高等数学 第三模块 导数的应用典型例题

第三模块导数的应用典型例题1.用洛必达法则求未定式的极限的方法例1求下列极限（1）（2）（3）（4）（5）解（1）由于时，，故原极限为型，用洛必达法则所以（分母等价无穷小代换）.（2）此极限为，可直接应用洛必达法则所以=.（3）所求极限为型，不能直接用洛必达法则，通分后可变成或型..（4）所求极限为型，得（型）（5）此极限为型，用洛必达法则，得不存在，但.小结使用洛必达法则时，应注意以下几点：（1）洛必达法则可以连续使用，但每次使用法则前，必须检验是否属于或未定型，若不是未定型，就不能使用法则；（2）如果有可约因子，或有非零极限的乘积因子，则可先约去或提出，以简化演算步骤；（3）当不存在时，并不能断定也不存在，此时应使用其他方法求极限.2.单调性的判别与极限的求法例2试证当时，.证令，易见在内连续，且.当时，可知为上的严格单调减少函数，即当时，，可知为上的严格单调增加函数，即.故对任意有即.例3求函数的单调性与极值.解函数的定义域为.，令驻点列表00+极小由上表知，单调减区间为，单调增区间为，极小值求函数的极值也可以用二阶导数来判别，此例中不能确定处是否取极值，得是极小值.小结用单调性来证明不等式，其方法是将不等式两边的解析式移到不等式的一边，再令此不等式的左边为函数；利用导数判定的单调性；最后利用已知条件与单调性，得到不等式。由例3知，用二阶导数讨论函数在某点的极值不需列表也很方便，但它的使用范围有限，对、及同时不存在的点不能使用.3.求函数的凹向及拐点的方法例4求函数的凹向及拐点.解函数的定义域，，令得，列表1(1,1)10+0拐点拐点由此可知，上凹区间,下凹区间，曲线的拐点是.小结求函数的凹向与拐点只需用拐点的定义及凹向的判别定理即可，注意拐点也可在使不存在的点取得.4.求函数的最大值与最小值的方法例5求函数在区间上的最大值与最小值.解函数在上连续，由于，令，则，在处不存在.故.小结函数的最大（小）值是整个区间上的最大（小）值，求最大（小）值的一般步骤为（1）求出在内的所有驻点及不可导点；（2）求出函数在驻点、不可导点、区间端点处的函数值；（3）比较这些值的大小，其中最大者即为函数的最大值，最小者即为函数的最小值.5.求曲线渐近线的的方法.例6求下列曲线的渐近线（1）（2）.解（1）所给函数的定义域为.由于，可知为所给曲线的水平渐近线.由于，可知为曲线的铅直渐近线.所给函数的定义域,.由于，，可知为所给曲线的铅直渐近线（在的两侧的趋向不同）.又，，所以是曲线的一条斜渐近线.6.函数图形的描绘例7作出函数的图形.解函数的定义域，，，令，解得.列表10+0+++++++0极小拐点由上表可知：极小值，拐点.（3）渐近线-1-1xyO所以是水平渐近线，，所以是铅直渐近线.（4）作图如图所示.7.求实际问题的最大值，最小值的方法例8一条边长为的正方形薄片，从四角各截去一个小方块，然后折成一个无盖的方盒子，问截取的小方块的边长等于多少时，方盒子的容量最大？解设截取的小方块的边长为，则方盒子的容积为令，得驻点（不合题意，舍去）由于在内只有一个驻点，由实际意义可知，无盖方盒子的容积一定有最大值.因此，当时取得最大值.故当正方形薄片四角各截去一个边长是的小方块后，折成一个无盖方盒子的容积最大.小结求最优化问题，关键是在某个范围内建立目标函数，若根据实际问题本身可以断定可导函数一定存在最大值或最小值，而在所讨论的区间内部有惟一的极值点，则该极值点一定是最值点.学法建议1.本章重点是用洛必达法则求未定式的极限，利用导数判定函数的单调性与凹向及拐点，利用导数求函数的极限的方法以及求简单函数的最大值与最小值问题.2.中值定理是导数应用的理论基础，一定要弄清楚它们的条件与结论.尽管定理中并没有指明的确切位置，但它们在利用导数解决实际问题与研究函数的性态方面所起的作用仍十分重要.建议在学习过程中借助几何图形，知道几个中值定理的几何解释.3.洛必达法则求极限时，建议参照本章例1中的几点注意，并且和教科书第二章求极限的