平行四边形与梯形练习题解析

平行四边形与梯形练习题解析在初中几何的学习旅程中，平行四边形与梯形作为两类特殊且重要的四边形，占据着举足轻重的地位。它们不仅自身拥有丰富的性质与判定方法，更是后续学习更复杂几何图形的基础。掌握这些图形的特性，并能熟练运用它们解决问题，是几何入门的关键一步。本文将通过对一些典型练习题的深度解析，帮助同学们巩固所学知识，提升解题技巧与思维能力。一、知识要点回顾在进入习题解析之前，我们先来简要回顾一下平行四边形与梯形的核心知识点，这是解决一切相关问题的基石。（一）平行四边形1.定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。2.性质：*对边平行且相等；*对角相等，邻角互补；*对角线互相平分；*是中心对称图形，对称中心是对角线的交点。3.判定：*两组对边分别平行的四边形是平行四边形；*两组对边分别相等的四边形是平行四边形；*一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；*两组对角分别相等的四边形是平行四边形；*对角线互相平分的四边形是平行四边形。（二）梯形1.定义：只有一组对边平行的四边形叫做梯形。平行的两边叫做梯形的底，不平行的两边叫做梯形的腰。2.等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形。*性质：等腰梯形同一底上的两个角相等；等腰梯形的两条对角线相等；等腰梯形是轴对称图形，过两底中点的直线是它的对称轴。*判定：两腰相等的梯形是等腰梯形；同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形；对角线相等的梯形是等腰梯形。3.直角梯形：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形。掌握这些定义、性质和判定定理，是我们解决后续习题的“武器库”。在解题时，要善于从题目条件中提取关键信息，联想到相关的定理，并尝试构建已知与未知之间的桥梁。二、平行四边形练习题解析例题1：已知平行四边形ABCD中，∠A比∠B小20°，求平行四边形ABCD各内角的度数。解析：这道题主要考查平行四边形的角的性质。我们知道，平行四边形的邻角互补，即∠A+∠B=180°。题目中又给出∠A比∠B小20°，即∠B-∠A=20°。我们可以设∠A的度数为x，则∠B的度数为x+20°。根据邻角互补的性质，可列出方程：x+(x+20°)=180°解这个方程：2x+20°=180°=>2x=160°=>x=80°所以，∠A=80°，∠B=80°+20°=100°。又因为平行四边形的对角相等，所以∠C=∠A=80°，∠D=∠B=100°。因此，平行四边形ABCD各内角的度数分别为80°、100°、80°、100°。例题2：如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，已知AB=6cm，△AOB的周长为15cm，求对角线AC与BD的和。解析：首先，我们回顾平行四边形对角线的性质：平行四边形的对角线互相平分。所以，点O是AC和BD的中点，即AO=OC，BO=OD。题目告诉我们AB=6cm，△AOB的周长为15cm。△AOB的周长是AB+AO+BO，所以AO+BO=△AOB的周长-AB=15cm-6cm=9cm。而对角线AC=AO+OC=2AO（因为AO=OC），同理BD=BO+OD=2BO。所以，AC+BD=2AO+2BO=2(AO+BO)=2×9cm=18cm。因此，对角线AC与BD的和为18cm。这道题巧妙地利用了平行四边形对角线互相平分的性质，将所求的对角线之和转化为已知条件中三角形周长的一部分。例题3：如图，已知E、F是平行四边形ABCD对角线AC上的两点，且AE=CF。求证：四边形BFDE是平行四边形。解析：要证明四边形BFDE是平行四边形，我们有多种判定方法可供选择，比如证明两组对边分别平行、两组对边分别相等、一组对边平行且相等，或者对角线互相平分等。观察图形，连接BD交AC于点O（这是一个常用的辅助线添加方法，利用平行四边形本身的对角线）。因为四边形ABCD是平行四边形，所以对角线AC与BD互相平分，即AO=CO，BO=DO。已知AE=CF，所以AO-AE=CO-CF（等量减等量，差相等），即EO=FO。现在，在四边形BFDE中，对角线EF和BD相交于点O，我们已经得出EO=FO，BO=DO。根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”这一判定定理，可以直接得出四边形BFDE是平行四边形。当然，我们也可以通过证明△ABE≌△CDF，得到BE=DF，同理证明△ADE≌△CBF得到DE=BF，再利用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”来证明。但相比之下，利用对角线互相平分的方法更为简洁。解题时，选择最简便的方法是提高效率的关键。三、梯形练习题解析例题4：如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，∠B=60°，AD=4cm，BC=10cm。求梯形ABCD的腰长。解析：等腰梯形的问题，常常通过作高将其转化为直角三角形和矩形来解决。这是梯形中非常重要的“转化”思想。过点A作AE⊥BC于点E，过点D作DF⊥BC于点F。这样就得到了一个矩形AEFD和两个直角三角形ABE与DCF。因为AD∥BC，AE和DF都是梯形的高，所以AE=DF，EF=AD=4cm。由于梯形ABCD是等腰梯形，AB=CD，∠B=∠C=60°，且∠AEB=∠DFC=90°，所以Rt△ABE≌Rt△DCF（AAS或HL）。因此，BE=CF。又因为BE+EF+FC=BC，所以2BE+AD=BC，即2BE=BC-AD=10cm-4cm=6cm，所以BE=3cm。在Rt△ABE中，∠B=60°，则∠BAE=30°。在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。所以，BE=1/2AB。因此，AB=2BE=2×3cm=6cm。所以，梯形ABCD的腰长为6cm。这里，通过作高，将等腰梯形分割成熟悉的直角三角形和矩形，问题就迎刃而解了。例题5：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，E为AD的中点。求证：EB=EC。解析：要证明EB=EC，我们可以考虑证明△EAB≌△EDC。已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，所以梯形ABCD是等腰梯形。根据等腰梯形的性质，同一底上的两个角相等，所以∠A=∠D。又因为E为AD的中点，所以AE=DE。在△EAB和△EDC中，我们有：AB=DC（已知），∠A=∠D（已证），AE=DE（已证）。所以，△EAB≌△EDC（SAS）。因此，对应边EB=EC。这道题主要考查了等腰梯形的性质以及全等三角形的判定与性质。四、解题方法总结与提升通过以上例题的解析，我们可以总结出一些解决平行四边形与梯形问题的常用方法和思路：1.“性质”与“判定”的灵活运用：看到平行四边形，要联想到它的所有性质；要证明一个四边形是平行四边形或特殊梯形，则要准确选用判定定理。2.辅助线的添加技巧：*平行四边形：遇对角线问题，常连接对角线或利用对角线的交点。*梯形：这是重点。常用的辅助线有：*作高：将梯形转化为直角三角形和矩形（如例4）。*平移一腰：将梯形转化为一个三角形和一个平行四边形，从而将分散的条件集中。*平移对角线：也是将梯形转化为三角形和平行四边形，特别是在涉及对角线长度或关系时。*延长两腰交于一点：将梯形转化为两个相似三角形。3.转化思想：将梯形问题转化为三角形、平行四边形或矩形问题来解决，将未知问题转化为已知问题，这是几何学习中非常重要的思想方法。4.方程思想：在涉及角度计算、边长计算时，若直接求解困难，可以设未知数，根据已知条件和几何性质列出方程求解（如例1）。5.规范书写与逻辑推理：证明题要做到步步有据，条理清晰，书写规范。计算题也要注意步骤的完整性。解决几何问题，不仅需要扎实的基础知