2025-2026学年甘肃省兰州市贺阳教育集团兰州校区高中部联考高二上学期12月月考数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1甘肃省兰州市贺阳教育集团兰州校区高中部联考2025-2026学年高二上学期12月月考数学试卷一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.在等差数列中，，则公差（）A. B. C.1 D.2【答案】D【解析】由题知公差.故选:D.2.两条平行直线与（为常数）之间的距离等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为直线与平行，所以，所以即，所以两条平行直线与之间的距离为.故选：D.3.圆与的公共弦长为（）A. B. C. D.4【答案】A【解析】圆：①，所以，.圆：②，所以，.因为，所以圆与圆相交.因此公共弦所在直线的方程为①②：，圆的圆心到公共弦的距离为，即公共弦长为.故选：A.4.已知圆，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（）A.1 B.2C.3 D.4【答案】B【解析】圆化为，所以圆心坐标为，半径为，设，当过点的直线和直线垂直时，圆心到过点的直线的距离最大，所求的弦长最短，此时根据弦长公式得最小值为.故选：B.5.圆，圆，则两圆的一条公切线方程为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由两圆方程得：圆心，，半径，两圆圆心距，，即两圆外离，公切线共有条；两圆半径相同，两圆两条公切线经过中点，两条公切线与平行，经过中点的公切线斜率显然存在，可设为：，，解得：或，即公切线方程为：或；，与平行的公切线方程为，即，，解得：，即公切线方程为或；综上所述：两圆公切线方程为：或或或.故选：C.6.已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】依题意,可得时，解得.故选：A.7.过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（）A.1 B. C. D.【答案】B【解析】方法一：因为，即，可得圆心，半径，过点作圆C的切线，切点为，因为，则，可得，则，，即为钝角，所以；法二：圆的圆心，半径，过点作圆C的切线，切点为，连接，可得，则，因为且，则，即，解得，即为钝角，则，且为锐角，所以；方法三：圆的圆心，半径，若切线斜率不存在，则切线方程为，则圆心到切点的距离，不合题意；若切线斜率存在，设切线方程为，即，则，整理得，且设两切线斜率分别为，则，可得，所以，即，可得，则，且，则，解得.故选：B.8.已知直线与交于两点，设弦的中点为为坐标原点，则的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】即，则圆心为，半径，直线，令，解得，即直线恒过定点，又，所以点在圆内，设，，，由，消去整理得，显然，则，则，所以，，则，则，又直线的斜率不为，所以不过点，所以动点的轨迹方程为（除点外），圆的圆心为，半径，又，所以，即，即的取值范围为.故选：D.二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）9.已知圆，直线.则以下命题正确的有（）A.直线l恒过定点 B.y轴被圆C截得的弦长为C.直线l与圆C恒相交 D.直线l被圆C截得弦长最长时，直线的方程为【答案】CD【解析】对于A，直线，即，由，解得，故直线过定点，故A错误；对于B,圆，当时，，故y轴被圆C截得的弦长为，故B错误；对于C，直线过定点，,故点在圆内，则直线l与圆C恒相交，故C正确；对于D，当直线l被圆C截得弦长最长时，直线过圆心，则，解得，故直线方程为：，即，故D正确.故选：CD.10.等差数列中，．记数列前项和为，下列选项正确的是（）A.数列的公差为2 B.取最小值时，C. D.数列的前10项和为50【答案】AD【解析】对A，设等差数列的公差为，则由题意知，解得，故A正确；对B，，，则当时，取最小值，故B错误；对C，，，则，故C错误；对D，数列的前10项和为，故D正确.故选：AD.11.已知圆，则（）A.圆与直线必有两个交点B.圆上存在4个点到直线的距离都等于1C.若圆与圆恰有三条公切线，则D.已知动点在直线上，过点向圆引两条切线，，为切点，则的最小值为8【答案】ACD【解析】对于A，将直线整理得，由，解得，所以直线过定点，因为，所以该定点在圆内，则圆与直线必有两个交点，故A正确；对于B，圆的圆心到直线的距离为，所以过圆心且与直线平行的直线与圆相交有两个点到直线的距离为1，与直线平行且与圆相切，并且与直线在圆心同侧的直线到的距离为1，所以只有三个点满足题意，故B错误；对于C，将圆化成标准形式为，因两圆有三条公切线，所以两圆外切，所以，解得，故C正确；对于D，连接，，，因为，为切点，所以，，所以，且当最小时，最小，所以当与直线垂直时，，又因为半径为2，所以，，又，，所以垂直平分，所以，所以，故D正确.故选：ACD.三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在答题卡相应的位置上．）12.在等比数列中，已知，则______．【答案】6【解析】设数列的公比为，由于，则，若，则矛盾，则，此时，符合．所以.故答案为：.13.点在椭圆上，是椭圆的一个焦点，为的中点，，则_________.【答案】4【解析】如图，根据椭圆的对称性，不妨设为左焦点，为右焦点，由椭圆，得，，是的中点，是的中点，为的中位线，，由椭圆的定义得．故答案为：4．14.在平面直角坐标系中，动点到、两点的距离的平方和为10，则的取值范围为______.【答案】【解析】由动点到点距离的平方和为10，得，则点轨迹方程为，点的轨迹是以原点为圆心，半径的圆，可看作是点与点连线的斜率，设直线，即，则圆心到直线的距离，由直线与圆有公共点，得圆心到直线的距离，整理得，解得或，所以的取值范围为．故答案为：四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15.写出下列各圆的方程：（1）圆心在原点的单位圆；（2）圆心为，半径是5；（3）圆心为，经过点；（4）圆心在x轴上，经过与两点．解：（1）圆心为，半径为1，圆的方程为．（2）圆心为，半径为5，圆的方程为．（3）圆心为，半径为，圆的方程为．（2）和两点构成的线段的中垂线所在的方程为，由于圆心在轴上，所以圆心为，所以半径为，所以圆的方程为．16.已知点，圆.（1）若过点的直线l与圆相切，求直线的方程；（2）若直线与圆相交于两点，弦的长为，求a的值.解：（1）由题意，圆心的坐标为，半径，且，即点在圆外，当过点的直线斜率不存在时，直线为，显然与圆相切，当过点的直线存在斜率k时，设，即，由题意知，解得，直线l的方程为，故过点M的圆的切线方程为或.（2）圆心到直线的距离为，则，所以，解得.17.已知椭圆的长轴长为，两焦点的坐标分别为和．（1）求椭圆的标准方程；（2）若为椭圆上一点，轴，求的面积．解：（1）椭圆的长轴长为,两焦点的坐标分别为和则,且解得所以椭圆的标准方程为（2）椭圆上一点,轴所以点的横坐标为,代入椭圆方程可求得点的纵坐标为不妨设点在轴上方,则所以.18.记是公差不为0的等差数列的前n项和，若．（1）求数列的通项公式；（2）求使成立的n的最小值．解：(1)由等差数列的性质可得：，则：，设等差数列的公差为，从而有：，，从而：，由于公差不为零，故：，数列的通项公式为：.(2)由数列的通项公式可得：，则：，则不等式即：，整理可得：，解得：或，又为正整数，故的最小值为.19.已知直线，圆.（1）证明：直线l与圆C相交；（2）设l与C的两个交点分别为A、B，弦AB的中点为M，求点M的轨迹方程；（3）在（2）的条件下，设圆C在点A处的切线为，在点B处的切线为，与的交点为Q.试探究：当m变化时，点Q是否恒在一条定直线上？若是，请求出这条直线的方程；若不是，说明理由.（1）证明：直线过定点，代入得：，故在圆内，故直线l与圆C相交；（2）解：圆的圆心为，设点，由垂径定理得：，即，化简得：，点M的轨迹方程为：（3）解：设点，由题意得：Q、A、B、C四点共圆，且圆的方程为：，即，与圆C的方程联立，消去二次项得：，即为直线的方程，因为直线过定点，所以，解得：，所以当m变化时，点Q恒在直线上.甘肃省兰州市贺阳教育集团兰州校区高中部联考2025-2026学年高二上学期12月月考数学试卷一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.在等差数列中，，则公差（）A. B. C.1 D.2【答案】D【解析】由题知公差.故选:D.2.两条平行直线与（为常数）之间的距离等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为直线与平行，所以，所以即，所以两条平行直线与之间的距离为.故选：D.3.圆与的公共弦长为（）A. B. C. D.4【答案】A【解析】圆：①，所以，.圆：②，所以，.因为，所以圆与圆相交.因此公共弦所在直线的方程为①②：，圆的圆心到公共弦的距离为，即公共弦长为.故选：A.4.已知圆，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（）A.1 B.2C.3 D.4【答案】B【解析】圆化为，所以圆心坐标为，半径为，设，当过点的直线和直线垂直时，圆心到过点的直线的距离最大，所求的弦长最短，此时根据弦长公式得最小值为.故选：B.5.圆，圆，则两圆的一条公切线方程为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由两圆方程得：圆心，，半径，两圆圆心距，，即两圆外离，公切线共有条；两圆半径相同，两圆两条公切线经过中点，两条公切线与平行，经过中点的公切线斜率显然存在，可设为：，，解得：或，即公切线方程为：或；，与平行的公切线方程为，即，，解得：，即公切线方程为或；综上所述：两圆公切线方程为：或或或.故选：C.6.已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】依题意,可得时，解得.故选：A.7.过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（）A.1 B. C. D.【答案】B【解析】方法一：因为，即，可得圆心，半径，过点作圆C的切线，切点为，因为，则，可得，则，，即为钝角，所以；法二：圆的圆心，半径，过点作圆C的切线，切点为，连接，可得，则，因为且，则，即，解得，即为钝角，则，且为锐角，所以；方法三：圆的圆心，半径，若切线斜率不存在，则切线方程为，则圆心到切点的距离，不合题意；若切线斜率存在，设切线方程为，即，则，整理得，且设两切线斜率分别为，则，可得，所以，即，可得，则，且，则，解得.故选：B.8.已知直线与交于两点，设弦的中点为为坐标原点，则的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】即，则圆心为，半径，直线，令，解得，即直线恒过定点，又，所以点在圆内，设，，，由，消去整理得，显然，则，则，所以，，则，则，又直线的斜率不为，所以不过点，所以动点的轨迹方程为（除点外），圆的圆心为，半径，又，所以，即，即的取值范围为.故选：D.二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）9.已知圆，直线.则以下命题正确的有（）A.直线l恒过定点 B.y轴被圆C截得的弦长为C.直线l与圆C恒相交 D.直线l被圆C截得弦长最长时，直线的方程为【答案】CD【解析】对于A，直线，即，由，解得，故直线过定点，故A错误；对于B,圆，当时，，故y轴被圆C截得的弦长为，故B错误；对于C，直线过定点，,故点在圆内，则直线l与圆C恒相交，故C正确；对于D，当直线l被圆C截得弦长最长时，直线过圆心，则，解得，故直线方程为：，即，故D正确.故选：CD.10.等差数列中，．记数列前项和为，下列选项正确的是（）A.数列的公差为2 B.取最小值时，C. D.数列的前10项和为50【答案】AD【解析】对A，设等差数列的公差为，则由题意知，解得，故A正确；对B，，，则当时，取最小值，故B错误；对C，，，则，故C错误；对D，数列的前10项和为，故D正确.故选：AD.11.已知圆，则（）A.圆与直线必有两个交点B.圆上存在4个点到直线的距离都等于1C.若圆与圆恰有三条公切线，则D.已知动点在直线上，过点向圆引两条切线，，为切点，则的最小值为8【答案】ACD【解析】对于A，将直线整理得，由，解得，所以直线过定点，因为，所以该定点在圆内，则圆与直线必有两个交点，故A正确；对于B，圆的圆心到直线的距离为，所以过圆心且与直线平行的直线与圆相交有两个点到直线的距离为1，与直线平行且与圆相切，并且与直线在圆心同侧的直线到的距离为1，所以只有三个点满足题意，故B错误；对于C，将圆化成标准形式为，因两圆有三条公切线，所以两圆外切，所以，解得，故C正确；对于D，连接，，，因为，为切点，所以，，所以，且当最小时，最小，所以当与直线垂直时，，又因为半径为2，所以，，又，，所以垂直平分，所以，所以，故D正确.故选：ACD.三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在答题卡相应的位置上．）12.在等比数列中，已知，则______．【答案】6【解析】设数列的公比为，由于，则，若，则矛盾，则，此时，符合．所以.故答案为：.13.点在椭圆上，是椭圆的一个焦点，为的中点，，则_________.【答案】4【解析】如图，根据椭圆的对称性，不妨设为左焦点，为右焦点，由椭圆，得，，是的中点，是的中点，为的中位线，，由椭圆的定义得．故答案为：4．14.在平面直角坐标系中，动点到、两点的距离的平方和为10，则的取值范围为______.【答案】【解析】由动点到点距离的平方和为10，得，则点轨迹方程为，点的轨迹是以原点为圆心，半径的圆，可看作是点与点连线的斜率，设直线，即，则圆心到直线的距离，由直线与圆有公共点，得圆心到直线的距离，整理得，解得或，所以的取值范围为．故答案为：四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15.写出下列各圆的方程：（1）圆心在原点的单位圆；（2）圆心为，半径是5；（3）圆心为，经过点；（4）圆心在x轴上，经过与两点．解：（1）圆心为，半径为1，圆的方程为．（2）圆心为，半径为5，圆的方程为．（3）圆心为，半径为，圆的方程为．（2）和两点构成的线段的中垂线所在的方程为，由于圆心在轴上，所以圆心为，所以半径为，所以圆的方程为．16.已知点，圆.（1）若过点的直线l与圆相切，求直线的方程；（2）若直线与圆相交于两点，弦的长为，求a的值.解：（1）由题意，圆心的坐标为，半径，且，即点在圆外，当过点的直线斜率不存在时，直线