解析：代入$x=1$，分母为0，无解。29.√解析：$x-1=2$或$x-1=-2$，解得$x=3$或$x=-1$。30.×解析：$p=-2$，$q=-1$。四、简答题31.解：由韦达定理，$2+3=-p$，$2\cdot3=q$，解得$p=-5$，$q=6$。32.解：因式分解得$(x-2)(x-3)\geq0$，解集为$(-\infty,2]\cup[3,+\infty)$。33.解：由韦达定理，$1+\sqrt{2}+1-\sqrt{2}=-\frac{b}{a}$，$