聚焦核心素养的小学数学五年级下册《最小公倍数》教学设计

聚焦核心素养的小学数学五年级下册《最小公倍数》教学设计一、教学内容分析  本课内容隶属《义务教育数学课程标准（2022年版）》“数与代数”领域中“数的认识”与“数的运算”的交叉部分。从知识技能图谱看，它上承“因数与倍数”、“最大公因数”的概念体系，下启“通分”、“异分母分数加减法”的运算基础，是构建整数知识网络的关键枢纽。其认知要求不仅在于识记定义，更在于理解“公倍数”作为两个数倍数集合交集的本质，并能灵活运用列举法、筛选法、短除法等多种策略求解，属于综合应用层面。蕴含的学科思想方法丰富：通过列举倍数探究规律，体现了从具体到抽象的归纳思想；用集合圈表示公倍数，渗透了数形结合与集合思想；寻求最优解决方案，则蕴含了模型思想与优化思想。其素养价值深远，旨在引导学生经历数学化的过程，发展数感、推理意识和模型意识，体验数学作为解决现实问题有力工具的应用价值，培养其逻辑思维的有序性与严谨性。  学情研判方面，学生已掌握倍数、公因数和最大公因数的概念及求法，具备了利用乘法口诀和整除知识列举一个数倍数的基础。然而，从“因数”的有限性思维转向“倍数”的无限性思维可能存在认知跨度；同时，学生容易混淆“最大公因数”与“最小公倍数”的求法与应用场景。在过程评估中，我将通过观察学生在列举倍数时的有序性、在集合圈填数时的准确性、以及在解决实际问题时策略选择的合理性，动态诊断其理解程度。针对不同层次学生，教学将提供差异化支持：对基础薄弱者，强化借助乘法口诀有序列举的“脚手架”；对思维敏捷者，则引导其从列举法中观察规律，自主探索更简捷的算法，并鼓励其对不同方法进行对比与优化。二、教学目标  知识目标：学生能在具体情境中理解公倍数和最小公倍数的意义，能够举例说明并准确表述其概念；通过自主探究，掌握求两个数最小公倍数的常用方法（列举法、筛选法、分解质因数法或短除法），并能根据数据特征选择合适的方法，清晰表述思维过程。  能力目标：学生经历从实际问题抽象出数学问题，并探索解决方案的全过程，提升数学抽象与建模能力；在探究不同求法的活动中，锻炼观察、比较、归纳与概括的逻辑推理能力；在解决变式问题时，发展信息整合与策略优化的应用意识。  情感态度与价值观目标：通过解决诸如排队、铺砖等实际生活问题，学生能切身感受数学与生活的紧密联系，增强学习数学的兴趣和应用意识；在小组合作探究中，学会倾听他人意见，勇于表达自己的观点，体验合作学习的价值与乐趣。  学科思维目标：重点发展学生的抽象思维，能将具体情境中的“同时”、“一起”等关键词转化为对“公倍数”的数学理解；强化有序思维，在列举倍数时做到不重不漏；初步渗透集合思想，用韦恩图直观理解概念间的包含关系；培养优化思维，在多种算法中寻求简洁与通用性的平衡。  评价与元认知目标：引导学生建立自我检查习惯，例如通过“一个数的倍数最小是它本身”、“两个数的公倍数一定不小于较大数”等基本事实检验结果合理性；鼓励学生在学习后回顾不同方法的适用场景，总结选择策略，如“数据小时用列举，有倍数关系看大数，一般情况用短除”，初步形成方法论的反思意识。三、教学重点与难点  教学重点：理解公倍数和最小公倍数的意义，掌握求两个数最小公倍数的方法。确立依据在于，从学科知识结构看，此概念是连接因数倍数理论与分数运算实践的“大概念”；从素养导向看，理解其意义是发展数感、进行数学建模的前提，掌握其方法是解决复杂分数问题的基本技能，是后续学习不可或缺的基石。  教学难点：理解“最小公倍数”中“最小”的必然性与“公倍数”的无限性之间的辩证关系；理解用短除法求最小公倍数的算理，特别是为何将所有除数和最后的商相乘。预设依据源于学生认知特点：对“无限”的理解较为抽象；短除法步骤虽易模仿，但其背后的原理——将两数公有质因数与独有质因数相乘以得到最小公倍数——涉及对整数分解结构的深度理解，是学生从程序性操作向概念性理解跨越的关键障碍。突破方向在于借助数形结合（如用不同长度的线段表征倍数）和操作活动（如拼摆小正方形）使抽象原理直观化。四、教学准备清单1.教师准备1.1媒体与教具：交互式课件（含倍数动态生成、集合圈演示、生活情境动画）；磁性黑板贴（数字卡片、可重叠的集合圈教具）；边长分别为6厘米和8厘米的长方形纸片模型。1.2学习材料：分层学习任务单（含基础探究单与思维拓展单）；课堂巩固练习卡。2.学生准备2.1预习任务：复习一个数的倍数如何求，并尝试列举4和6的前十个倍数。2.2学具：直尺、彩笔。3.环境布置3.1座位安排：四人异质小组围坐，便于合作讨论。3.2板书记划：预留左、中、右三块区域，分别用于呈现核心概念、探究过程与方法总结。五、教学过程第一、导入环节1.情境创设，引发冲突：“同学们，学校街舞队每4天训练一次，啦啦操队每6天训练一次。小明两个队都参加了。今天3月1日，两个队刚好同时训练。请大家帮小明算算，下一次两个队再次同一天训练会是几月几日呢？”（呈现简单日历情境图）“有同学说4天后，也有说6天后，到底谁说得对？我们一起来探究。”1.1问题提出与路径明晰：“这个问题，其实是在寻找一个‘共同’的训练时间。在数学上，这和两个数的‘倍数’知识密切相关。今天，我们就一起来认识一种新的‘数’——‘最小公倍数’（板书课题）。我们将首先在具体问题中感知它，然后抽象出定义，接着寻找求它的多种‘法宝’，最后用它去解决更多生活中的难题。”第二、新授环节任务一：在情境中感知“公倍数”教师活动：首先，引导学生将生活问题数字化：“我们把‘每4天一次’看成找4的倍数，‘每6天一次’看成找6的倍数。”组织学生独立写出4和6在30以内的倍数。接着，利用课件动态呈现两列倍数，提问：“仔细观察这两列数，你有什么发现？哪些数比较‘特殊’？”引导学生圈出“特殊”的数（12，24…），并追问：“这些‘特殊’的数，和4、6分别是什么关系？”最后，引入集合圈教具：在黑板上画两个独立的集合圈，分别放入4和6的倍数磁性贴，然后移动两个圈使其部分重叠，提问：“如果让这两个‘倍数家族’做朋友，那么它们共同的‘朋友’应该住在哪里？”学生活动：独立在任务单上列举4和6的倍数。观察、比较两列数，尝试找出同时出现在两列中的数。思考并回答教师的提问，理解这些“特殊”的数既是4的倍数，也是6的倍数。观察教师的集合圈操作，直观理解“公共部分”的含义，尝试将12、24等数填入重叠区域。即时评价标准：1.列举倍数是否有序、完整。2.能否准确找出共同的倍数。3.能否用自己的语言描述这些共同倍数的特征（如“既是4的倍数，也是6的倍数”）。形成知识、思维、方法清单：★公倍数的初步感知：像12、24这样，既是4的倍数，又是6的倍数的数，是4和6公有的倍数，叫作它们的公倍数。教学提示：概念生成应基于学生的发现，而非直接告知。▲数形结合理解概念：用集合圈（韦恩图）可以直观表示两个数的倍数集以及它们的交集（公共部分），这个交集就是公倍数的集合。这是将抽象关系可视化的有效工具。有序列举的策略：找一个数的倍数时，应有序地用这个数依次乘1、2、3…，可以快速且不遗漏地生成数列。这是数学思考严谨性的体现。任务二：抽象概括，认识“最小公倍数”教师活动：指着集合圈中的公倍数提问：“公倍数好像不止一个，它们有多少个？”引导学生根据倍数的无限性推理出公倍数的无限性。接着聚焦：“在这么多公倍数里，哪一个最‘特别’？”引出最小的一个——12。给出规范定义：几个数公有的倍数，叫作它们的公倍数；其中最小的一个，叫作它们的最小公倍数。提问：“4和6的最小公倍数是？”然后，设置认知冲突点：“既然公倍数有无数个，为什么我们还要特别关注这个‘最小’的呢？”引导学生联系导入问题思考，体会“最小”在解决实际问题时的最优性。学生活动：思考并回答公倍数的个数问题。从公倍数集合中找出最小的数。齐读并理解定义。回答“4和6的最小公倍数是多少”。讨论关注“最小公倍数”的意义，联系实际（如“最早”、“下次”等问题）理解其应用价值。即时评价标准：1.能否理解公倍数的个数是无限的。2.能否准确找出并说出最小公倍数。3.能否结合实例说明“最小”的现实意义。形成知识、思维、方法清单：★最小公倍数的定义：最小公倍数是公倍数集合中最小的那个。记作：[4，6]=12。教学提示：强调符号的写法和读法，区别于最大公因数的表示。公倍数的无限性：因为一个数的倍数是无限的，所以两个数的公倍数也是无限的。但最小公倍数是唯一存在的。“最小”的价值：在解决“下一次”、“至少”、“最早”等优化类实际问题时，通常求的是最小公倍数，它代表满足条件的最小解，最具实际效率。任务三：探究求法——列举法与大数翻倍法教师活动：提出新任务：“求6和8的最小公倍数。”首先引导学生小组合作，用任务一的方法（先分别列举倍数，再找公倍数和最小公倍数）求解。巡视指导，确保列举有序。请一组汇报。接着，启发思考：“这种方法有点慢，有没有更快捷的方法呢？观察一下6和8的倍数，特别是8的倍数，你有什么发现？”引导学生发现：可以只列举较大数8的倍数，然后从中筛选出也是6的倍数的数，第一个就是最小公倍数。板书演示“筛选法”（大数翻倍法）。32...小组合作，用列举法求6和8的最小公倍数，并汇报过程和结果（24）。观察8的倍数序列（8,16,24,32...），尝试判断哪些同时是6的倍数。发现24符合，从而理解“筛选法”的思路：只列举大数的倍数，边列举边检验。即时评价标准：1.小组合作中，成员分工是否明确，交流是否有效。2.运用列举法是否步骤清晰、结果正确。3.能否理解从“列举两个数列”到“筛选一个数列”的思维优化过程。形成知识、思维、方法清单：★求最小公倍数的基本方法1——列举法：分别有序地列举出两个数的倍数，再找出它们公有的倍数中最小的一个。优点是直观，适用于较小数。★求最小公倍数的基本方法2——筛选法（大数翻倍法）：先写出（较大数）的倍数，再从中筛选出也是（较小数）倍数的数，第一个就是最小公倍数。体现了优化思想，比双重列举更快捷。特殊关系的观察：当两个数成倍数关系时，较大数就是它们的最小公倍数。例如，6和12，[6,12]=12。可以鼓励学生自己发现这一规律。任务四：探究普适性算法——短除法教师活动：抛出挑战性问题：“刚才的方法对找18和24的最小公倍数还好用吗？”让学生感受大数翻倍的繁琐。引出“短除法”：“我们学过用短除法求最大公因数，它能用来求最小公倍数吗？试一试。”引导学生回忆短除格式，用公有质因数依次去除，直到两数互质。板演过程后，关键提问：“现在，怎样用下面的结果算出最小公倍数呢？是像求最大公因数那样只乘左边的除数吗？”鼓励学生猜想、验证。通过课件动画演示，将18和24分解为质因数乘积的形式，直观展示最小公倍数应包含“所有公有质因数”和“各自独有质因数”，从而解释“把所有的除数和最后的商连乘”的算理。学生活动：尝试用筛选法感受大数计算的繁琐。迁移旧知，尝试用短除格式分解18和24。观察短除后的结果（左侧除数2、3，下方商3、4）。猜想计算方法，并与列举法得到的结果（72）进行验证。观看课件演示，理解“公有质因数×独有质因数”的原理。即时评价标准：1.短除法的书写格式是否规范。2.能否正确进行连续除法运算。3.能否通过对比验证，理解并记住最小公倍数的短除计算法则。形成知识、思维、方法清单：★求最小公倍数的核心方法3——短除法：用两个数公有的质因数（通常从最小的开始）依次去除，除到商互质为止。把所有除数和最后的商连乘，积就是最小公倍数。这是最通用、高效的方法。短除法的算理理解（难点）：最小公倍数必须包含两个数全部的质因数。短除过程中，除数（公有质因数）只乘一次，代表合并；最后的商（独有质因数）都要乘上。可以比喻为“收集所有出现过的质因数底牌，但公共牌只取一副”。互质关系的最小公倍数：如果两个数互质，则它们的最小公倍数就是它们的乘积。例如，[5,7]=35。这是短除法的一个特例（公有质因数只有1）。任务五：对比沟通，构建方法体系教师活动：组织讨论：“我们一共学了几种求法？它们各有什么优缺点？你会在什么情况下选择哪种方法？”引导学生从“数的特点”和“速度要求”两个维度进行归纳。课件出示对比表雏形，由学生补充完整。强调：掌握多种方法，但需灵活选用，鼓励用短除法保证准确性和一般性。学生活动：小组讨论，比较列举法、筛选法、短除法的异同。从“数大数小”、“有无倍数关系”等角度分享选择策略。参与完善方法对比表。即时评价标准：1.能否清晰说出三种方法的步骤。2.能否结合具体例子说明不同方法的适用情况。3.讨论是否体现了对方法优劣的辩证思考。形成知识、思维、方法清单：方法选择策略：数小且无规律时用列举法；两数有倍数关系，较大数即最小公倍数；一般情况，尤其是数较大时，用短除法最稳妥。培养根据具体情况选择最优策略的应用意识。与最大公因数的对比：回顾用短除法求最大公因数（只乘左边除数），与求最小公倍数（乘所有除数和商）进行对比，辨析异同，避免混淆。这是知识结构化的重要环节。任务六：回归应用，解决实际问题教师活动：出示拓展问题：“要用长6分米、宽8分米的长方形墙砖铺一个正方形墙面（必须用整砖），正方形的边长可以是多少分米？最小是多少分米？”提问：“‘铺成正方形’意味着什么？”引导学生将“正方形的边长”转化为“长和宽的倍数”，进而理解是求“长和宽的公倍数”，最小值即最小公倍数。可让学生先画草图理解。再呈现变式题：“三路公交车同时发车后，多少分钟后又同时发车？”深化对公倍数概念的理解。学生活动：阅读问题，理解题意。通过画图或讨论，将“铺成正方形”转化为“边长既是6的倍数，也是8的倍数”。确定是求6和8的公倍数和最小公倍数。列式计算并解答。尝试解决公交车发车问题，巩固方法。即时评价标准：1.能否将生活语言“铺成正方形”准确转化为数学语言“求公倍数”。2.解题步骤是否完整，答案是否合理（正方形边长至少是24分米）。3.能否举一反三，迁移到类似情境。形成知识、思维、方法清单：★最小公倍数的应用模型：解决“同时发生”、“再次相遇”、“拼成相同形状”等问题时，关键在于找到不同个体周期或单位的公倍数，求“最小”或“第一次”即找最小公倍数。建立此类问题的通用数学模型。数形结合解决问题：对于铺砖问题，画出示意图能极大地帮助理解“公倍数”的几何意义——正方形的边长必须是长方形长和宽的“共同度量”。第三、当堂巩固训练1.基础层（全员必做）：(1)求[10,15]和[9,10]的最小公倍数。（巩固基本算法）(2)判断：两个数的积一定是它们的公倍数。（辨析概念）2.综合层（多数挑战）：(1)一包糖，平均分给6人或8人都正好分完，这包糖至少有多少块？(2)已知A=2×3×5，B=2×5×7，求[A,B]。（直接利用质因数分解求最小公倍数，深化算理）3.挑战层（学有余力）：一条街道，从头到尾每隔12米有一盏路灯，现在要改为每隔18米一盏。除了起点和终点的灯不需要移动，中间还有多少盏灯也不需要移动？（此题需转化：求在总长度内，12和18的公倍数位置上的灯数，涉及区间内的公倍数个数问题）反馈机制：基础题采用全班核对、快速举手反馈；综合题请不同方法的学生板演并讲解，教师侧重点评思路转化；挑战题小组研讨后请代表发言，教师点拨关键转化步骤。利用投影展示典型错误（如短除法只乘除数），进行集体辨析。第四、课堂小结  “同学们，今天的数学之旅即将到站。谁能用一棵‘知识树’或者一个简单的流程图，来梳理一下我们这节课探索的收获？”引导学生从“是什么（概念）”、“怎么求（方法）”、“有何用（应用）”三个方面进行结构化总结。邀请学生分享。“大家总结得非常棒！我们认识了公倍数和最小公倍数这个新朋友，掌握了邀请它出来的三种主要方式，还让它帮我们解决了不少生活难题。记住，选择方法时要‘看菜吃饭，量体裁衣’哦！”作业布置：必做（基础性）：1.完成练习册对应基础题。2.用你喜欢的方法求[14,21]和[16,20]的最小公倍数。选做（拓展性）：1.探究：求三个数（如6，8，12）的最小公倍数，可以怎样求？试试看。2.生活小调查：找一找生活中还有哪些地方用到了最小公倍数的知识。六、作业设计基础性作业：1.填空：12和15的公倍数有（至少写三个），最小公倍数是（）。2.求下列每组数的最小公倍数：[3，5]；[8，12]；[9，15]。要求至少用两种方法求解其中一题，并简单说明选择理由。3.解决问题：五年级同学参加植树活动，每6人一组或每9人一组都刚好分完，五年级参加植树的同学至少有多少人？拓展性作业：1.“最美墙面”设计师：如果用长4分米、宽3分分的彩色小方砖铺一块正方形装饰墙，你设计的正方形墙面边长最小是多少分米？需要多少块这样的方砖？请画出示意图（可缩小比例）。2.算法小论文（二选一）：①对比求最大公因数和最小公倍数的短除法，写一篇简短的说明，解释它们为什么不同。②查阅资料，了解中国古代的“更相减损术”与求公倍数有何联系。探究性/创造性作业：“公共假期”预测员：假设爸爸每工作5天休息1天，妈妈每工作3天休息1天。从某天开始两人同时休息。请制作一个未来30天内的日历表，标出他们所有的共同休息日。你能发现这些共同休息日之间的规律吗？这个规律和我们今天学的知识有什么关系？尝试用数学表达式表示这个规律。七、本节知识清单及拓展★1.公倍数的定义：几个数公有的倍数，叫作这几个数的公倍数。例如，12、24、36…既是4的倍数，也是6的倍数，所以它们是4和6的公倍数。★2.最小公倍数的定义：几个数的公倍数中最小的一个，叫作这几个数的最小公倍数。用符号[a，b]表示。例：[4，6]=12。★3.公倍数的性质：一个数的倍数是无限的，因此几个数的公倍数也是无限的，没有最大的公倍数，但一定有最小的公倍数。★4.求最小公倍数的方法一：列举法。步骤：分别写出每个数的倍数→找出公有的倍数→找出最小的一个。优点：直观。缺点：数大时繁琐。★5.求最小公倍数的方法二：筛选法（大数翻倍法）。步骤：先写出较大数的倍数→从这些倍数中筛选出也是较小数倍数的数→第一个满足条件的数即是最小公倍数。是列举法的优化。★6.求最小公倍数的方法三：短除法（重点）。步骤：用两数公有的质因数依次去除→除到商互质为止→把所有除数和最后的商连乘。通用性强，务必掌握算理。▲7.两种特殊关系下的最小公倍数：(1)倍数关系：较大数是它们的最小公倍数。例：[10，30]=30。(2)互质关系：它们的乘积就是最小公倍数。例：[7，8]=56。★8.短除法的算理（难点解析）：最小公倍数必须包含两个数所有的质因数。公有质因数取最高次幂（短除中只乘一次），独有质因数全部取用。连乘运算确保了这一点。▲9.最小公倍数的应用模型：识别关键词：“同时…又同时…”、“至少…才能…”、“拼成/铺成相同的…”。本质是将生活问题转化为求几个数的公倍数（通常是最小公倍数）问题。▲10.与最大公因数的对比与联系：求法上，短除法形式相同，但最后求积时不同：最大公因数乘左边所有除数，最小公倍数乘所有除数与商。对于任意两个自然数a和b，有：a×b=(a,b)×[a,b]（即乘积等于最大公因数与最小公倍数的积）。这是一个重要的性质。八、教学反思  本课设计力图在结构化认知模型的框架下，实现差异化的学生参与与素养导向的目标达成。回顾预设，以下方面值得深入复盘。  （一）目标达成度分析。从假设的课堂实况看，知识与能力目标达成度较高。学生能通过列举、观察、操作等活动顺利建构概念，多数能掌握至少两种求法。情感目标在解决“铺砖”、“分组”等情境问题中得到较好落实。然而，学科思维目标中的“优化思维”与元认知目标中的“方法选择策略”反思，可能仅在部分优生中有效实现。这提示我，在后续类似课程中，需设计更显性的反思环节，如让学生完成“方法选择判断卡”，迫使所有学生都必须经历策略选择的思考过程。  （二）核心环节有效性评估。导入情境与任务一、二衔接紧密，成功将生活问题“数学化”。任务三到任务五的梯度设计，构成了从具体操作到抽象算法的完整探究链。其中，从“列举法”到“筛选法”的过渡较为自然，学生能体会到