苏教版三年级数学上册：倍的认识与应用（自学引导课）

苏教版三年级数学上册：倍的认识与应用（自学引导课）一、教学内容分析  本课隶属于“数的运算”领域，是学生首次从“加法结构”的相差关系，正式迈向“乘法结构”的倍数关系的认知关键点，在小学阶段“数感”与“模型思想”的发展序列中具有承前启后的枢纽作用。从知识图谱看，它深刻建立在“几个几”的乘法意义和“平均分”的除法认知基础上，其习得质量直接影响后续学习“求一个数的几倍是多少”“分数、百分数应用题”乃至“正比例关系”的理解。课标要求在此阶段，学生能结合具体情境，解决“求一个数是另一个数的几倍”的简单实际问题，这不仅是掌握一个除法算式（求商）的技能，更是经历从具体情境中抽象出“倍”的数学模型，并用该模型进行解释和应用的完整过程。其蕴含的核心思想方法是从“比较”中产生新的数学概念（倍），其育人价值在于发展学生的抽象概括能力与逻辑推理能力，学会用数学的眼光观察现实世界中的比较关系（如“你的年龄是我的2倍”“速度是原来的3倍”），实现从“数量多少”的比较到“关系份数”的思考的思维跃迁。  从学情研判，三年级学生已熟练掌握表内乘除法，具备“几个几”的认知和“平均分”的活动经验，这为理解“倍”作为两个数量比较的“份”关系提供了坚实“锚点”。然而，潜在的认知障碍在于：学生容易将“倍”与“多”混淆，即关注绝对数量的增减而非相对关系的比较；在从实物操作、图形表征过渡到抽象算式时可能出现“断层”。因此，教学对策须着重“可视化”与“语言转化”。在过程评估上，将设计“摆一摆、圈一圈、说一说、写一写”的阶梯任务链，通过观察学生的操作顺序、倾听其表述（如是否使用“把…看作1份，…有这样的几份，所以…是…的几倍”的语言模型）、分析其列式依据，动态诊断理解层次。对于理解较快的学生，引导其探索“标准量”变化对倍数关系的影响；对于需要支持的学生，提供“标准量固定”的学具模板和句式填空支架，确保所有学生都能在“最近发展区”内获得成功体验。二、教学目标阐述  知识目标：学生能在具体情境中，通过实物操作与图形表征，理解“倍”是两个数量之间比较产生的份数关系；能正确使用“把…看作1份，…有这样的几份，所以…是…的几倍”的规范化语言描述倍数关系；掌握“求一个数是另一个数的几倍”用除法计算的算理与算法，并能正确列式解答。  能力目标：学生能够从比较两个数量的实际问题中，经历“建立‘1份’标准→圈画份数→语言描述→算式抽象”的完整建模过程，发展从具体情境中抽象出数学问题并进行符号化表达的能力。同时，在合作探究中，提升几何直观（利用图形表征关系）和初步的推理能力。  情感态度与价值观目标：在解决与生活密切相关的倍数问题中，感受数学的应用价值，增强学习兴趣。在小组协作与交流中，养成乐于分享、认真倾听、敢于质疑的学习习惯，体验通过探究发现数学规律的成就感。  数学思维目标：重点发展学生的模型思想与对应思想。引导其认识到，“倍”的本质是将两个数量的比较，转化为对其中一个量（标准量）进行“1份”的度量，看另一个量（比较量）包含几个这样的“1份”，从而用“数”来刻画“关系”，这是函数思想的启蒙。  评价与元认知目标：引导学生学会使用“语言描述→图形验证→算式核对”的自我检验策略。在课堂小结时，能反思学习路径：“我是怎样从一堆圆片中发现‘倍’的？”并尝试用思维导图梳理“倍”的概念形成与应用步骤。三、教学重点与难点  教学重点：建立“倍”的直观模型，理解“求一个数是另一个数的几倍”就是求一个数里面包含几个另一个数，用除法计算。其依据在于，这是本课乃至整个“倍的认识”单元的核心概念（大概念），是沟通乘除法意义与解决相关实际问题的桥梁。从能力立意看，无论是课标要求还是学业评价，能否灵活运用此模型解决变式问题，是衡量学生是否真正理解的关键。  教学难点：实现从“数量差比”到“关系倍比”的思维转换，即克服“见倍想加”的惯性思维；以及从具体的实物、图形表征顺利抽象为除法算式的数学表达。难点成因在于，“倍”关系是相对、抽象的，而学生的认知仍倾向于关注绝对数量。预设突破方向是：强化“1份”的标准确立与圈画操作，用规范的语言表述固化思维，并通过大量对比练习（如“多多少”与“是几倍”的并列呈现），促使思维范式发生迁移。四、教学准备清单1.教师准备  1.1媒体与教具：互动课件（含小兔子采蘑菇等动画情境）；磁性圆片或小正方形磁贴（用于黑板演示）；课堂任务单（含分层探究活动）。  1.2评价工具：“智慧星”即时评价贴纸；设计好板书框架（左侧呈现“倍”的形成过程，右侧呈现“应用与算法”）。2.学生准备  2.1学具：每人一套学具圆片（或小方块）；彩笔。  2.2预习任务：观察生活中哪些地方有“倍”的说法（如商品包装“加量50%”即1.5倍）。五、教学过程第一、导入环节  1.情境激趣，引发认知冲突：同学们，瞧，小兔子兄妹来采蘑菇啦！（课件动态呈现：蓝兔子采了2朵蓝蘑菇，红兔子采了6朵红蘑菇）你能比一比它们采蘑菇的数量吗？  1.1唤醒旧知，暴露思维定势：大多数孩子会脱口而出：“红兔子比蓝兔子多采了4朵！”（板书：62=4，这是“差比”）。教师追问：“除了用‘多多少’来比较，还能不能用一种新的比较方法，来描述它们之间的关系呢？比如，红蘑菇的‘数量’和蓝蘑菇的‘数量’之间，有没有一种更特别的联系？”（留下悬念）  1.2提出问题，明确探究方向：“今天，我们就来认识一种新的比较关系——‘倍’。（板书：倍）学会了它，我们就能更‘高级’地描述像红蘑菇和蓝蘑菇之间的关系。接下来，咱们就一起动手摆一摆、圈一圈，揭开‘倍’的神秘面纱。”第二、新授环节任务一：动手操作，初建“倍”的直观模型  教师活动：首先，在黑板上用磁贴摆出蓝蘑菇2朵，下方对应摆出红蘑菇6朵，并上下对齐。“孩子们，如果我们把2朵蓝蘑菇看成一份（用粉笔圈起来），那么请大家用手中的圆片摆一摆，红蘑菇该怎样摆，才能清楚地看出有这样的几份呢？”巡视指导，重点关注学生是否按“2个一份”来摆放红蘑菇。请一位摆对的学生上台展示。“大家看他摆的，他把红蘑菇也2个2个地摆在一起了。为什么这么摆？”引导学生说出“为了和蓝蘑菇的那一份对齐比较”。  学生活动：用学具圆片模仿老师摆出蓝蘑菇（2个），然后尝试独立摆放红蘑菇。通过与同伴讨论或观察老师展示，理解“以蓝蘑菇的2朵为1份”，将6朵红蘑菇也按每2朵一份进行摆放和分组。  即时评价标准：1.操作规范性：能否模仿老师，先将两个量上下对应摆放。2.策略有效性：能否有意识地将红蘑菇按“每2个一组”进行分组。3.语言尝试：能否用“几份”来描述自己分好的红蘑菇。  形成知识、思维、方法清单：  ★核心概念：“倍”的产生源于比较。要确定谁是谁的几倍，必须先确定把谁的数量看作“1份”（标准量）。这是理解“倍”的基石，一切后续推理都建立于此。教学时可强调：“定标准，找份数，这是咱们研究‘倍’的两步法。”  ▲操作方法：用学具“摆一摆”是实现关系可视化的关键第一步。通过对齐、分组，将抽象的“关系”转化为直观的“几堆”或“几组”，符合三年级学生的认知特点。提示学生：“手是智慧的镜子，动手摆清楚了，脑子里就想明白了。”任务二：图形表征，强化“份”的圈画与语言表述  教师活动：“摆清楚了，咱们还可以画下来。请大家在任务单第一题上，像黑板上这样，先画出2个蓝蘑菇，把它圈起来，写上‘1份’。然后在下面画6个红蘑菇，想一想，怎样圈画能一眼看出红蘑菇有几份？”展示不同圈法（如两个一圈、用大虚线框圈出三份），强调规范性。“谁能用一句完整的话说一说，红蘑菇的朵数是蓝蘑菇的几倍？为什么？”板书关键句式：“把（）看作1份，（）有这样的（）份，所以（）是（）的（）倍。”  学生活动：在任务单上独立进行圈画。尝试用老师提供的句式，同桌互相说一说倍数关系。个别学生上台指着自己的圈画进行表述。  即时评价标准：1.圈画正确性：能否以标准量为单位进行正确圈画。2.语言完整性：表述是否使用规范句式，逻辑清晰。3.同桌互助：倾听是否认真，能否为同伴补充或纠正。  形成知识、思维、方法清单：  ★核心概念：“圈一圈”是连接实物操作与抽象思维的桥梁。圈画的过程就是确定“1份”和数出“几份”的过程。图形表征比实物更抽象一步，但保留了直观性。  ▲学科方法（语言模型）：规范化语言表述是内化思维的工具。强制使用“把…看作1份…”的句式，能有效帮助学生理清比较的逻辑顺序，固化“先定标准，再找份数”的思维路径。告诉学生：“这句话就像一句魔法口诀，说顺了，‘倍’的关系就印在你心里了。”任务三：变化情境，理解“标准量”与“倍数”的动态关系  教师活动：创设新情境：“小黄兔也来了，它采了4朵黄蘑菇。现在，如果还是把蓝蘑菇的2朵看作1份，黄蘑菇的朵数是蓝蘑菇的几倍呢？请大家先圈画，再说话。”引导学生完成。紧接着，改变标准量：“如果这次我们把黄蘑菇的4朵看作1份（重新圈出‘1份’），那么蓝蘑菇的2朵有这样的几份？还能用‘倍’来说吗？”引发学生思考：当标准量变化时，倍数关系也随之改变。  学生活动：根据教师引导，完成从不同角度确定标准量的两个任务。在第二个问题中，可能会产生疑惑：“蓝蘑菇只有2朵，不够1份（4朵）啊？”通过讨论或教师点拨，理解“不到一份，就是不到一倍，我们可以说蓝蘑菇的朵数还不到黄蘑菇的1倍”，初步接触“非整倍数”的感性认识，但明确本节课主要研究“整数倍”。  即时评价标准：1.思维灵活性：能否迅速适应标准量的变化，并正确圈画和表述。2.概念深入度：能否通过讨论，初步感知标准量的“相对性”与倍数关系的“可变性”。  形成知识、思维、方法清单：  ★重要原理：“倍”不是一个数固有的属性，而是两个数之间的一种关系。这个关系会随着“1份”（标准量）的改变而改变。这是“倍”概念中最具辩证思维色彩的部分。  ▲易错点警示：学生在后续解决问题时，容易忘记“求一个数是另一个数的几倍”本质上就是看前者里面包含了几个后者，后者就是“1份”。可以总结为：“求谁是谁的几倍，‘是’字后面那个就是‘1份’的标准。”任务四：算式抽象，沟通“倍”与除法的本质联系  教师活动：回到最初的红蘑菇（6朵）与蓝蘑菇（2朵）。“我们通过摆和圈，知道了红蘑菇有3份，所以红蘑菇的朵数是蓝蘑菇的3倍。那么，这个‘3’是怎么算出来的呢？能用我们学过的运算来表示吗？”引导学生观察：求6里面有几个2，用什么方法？板书：6÷2=3。强调：“这个3，后面写不写‘倍’字？”（不写，因为“倍”表示关系，不是单位）。对比板书：“红蘑菇比蓝蘑菇多4朵”（62=4）与“红蘑菇的朵数是蓝蘑菇的3倍”（6÷2=3）。  学生活动：思考“求6里面有几个2”的数学方法，回忆除法的意义，得出除法算式。理解算式中每个数的含义：6是比较量，2是标准量，3表示倍数（关系）。通过对比，深刻体会“差比”与“倍比”在数学表达上的根本不同。  即时评价标准：1.意义关联：能否清晰解释除法算式中每个数对应的实际含义。2.对比辨析：能否指出减法算式和除法算式的根本区别（分别求的是“差”和“商”）。  形成知识、思维、方法清单：  ★核心技能算法：求一个数是另一个数的几倍，用除法计算。算法模型为：比较量÷标准量=倍数。这是将几何直观、语言模型最终抽象为符号模型的关键一步。  ★易错点强化：算式结果后面不写单位“倍”。这是数学规定的严谨性体现。可以向学生类比解释：“就像我们说‘苹果有3个’，‘个’是单位；但我们说‘苹果是梨的3倍’，‘倍’是关系，不是单位，所以算式的‘3’后面什么都不写。”任务五：联系生活，在简单应用中巩固模型  教师活动：出示一组生活图片与数据：①小明有5本故事书，小华有15本故事书。②一支铅笔长2分米，一根跳绳长20分米。提问：“你能找到其中的倍数关系吗？先说说把什么看作1份，再列式计算。”引导学生将数学模型迁移到不同情境。  学生活动：独立阅读题目，先口头表述倍数关系（使用规范句式），再独立列式计算。同桌交换检查，重点检查算式是否反映了所说的关系。  即时评价标准：1.迁移能力：能否脱离“蘑菇”情境，在新情境中识别标准量与比较量。2.应用熟练度：列式是否准确、快速。3.检查习惯：能否有意识地进行同伴互查。  形成知识、思维、方法清单：  ▲应用实例：数学模型的价值在于广泛应用。通过书、长度等不同属性的量，让学生体会到“倍”可以比较任何两个同类的量，只要它们之间存在“包含”关系。这拓宽了学生对“倍”的应用场景的认识。  ★学科思维（模型思想）：至此，学生应初步完成“具体情境→操作感知→语言描述→图形表征→算式抽象→推广应用”的完整建模过程。可以引导学生小结：“看，我们从生活中来，用数学方法（除法）解决了问题，又回到了更广阔的生活中去，这就是数学建模的力量。”第三、当堂巩固训练  设计分层练习任务单：  基础层（全员必做）：看图圈一圈、填一填。提供清晰的图示，如：第一行画4个苹果，第二行画8个梨。要求将梨每4个一圈，填空：（）是（）的（）倍，算式：______。重点巩固“圈画”与“算式”的对应。  综合层（大多数学生完成）：解决纯文字或简单图文应用题。如：“班级大扫除，擦玻璃的有6人，扫地的有18人。扫地的人数是擦玻璃人数的几倍？”要求先画图分析（可用简笔圆圈代表人），再列式解答。关注学生能否自主选择“1份”并进行表征。  挑战层（学有余力选做）：①变式题：红花朵数是蓝花的3倍，蓝花有4朵，红花有几朵？（为下节课“求几倍是多少”埋下伏笔）。②开放题：给出“12”和“3”两个数，你能说出它们之间的所有关系吗？（12比3多9；3比12少9；12是3的4倍；3是12的四分之一，后者仅作感受）。鼓励发散思维。  反馈机制：完成后，通过投影展示不同层次的典型答案，尤其是暴露的典型错误（如列成减法）。采用“学生解说+教师点评”方式。对于基础层，强调圈画的规范性；对于综合层，赏析不同的图示方法；对于挑战层，请做出答案的学生分享思路，激发全班思考。第四、课堂小结  知识整合：今天这趟探索之旅，你收获了哪些宝贝？我们来一起制作一张“倍”的知识地图吧！”师生共同完善板书，形成结构图：中心是“倍（两个数的比较）”，延伸出“怎么比？（确定1份标准量）”、“怎么找？（圈出几份）”、“怎么说？（语言模型）”、“怎么算？（除法：比较量÷标准量）”。  方法提炼：“回顾一下，我们是怎么一步步认识‘倍’的？”（路径回顾：摆→圈→说→算→用）。“其中最关键的一步是什么？”（确定1份的标准量）。  作业布置与延伸：  必做作业：1.完成练习册基础题。2.回家找一找，家中物品数量间的倍数关系，说给爸爸妈妈听。  选做作业：设计一道关于“倍”的趣味数学题，明天考考你的同桌。  “今天我们用数学的眼光发现了数量间一种新的亲密关系——倍数关系。下节课，我们将利用这个关系，去解决更有挑战的问题。”六、作业设计  基础性作业：  1.看图列式计算（2题）。提供直观的倍比关系图，要求学生直接列出除法算式求倍数。  2.填空（3题）。如“24是6的（）倍，因为24里面有（）个6。”强化算理理解。  拓展性作业：  3.解决实际问题（2题）。情境略复杂，如：“操场上有6个男生在踢球，跳绳的女生人数是踢球男生的4倍。请问女生有多少人在跳绳？”（此题实为“求一个数的几倍是多少”，供学生提前尝试，教师可在下一课前置评讲）。  4.小调查：记录自己家一周内每天晚餐使用的碗和筷子的数量，计算哪一天碗的数量是筷子数量的几倍？（注：一双筷子为2根）。感受数学与生活的联系。  探究性/创造性作业：  5.（选做）创意设计：用“倍”的知识创作一幅数学画或一个简短数学小故事。例如：花园里，太阳花的数量是玫瑰的3倍，玫瑰有5朵，请画出花园里的花，并写出它们的数量关系。七、本节知识清单及拓展  ★1.“倍”的概念本源：“倍”是两个数量进行比较时产生的一种关系，表示一个数里包含了几个另一个数。它不是物体固有的属性，而是描述两者之间“份数”联系的桥梁。  ★2.理解“倍”的关键两步法：第一步，确定标准量（看作“1份”的那个数）；第二步，看比较量里面有几个这样的“1份”，就是几倍。口诀：定标准，数份数。  ★3.“倍”的语言表述模型：规范表述为：“把（标准量）看作1份，（比较量）有这样的（几）份，所以（比较量）是（标准量）的（几）倍。”这个模型能有效梳理思维。  ★4.“倍”的图形表征方法：常用“圈一圈”的方法。以标准量的数量为单位，将比较量进行圈画，圈出的“份数”就是倍数。这是将抽象关系可视化的有效工具。  ★5.“求一个数是另一个数的几倍”的算法：用除法计算。公式：比较量÷标准量=倍数。其算理是：求一个数里面包含几个另一个数。  ▲6.算式书写的注意事项：除法算式得出的商（即倍数）后面不写单位名称“倍”。因为“倍”是关系，不是计量单位。  ▲7.易混淆概念对比：“A比B多多少”求的是数量差，用减法（AB）；“A是B的几倍”求的是份数关系，用除法（A÷B）。两者是两种不同的比较方式。  ▲8.“标准量”的相对性：两个数的倍数关系不是绝对的。例如，若A是B的2倍，若将A看作1份，则B就是A的二分之一（一半）。标准量变化，倍数关系也随之改变。  ▲9.生活应用举例：“你的年龄是我的2倍”、“汽车速度是自行车的5倍”、“商品打八折（即现价是原价的0.8倍）”等，都是倍数关系在生活中的体现。  ★10.核心思维方法（建模思想）：本节课的学习路径是一个完整的数学建模微过程：从现实情境（采蘑菇）中提出问题→用学具操作（摆）和图形（圈）建立直观模型→用语言（说）进行描述与内化→用数学符号（除法算式）进行抽象概括→将模型应用于新情境解决问题。八、教学反思  （一）预设与生成的评估：本设计严格遵循了“具体→半抽象→抽象”的认知逻辑链，任务环环相扣，旨在让学生亲历概念形成的完整过程。在实际模拟教学中，预计“任务一”和“任务二”的操作与圈画环节能充分调动学生积极性，有效建立直观感知。然而，“任务三”中标准量的动态变化对学生思维灵活性要求较高，可能是课堂节奏的“减速带”，需要根据学生即时反应灵活调整讲解的详略与示例的数量。我会在心里提醒自己：“别怕这里‘卡壳’，思维的碰撞点正是教学的生长点。”  （二）差异化关照的实效分析：通过分层任务单、开放式提问（如挑战层问题）以及“同桌互说”环节，基本兼顾了不同层次学生的需求。学具操作和句式填空为需要支持的学生提供了可触摸、可模仿的“脚手架”。但对于极少数在“算式抽象”环节仍有困难的学生，课后需准备单独的视觉化辅助材料（如将圈画图与算式直接对应的卡片），进行个别化辅导。我反思：“是否能在‘任务四’引入算式时，让这部分学生继续指着自己圈画的图来解释算式中每个数的意思，让他们在‘形象’与‘抽象’之间多停留一会儿？”  （三）核心素养的达成度审视：本节课最核心的素养目标是“模型思想”和“几何直观”。从设计看，学生有充分的活动去“建模”（摆、圈）和“