2022年八年级下学期期中考试数学考试题（广西桂林市灌阳县）

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解答题

如图，P为正方形ABCD的边BC上一动点（P与B、C不重合），连接AP，过点B作BQ⊥AP交CD于点Q，将△BQC沿BQ所在的直线对折得到△BQC′，延长QC′交BA的延长线于点M．

（1）试探究AP与BQ的数量关系，并证明你的结论；

（2）当AB=3，BP=2PC，求QM的长；

（3）当BP=m，PC=n时，求AM的长．

【答案】（1）AP=BQ，理由参见解析；（2）；（3）．

【解析】试题分析：（1）要证AP=BQ，只需证△PBA≌△QCB即可；

（2）过点Q作QH⊥AB于H，如图．易得QH=BC=AB=3，BP=2，PC=1，然后运用勾股定理可求得AP（即BQ）=，BH=2．易得DC∥AB，从而有∠CQB=∠QBA．由折叠可得∠C′QB=∠CQB，即可得到∠QBA=∠C′QB，即可得到MQ=MB．设QM=x，则有MB=x，MH=x?2．在Rt△MHQ中运用勾股定理就可解决问题；

（3）过点Q作QH⊥AB于H，如图，同（2）的方法求出QM的长，就可得到AM的长．

解：（1）AP=BQ．

理由：∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=BC，∠ABC=∠C=90°，

∴∠ABQ+∠CBQ=90°．

∵BQ⊥AP，∴∠PAB+∠QBA=90°，

∴∠PAB=∠CBQ．

在△PBA和△QCB中，

，

∴△PBA≌△QCB，

∴AP=BQ；

（2）过点Q作QH⊥AB于H，如图．

∵四边形ABCD是正方形，

∴QH=BC=AB=3．

∵BP=2PC，

∴BP=2，PC=1，

∴BQ=AP===，

∴BH===2．

∵四边形ABCD是正方形，

∴DC∥AB，

∴∠CQB=∠QBA．

由折叠可得∠C′QB=∠CQB，

∴∠QBA=∠C′QB，

∴MQ=MB．

设QM=x，则有MB=x，MH=x?2．

在Rt△MHQ中，

根据勾股定理可得x2=（x?2）2+32，

解得x=．

∴QM的长为；

（3）过点Q作QH⊥AB于H，如图．

∵四边形ABCD是正方形，BP=m，PC=n，

∴QH=BC=AB=m+n．

∴BQ2=AP2=AB2+PB2，

∴BH2=BQ2?QH2=AB2+PB2?AB2=PB2，

∴BH=PB=m．

设QM=x，则有MB=QM=x，MH=x?m．

在Rt△MHQ中，

根据勾股定理可得x2=（x?m）2+（m+n）2，

解得x=m+n+，

∴AM=MB?AB=m+n+?m?n=．

∴AM的长为．

解答题

如图，等边△ABC的边长是2，D、E分别为AB、AC的中点，延长BC至点F，使CF=BC，连接CD和EF．

（1）求证：DE=CF；

（2）求EF的长．

【答案】见解析；

【解析】试题分析：（1）直接利用三角形中位线定理得出DEBC，进而得出DE=FC；

（2）利用平行四边形的判定与性质得出DC=EF，进而利用等边三角形的性质以及勾股定理得出EF的长

试题解析：（1）证明：∵D、E分别为AB、AC的中点，∴DEBC，

∵延长BC至点F，使CF=BC，∴DEFC，即DE=CF；

（2）解：∵DEFC，∴四边形DEFC是平行四边形，∴DC=EF，

∵D为AB的中点，等边△ABC的边长是2，∴AD=BD=1，CD⊥AB，BC=2，∴DC=EF=．

填空题

如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若AB=6cm，BC=8cm，则△AEF的周长=______________cm．

【答案】9

【解析】∵四边形ABCD是矩形，

∴∠ABC=90°，BD=AC，BO=OD，

∵AB=6cm，BC=8cm，

∴由勾股定理得：(cm)，

∴DO=5cm，

∵点E.

F分别是AO、AD的中点，

(cm)，

故答案为：2.5.

填空题

如图,在平行四边形ABCD中,已知对角线AC和BD相交于点O,△ABO的周长为17,AB=6,那么对角线AC+BD=_____。

【答案】22

【解析】分析：本题考查的是平行四边形的性质.

解析：因为△ABO的周长为17,AB=6，所以OA+OB=11,∵OA=OC,OB=OD,所以AC+BD=22.

故答案为22.

填空题

某正n边形的一个内角为108°，则n=________．

【答案】5?

【解析】试题分析：易得正n边形的一个外角的度数，正n边形有n个外角，外角和为360°，那么，边数n=360°÷一个外角的度数．∵正n边形的一个内角为108°，∴正n边形的一个外角为180°?108°=72°，

∴n=360°÷72°=5

选择题

如图,在△ABC中,O是AC上一动点,过点O作直线MN∥BC.设MN交∠BCA的平分线于点E,交∠BCA的外角平分线于点F,若点O运动到AC的中点,且∠ACB=()时,则四边形AECF是正方形.

A.30°B.45°C.60°D.90°

【答案】D

【解析】分析：本题考查的是正方形的判定方法，平行线的性质与角平分线的性质.

解析：∵MN∥BC，∴∠OEC=∠ECB,∵CE是∠BCA的平分线，∴∠ECB=∠ECA,∴∠ECA=∠OEC，∴OE=OC,同理OC=OF,∵O是AC的中点，∴四边形AECF是平行四边形，∵∠ACB=90°，∴AC=EF,AC⊥EF,∴边形AECF是正方形.

故选D.

选择题

一个直角三角尺和一把直尺如图放置,如果∠=47°，则∠β的度数是()

A.43°B.47°C.30°D.60°

【答案】A

【解析】试题解析：如图，延长BC交刻度尺的一边于D点，

∵AB∥DE，

∴∠β=∠EDC，

又∵∠CED=∠α=47°，

∠ECD=90°，

∴∠β=∠EDC=90°-∠CED=90°-47°=43°．

故选A．

解答题

如图，点D、B分别在∠A的两边上，C是∠A内一点，且AB=AD，BC=DC，CE⊥AD，CF⊥AB，垂足分别为E、F。

求证：CE=CF．

【答案】证明见解析.

【解析】证明△ABC≌△ADC，求得AC平分∠EAF，再由角平分线的性质即可证明CE=CF．

证明：∵AB=AD，BC=DC，AC=AC，

∴△ABC≌△ADC（SSS）．

∴∠DAC=∠BAC．

又CE⊥AD，CF⊥AB，

∴CE=CF（角平分线上的点到角两边的距离相等）

解答题

（6分）如图,在ABCD中,点E,F分别是边AD,BC的中点,求证:AF=CE。

【答案】见解析

【解析】证明:∵四边形ABCD是平行四边形

∴AD=BC,AD∥BC.

∵点E,F分别是边AD,BC的中点,?

∴AE=CF.

∴四边形AECF是平行四边形

∴AF=CE.

填空题

如图，在矩形ABCD中，已知AB=4，BC=3，矩形在直线l上绕其右下角的顶点B向右旋转90°至图①位置，再绕右下角的顶点继续向右旋转90°至图②位，…，以此类推，这样连续旋转2017次后，顶点A在整个旋转过程中所经过的路程之和是_________。

【答案】3024π．

【解析】试题分析：∵AB=4，BC=3，∴AC=BD=5，转动一次A的路线长是：=2π，转动第二次的路线长是：=π，转动第三次的路线长是：=π，转动第四次的路线长是：0，以此类推，每四次循环，故顶点A转动四次经过的路线长为：+π+2π=6π，2015÷4=503余3，顶点A转动四次经过的路线长为：6π×504=3024π．故答案为：3024π．

选择题

正方形是轴对称图形,它的对称轴共有()

A.1条B.2条C.3条D.4条

【答案】D

【解析】正方形的对称轴是两对角线所在的直线，两对边中点所在的直线，

对称轴共4条．

故选D．

选择题

下列图案中,不是中心对称图形的是()

A.B.C.D.

【答案】B

【解析】根据中心对称图形的定义，易得B.

选择题

如图，平行四边形ABCD的周长为16cm，AC与BD相交于点O，OE⊥AC交AD于E，则△DCE的周长为（

）．

A.4cmB.6cmC.8cmD.10cm

【答案】C

【解析】试题分析：根据平行四边形的性质结合可得AE=CE，再由ABCD的周长为l6cm即可求得结果.

解：∵ABCD的周长为l6cm

∴AD+CD=8cm，AO=CO

∵

∴AE=CE

∴△DCE的周长=CE+DE+CD=AE+DE+CD=AD+CD=8cm

故选C.

解答题

如图,四边形ABCD是菱形,对角线AC,BD相交于点O,DH⊥AB于H,连接OH,求证:∠DHO=∠DCO.

【答案】见解析

【解析】试题分析：根据菱形的对角线互相平分可得OD=OB，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OH=OB，然后根据等边对等角求出∠OHB=∠OBH，根据两直线平行，内错角相等求出∠OB

H=∠ODC，然后根据等角的余角相等证明即可．

试题解析：∵四边形ABCD是菱形，

∴OD=OB，∠COD=90°，

∵DH⊥AB，

∴OH=BD=OB，

∴∠OHB=∠OBH，

又∵AB∥CD，

∴∠OBH=∠ODC，

在Rt△COD中，∠ODC+∠DCO=90°，

在Rt△DHB中，∠DHO+∠OHB=90°，

∴∠DHO=∠DCO．

填空题

直角三角形两锐角平分线相交所成的角的度数为_________。

【答案】45°或135°

【解析】分析：本题考查的是三角形的角平分线的性质.

解析：因为直角三角形的两个锐角的和为90°，所以两个锐角的角平分线的相交所形成的角是45°或135°.

故答案为45°或135°.

选择题

下列说法正确的是()

A.对角线相等的四边形是平行四边形

B.对角线互相平分的四边形是平行四边形

C.对角线互相垂直的四边形是平行四边形

D.对角线互相垂直且相等的四边形是平行四边形

【答案】B

【解析】分析：本题考查的是平行四边形的判定方法.

解析：对角线互相平分的四边形是平行四边形，故选B.

故选B.

选择题

在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,CD是中线,则CD的长为()

A.2.5B.3C.4D.5

【答案】A

【解析】分析：本题考查的是直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.

解析：∵∠C=90°,AC=3,BC=4,∴AB=5，∵CD是中线，∴CD=2.5.

故选A.

解答题

如图是4×4正方形网格,请在其中选取一个白色的单位正方形并涂黑,使图中黑色部分是一个中心对称图形.

【答案】如图所示：

【解析】试题分析：根据中心对称图形的概念即可得到结果.

如图所示：

填空题

如图,直角三角形ABC中,∠ACB=90°,CD是高,∠A=30°,AB=4,则BD=______。

【答案】1

【解析】分析：本题考查的是直角三角形30度所对的直角边等于斜边的一半.

解析：∵∠ACB=90°，∠A=30°,AB=4，∴BC=2,∠B=60°，∵CD是高，∴∠BCD=30°，∴BD=1.

故答案为1.

选择题

下列命题中错误的是（）

A.平行四边形的对角线互相平分B.菱形的对角线互相垂直

C.同旁内角互补D.矩形的对角线相等

【答案】C

【解析】试题分析：根据平行四边形的性质对A进行判断；根据菱形的性质对B进行判断；根据平行线的性质对C进行判断；根据矩形的性质对D进行判断．

解：A、平行四边形的对角线互相平分，所以A选项为真命题；

B、菱形的对角线互相垂直，所以B选项为真命题；

C、两直线平行，同旁内角互补，所以C选项为假命题；

D、矩形的对角线相等，所以D选项为真命题．

故选C．

选择题

若顺次连接四边形ABCD各边中点所得四边形是矩形，则四边形ABCD一定是（）

A.矩形B.菱形

C.对角线互相垂直的四边形D.对角线相等的四边形

【答案】C

【解析】如图所示，四边形EFGH是矩形，且E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，根据三角形中位线定理得：

EH∥FG∥BD，EF∥HG∥AC；

∵四边形EFGH是矩形，即EF⊥FG，

∴AC⊥BD，

所以，四边形EFGH的对角线互相垂直.

故选B．

解答题

如图,∠A=∠B=90°,E是AB上的一点,且AE=BC,∠1=∠2.

(1)求证：Rt△ADE与Rt△BEC全等;

(2)求证：△CDE是直角三角形.

【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析.

【解析】试题分析：(1)本题根据已知得出DE=CE，利用HL定理得出两个三角形全等；(2)利用全等三角形的性质得出对应角相等，利用等角的余角相等得出∠DEC=90°即可.

试题解析：

(1)全等.理由是:

∵∠1=∠2,

∴DE=CE?

.∵∠A=∠B=90°,AE=BC,

∴Rt△ADE≌Rt△BEC(HL).

(2)是直角三角形.理由是:

∵Rt△ADE≌Rt△BEC,

∴∠AED=∠BCE.

∵∠ECB+∠BEC=90°,

∴∠AED+∠BEC=90°.

∴∠DEC=90°,

∴△CDE是直角三角形

选择题

如图,OP=1,过点P作PP1⊥OP且PP1=1,得OP1=;再过点P1作P1P2⊥OP1且P1P2=1,得OP2=;又过点P2作P2P3⊥OP2且P2P3=1,得OP3=2……依此法继续作下去,得OP2017=()

A.B.C.D.

【答案】D

【解析】分析：本题考查的是勾股定理，依次求出OP的长，找出规律即可.

解析：OP1=，OP2=，……，∴OP2017=.

故选D.

选择题

如图,正方形小方格边长为1,则网格中的△ABC是()

A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.以上答案都不对

【答案】A

【解析】