2025-2026学年广东省八校联盟高一上学期教学质量检测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1广东省八校联盟2025-2026学年高一上学期教学质量检测数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】，，.故选：D.2.已知，，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】，，，，，.故选：D.3.不等式的解集为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由不等式的性质，等价于或.故选：D.4.“”是命题“，”为真命题的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由，可得对，，又因为，所以，若，则成立，即，成立；反之，若，成立，则，不能推出.所以“”是命题“，”为真命题的充分不必要条件.故选：A.5.已知关于的一元二次不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由题设知方程有两根2和3，故由韦达定理得则，因此，解得．故选：A．6.若，则下列不等式成立的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】，可得，可得，并且，可得，.，可得：.故选：B.7.若命题“”是假命题，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.或【答案】A【解析】命题“”是假命题，此命题的否定为真命题，即：命题“”是真命题.当时，不等式转化为恒成立，则满足题意；当时，则有，解得.综上可知，实数的取值范围为.故选：A.8.对于任意两个数，定义某种运算“”如下：①当同为奇数或同为偶数时，；②当一奇一偶时，，则集合的子集个数是个（）A. B. C. D.【答案】B【解析】当都是偶数或都是奇数时，则或或或或或或或或；当是偶数，是奇数时，，或；当是奇数，是偶数时，，或；集合中含有个元素，它的子集个数为，故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.设全集，若集合，则（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】对于A，因为集合，所以，故A正确；对于B，因为集合，所以，故B正确；对于C，因为集合，所以，故C正确；对于D，因为集合，如图，①表示，所以，故D错误.故选：ABC.10.若正实数满足，则下列说法正确的是（）A.有最小值为 B.有最小值为C.有最小值为 D.有最大值为【答案】BC【解析】对于A：因为，则，当且仅当，即时取等号，故A错误，对于B，，当且仅当，即时取等号，故B正确，对于C：因为，则，当且仅当，即时取等号，故C正确，对于D：因为，当且仅当，即，时取等号，这与均为正实数矛盾，故D错误，故选：BC.11.定义：如果关于的一元二次方程有两个不同的实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则称这样的方程为“和谐方程”.下列命题正确的是（）A.方程是“和谐方程”B.若关于的方程是“和谐方程”，则C.若关于的方程是“和谐方程”，则函数的零点为和D.若点在反比例函数的图象上，则关于的方程是“和谐方程”【答案】BCD【解析】对于A，，解得，，所以不是“和谐方程”，A错误；对于B，若关于的方程是“和谐方程”，不妨设实数解为，，且，则，，解得，B正确；对于C，若关于的方程是“和谐方程”，不妨设实数解为，，且，则，解得，，由，得，则，令，解得或，所以函数的零点为和，C正确；对于D，点在反比例函数的图象上，则，代入方程，可得，解得，，则，所以方程是“和谐方程”，D正确.故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知，则的最小值为______.【答案】【解析】，，，当且仅当时，等号成立，故的最小值为.故答案为：.13.已知集合，且，则的值为_________.【答案】0【解析】因为，所以，解得或，当时，，而集合的元素具有互异性，故，所以，故答案为：0.14.若集合，则实数的取值范围是______.【答案】【解析】由题意，集合，若时，集合，满足题意；若时，要使得集合，则满足，解得，综上可得，实数的取值范围是.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.15.已知集合，．（1）当时，求和；（2）若，求实数a的取值的集合．解：（1）当时，，所以，,；（2），，则，解得：．故实数取值的集合为.16.设命题：关于的方程有两个不相等的实数根，：关于的方程无实数根．（1）若为真，求实数的取值范围；（2）若、有且仅有一个为真命题，求实数m的取值范围．解：（1）对于命题：关于x的方程有两个不相等的实数根所以，即或，因为真，故实数的取值范围为（2）对于命题，因关于x的方程无实数根，所以，即．因为真，故实数m的取值范围为．、有且仅有一个为真命题，所以、q一真一假，当真假时，，即或；当假真时，，即．综上所述：实数的取值范围为．17.如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园.设菜园的长为米，宽为米.（1）若菜园面积为36平方米，则，为何值时，所用篱笆总长最小？（2）若使用的篱笆总长为30米，求的最小值.解：（1）由题意得，，所用篱笆总长为.因为，当且仅当时，即，时等号成立.所以菜园的长为，宽为时，所用篱笆总长最小.（2）由题意得，，，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值是.18.设是由若干正整数组成的集合，且存在3个不同的元素，使得，则称为“等差集”.（1）若集合，，且是“等差集”，用列举法表示所有满足条件的；（2）若集合是“等差集”，求的值.解：（1）因为集合，，存在3个不同的元素，使得，所以集合中必然同时含有元素或，则或或（2）因为集合是“等差集”，所以或或，计算可得或或或或，又因为集合的元素为正整数，所以为正整数，所以，经检验，当时，集合，满足题意，故.19.设函数（1）若，求的解集．（2）若不等式对一切实数恒成立，求的取值范围；（3）解关于的不等式：．解：（1）由函数，若，可得，又由，即不等式，即，因为，且函数对应的抛物线开口向上，所以不等式的解集为，即的解集为.（2）由对一切实数恒成立，等价于恒成立，当时，不等式可化为，不满足题意．当时，则满足，即，解得，所以的取值范围是．（3）依题意，等价于，当时，不等式可化为，所以不等式的解集为．当时，不等式可化为，此时，所以不等式的解集为．当时，不等式化为，①当时，，不等式的解集为；②当时，，不等式的解集为或；③当时，，不等式的解集为或；综上，当时，原不等式的解集为或；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为或；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为．广东省八校联盟2025-2026学年高一上学期教学质量检测数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】，，.故选：D.2.已知，，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】，，，，，.故选：D.3.不等式的解集为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由不等式的性质，等价于或.故选：D.4.“”是命题“，”为真命题的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由，可得对，，又因为，所以，若，则成立，即，成立；反之，若，成立，则，不能推出.所以“”是命题“，”为真命题的充分不必要条件.故选：A.5.已知关于的一元二次不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由题设知方程有两根2和3，故由韦达定理得则，因此，解得．故选：A．6.若，则下列不等式成立的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】，可得，可得，并且，可得，.，可得：.故选：B.7.若命题“”是假命题，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.或【答案】A【解析】命题“”是假命题，此命题的否定为真命题，即：命题“”是真命题.当时，不等式转化为恒成立，则满足题意；当时，则有，解得.综上可知，实数的取值范围为.故选：A.8.对于任意两个数，定义某种运算“”如下：①当同为奇数或同为偶数时，；②当一奇一偶时，，则集合的子集个数是个（）A. B. C. D.【答案】B【解析】当都是偶数或都是奇数时，则或或或或或或或或；当是偶数，是奇数时，，或；当是奇数，是偶数时，，或；集合中含有个元素，它的子集个数为，故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.设全集，若集合，则（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】对于A，因为集合，所以，故A正确；对于B，因为集合，所以，故B正确；对于C，因为集合，所以，故C正确；对于D，因为集合，如图，①表示，所以，故D错误.故选：ABC.10.若正实数满足，则下列说法正确的是（）A.有最小值为 B.有最小值为C.有最小值为 D.有最大值为【答案】BC【解析】对于A：因为，则，当且仅当，即时取等号，故A错误，对于B，，当且仅当，即时取等号，故B正确，对于C：因为，则，当且仅当，即时取等号，故C正确，对于D：因为，当且仅当，即，时取等号，这与均为正实数矛盾，故D错误，故选：BC.11.定义：如果关于的一元二次方程有两个不同的实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则称这样的方程为“和谐方程”.下列命题正确的是（）A.方程是“和谐方程”B.若关于的方程是“和谐方程”，则C.若关于的方程是“和谐方程”，则函数的零点为和D.若点在反比例函数的图象上，则关于的方程是“和谐方程”【答案】BCD【解析】对于A，，解得，，所以不是“和谐方程”，A错误；对于B，若关于的方程是“和谐方程”，不妨设实数解为，，且，则，，解得，B正确；对于C，若关于的方程是“和谐方程”，不妨设实数解为，，且，则，解得，，由，得，则，令，解得或，所以函数的零点为和，C正确；对于D，点在反比例函数的图象上，则，代入方程，可得，解得，，则，所以方程是“和谐方程”，D正确.故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知，则的最小值为______.【答案】【解析】，，，当且仅当时，等号成立，故的最小值为.故答案为：.13.已知集合，且，则的值为_________.【答案】0【解析】因为，所以，解得或，当时，，而集合的元素具有互异性，故，所以，故答案为：0.14.若集合，则实数的取值范围是______.【答案】【解析】由题意，集合，若时，集合，满足题意；若时，要使得集合，则满足，解得，综上可得，实数的取值范围是.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.15.已知集合，．（1）当时，求和；（2）若，求实数a的取值的集合．解：（1）当时，，所以，,；（2），，则，解得：．故实数取值的集合为.16.设命题：关于的方程有两个不相等的实数根，：关于的方程无实数根．（1）若为真，求实数的取值范围；（2）若、有且仅有一个为真命题，求实数m的取值范围．解：（1）对于命题：关于x的方程有两个不相等的实数根所以，即或，因为真，故实数的取值范围为（2）对于命题，因关于x的方程无实数根，所以，即．因为真，故实数m的取值范围为．、有且仅有一个为真命题，所以、q一真一假，当真假时，，即或；当假真时，，即．综上所述：实数的取值范围为．17.如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园.设菜园的长为米，宽为米.（1）若菜园面积为36平方米，则，为何值时，所用篱笆总长最小？（2）若使用的篱笆总长为30米，求的最小值.解：（1）由题意得，，所用篱笆总长为.因为，当且仅当时，即，时等号成立.所以菜园的长为，宽为时，所用篱笆总长最小.（2）由题意得，，，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值是.18.设是由若干正整数组成的集合，且存在3个不同的元素，使得，则称为“等差集”.（1）若集合，，且是“等差集”，用列举法表示所有满足条件的；（2）若集合是“等差集”，求的值.解：（1）因为集合，，存在3个不同的元素，使得，所以集合中必然同时含有元素或，则或或（2）因为集合是“等差集”，所以或或，计算可得或或或或，又因为集合的元素为正整数，所以为正整数，所以，经检验，当时，集合，满足题意，故.19.设函数（1）若，求的解集．（2）若不等式对一切实数恒成立，求的取值范围；（3）解关于的不等式：．