2025-2026学年广东省佛山市七校高二上学期12月月考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1广东省佛山市七校2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.双曲线的虚轴长为（）A.4 B.2 C.8 D.4【答案】A【解析】双曲线的虚半轴长，所以该双曲线的虚轴长为.故选：A.2.已知空间中三点共线，则（）A.2 B.0 C.1 D.-1【答案】B【解析】因为三点共线，所以，因为，所以，解得.故选：B.3.圆与圆的位置关系为（）A.外切 B.相交C.内切 D.内含【答案】D【解析】由题意，，，所以两圆的圆心坐标分别为，两圆的半径分别为4，10，由，所以两圆内含.故选：D.4.若直线与互相垂直，则（）A. B. C.4 D.1【答案】C【解析】由题意知，所以.故选：C.5.已知随机事件满足，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，即，所以.故选：C.6.已知双曲线的两个焦点为，双曲线上有一点，若，则（）A.10 B.2 C.2或10 D.14【答案】A【解析】因为双曲线，所以，故，即，由双曲线的定义知，，所以或，当时，,不合题意，舍去.故.故选：A.7.一条沿直线传播的光线经过点，且在轴上的截距为，然后被直线反射，则反射光线所在直线的方程为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】入射光线所在直线的方程为，即，由解得，即入射点的坐标为，设关于直线对称的点为，则，解得，即，因为反射光线所在直线经过入射点和点，所以反射光线所在直线的斜率为，所以反射光线所在直线的方程为，即．故选：B．8.如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，过点的平面分别与棱、、交于点、、，若，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】设，连接，则．因为，即，故，因为、、、四点共面，且、不共线，存在、，使得，所以，由空间向量的基本定理可得，解得，所以.故选：A.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.关于椭圆，下列选项正确的是（）A.椭圆的长轴长为B.椭圆的一个顶点为C.椭圆的焦距为D.椭圆的离心率为【答案】BD【解析】由椭圆的方程可得，所以，所以椭圆的长轴长为，故A错误；短轴端点为，则一个顶点为，故B正确；因为，所以椭圆焦距为，故C错误；离心率为，故D正确.故选：BD.10.先后抛掷两枚质地均匀骰子，则（）A.事件“第一枚朝上的点数大于2”的概率是B.事件“第一枚朝上的点数为偶数”与“第二枚朝上的点数为奇数”是相互独立的C.事件“至少一枚朝上的点数为奇数”与“两枚朝上的点数都是偶数”是对立的D.事件“至多一枚朝上的点数为奇数”与“两枚朝上的点数都是偶数”是互斥的【答案】BC【解析】事件“第一枚朝上的点数大于2”的概率是，A不正确；事件“第一枚朝上的点数为偶数”与事件“第二枚朝上的点数为奇数”互不影响，B正确；事件“两枚朝上的点数都是偶数”的对立事件为“两枚朝上的点数都是奇数或一个奇数一个偶数”，C正确；事件“至多一枚朝上的点数为奇数”与“两枚朝上的点数都是偶数”可以同时发生，D不正确．故选：BC.11.关于的方程有唯一解，则的取值可能是（）A. B.1 C. D.5【答案】ABC【解析】关于的方程有唯一解，即曲线（以原点为圆心，2为半径的圆的上半部分）与直线有唯一公共点，如图，当直线经过点时，；当直线经过点时，4.若直线与曲线相切，则，得，数形结合可知，的取值范围是.故选：ABC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若方程表示双曲线，则m的取值范围是___________．【答案】【解析】由题意，得，即的取值范围是.故答案为：13.已知向量，则向量在向量上的投影向量的模为___________．【答案】【解析】因为向量，则，，所以向量在向量上的投影向量，其模为.故答案为：.14.曲率半径可用来描述曲线上某点处的弯曲变化程度，曲率半径越大，则曲线在该点处的弯曲程度越小.已知椭圆上点处的曲率半径公式为.若椭圆上所有点相应的曲率半径的最大值为，最小值为，则椭圆的标准方程为__________.【答案】【解析】因为点在椭圆上，则，即，所以，因为，所以，则，所以，则，，所以，故椭圆的标准方程为.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.如图，设在直三棱柱中，，，E，F依次为的中点．（1）求异面直线、EF所成角的余弦值；（2）求点到平面AEF的距离．解：（1）在直三棱柱中，，以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，所以异面直线所成角的余弦值为．（2）设平面AEF的一个法向量为，而，则，令，得，又，于是．所以点到平面AEF的距离为．16.已知椭圆经过两点、.（1）求椭圆的标准方程；（2）已知直线与椭圆交于、两点，且线段的中点为，求直线的方程．解：（1）设椭圆的方程为，由题意可得，解得，所以椭圆的标准方程为.（2）若直线的斜率不存在，则点、关于轴对称，则线段的中点在轴上，不符合题意，所以直线的斜率存在，设直线的斜率为，设点、，则，两式相减得，整理得.因为线段的中点为，所以，，所以，所以直线的方程为，即17.甲、乙两人进行象棋比赛，约定先连胜2局者直接赢得比赛，假设每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且各局比赛的胜负互不影响．（1）求恰好比赛3局后甲获胜的概率；（2）求甲在4局以内（包含4局）赢得比赛的概率.解：（1）记“甲在第局获胜”为事件，“恰好比赛3局后甲获胜”为事件，所以，则，所以恰好比赛3局后甲获胜的概率为.（2）记“甲在4局以内（包含4局）赢得比赛”为事件，则，因，且，所以，即甲在4局以内（包含4局）赢得比赛的概率为.18.如图，在四棱锥中，底面为矩形，，平面和平面都垂直于平面，分别为的中点，直线与相交于O点．（1）证明：平面．（2）判断与是否垂直．（3）求平面与平面夹角的余弦值．（1）证明：由平面和平面都垂直于平面，平面平面，所以平面，平面，则，由底面为矩形，则，故直线两两垂直，以所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，因为，所以，所以，因为平面，平面，所以平面；（2）解：设，因为，所以，得，则，因为，所以，故不与垂直；（3）解：设平面的法向量为．因为，所以，令，得，设平面的法向量为，因为，所以，令，得，因为，所以平面与平面夹角的余弦值为.19.已知双曲线的离心率为，虚半轴长为．（1）求双曲线的方程．（2）过双曲线上一点作两条渐近线的垂线，垂足分别为，证明：为定值．（3）已知坐标原点为，定点为双曲线上两个不重合的动点，直线，分别与轴交于点，点在直线上，且.试问是否存在定点，使得为定值？若存在，求出该定点和；若不存在，请说明理由．（1）解：因为虚半轴长为，所以.因为离心率为，所以，因为，所以，所以双曲线的方程为．（2）解：如图所示双曲线的渐近线方程为，双曲线上一点到渐近线的距离之积为，因为，所以，即为定值．（3）证明：如图所示显然直线的斜率存在，设直线的方程为，，，由，联立可得，则，又根据韦达定理可得，直线的方程为，令，则，得，同理得，由，可得，所以，整理得，当时，，此时直线的方程为，直线过点，与矛盾，舍去；当时，直线的方程为，恒过定点，设的中点为，则，因为，所以，为定值，故存在，使为定值．广东省佛山市七校2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.双曲线的虚轴长为（）A.4 B.2 C.8 D.4【答案】A【解析】双曲线的虚半轴长，所以该双曲线的虚轴长为.故选：A.2.已知空间中三点共线，则（）A.2 B.0 C.1 D.-1【答案】B【解析】因为三点共线，所以，因为，所以，解得.故选：B.3.圆与圆的位置关系为（）A.外切 B.相交C.内切 D.内含【答案】D【解析】由题意，，，所以两圆的圆心坐标分别为，两圆的半径分别为4，10，由，所以两圆内含.故选：D.4.若直线与互相垂直，则（）A. B. C.4 D.1【答案】C【解析】由题意知，所以.故选：C.5.已知随机事件满足，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，即，所以.故选：C.6.已知双曲线的两个焦点为，双曲线上有一点，若，则（）A.10 B.2 C.2或10 D.14【答案】A【解析】因为双曲线，所以，故，即，由双曲线的定义知，，所以或，当时，,不合题意，舍去.故.故选：A.7.一条沿直线传播的光线经过点，且在轴上的截距为，然后被直线反射，则反射光线所在直线的方程为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】入射光线所在直线的方程为，即，由解得，即入射点的坐标为，设关于直线对称的点为，则，解得，即，因为反射光线所在直线经过入射点和点，所以反射光线所在直线的斜率为，所以反射光线所在直线的方程为，即．故选：B．8.如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，过点的平面分别与棱、、交于点、、，若，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】设，连接，则．因为，即，故，因为、、、四点共面，且、不共线，存在、，使得，所以，由空间向量的基本定理可得，解得，所以.故选：A.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.关于椭圆，下列选项正确的是（）A.椭圆的长轴长为B.椭圆的一个顶点为C.椭圆的焦距为D.椭圆的离心率为【答案】BD【解析】由椭圆的方程可得，所以，所以椭圆的长轴长为，故A错误；短轴端点为，则一个顶点为，故B正确；因为，所以椭圆焦距为，故C错误；离心率为，故D正确.故选：BD.10.先后抛掷两枚质地均匀骰子，则（）A.事件“第一枚朝上的点数大于2”的概率是B.事件“第一枚朝上的点数为偶数”与“第二枚朝上的点数为奇数”是相互独立的C.事件“至少一枚朝上的点数为奇数”与“两枚朝上的点数都是偶数”是对立的D.事件“至多一枚朝上的点数为奇数”与“两枚朝上的点数都是偶数”是互斥的【答案】BC【解析】事件“第一枚朝上的点数大于2”的概率是，A不正确；事件“第一枚朝上的点数为偶数”与事件“第二枚朝上的点数为奇数”互不影响，B正确；事件“两枚朝上的点数都是偶数”的对立事件为“两枚朝上的点数都是奇数或一个奇数一个偶数”，C正确；事件“至多一枚朝上的点数为奇数”与“两枚朝上的点数都是偶数”可以同时发生，D不正确．故选：BC.11.关于的方程有唯一解，则的取值可能是（）A. B.1 C. D.5【答案】ABC【解析】关于的方程有唯一解，即曲线（以原点为圆心，2为半径的圆的上半部分）与直线有唯一公共点，如图，当直线经过点时，；当直线经过点时，4.若直线与曲线相切，则，得，数形结合可知，的取值范围是.故选：ABC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若方程表示双曲线，则m的取值范围是___________．【答案】【解析】由题意，得，即的取值范围是.故答案为：13.已知向量，则向量在向量上的投影向量的模为___________．【答案】【解析】因为向量，则，，所以向量在向量上的投影向量，其模为.故答案为：.14.曲率半径可用来描述曲线上某点处的弯曲变化程度，曲率半径越大，则曲线在该点处的弯曲程度越小.已知椭圆上点处的曲率半径公式为.若椭圆上所有点相应的曲率半径的最大值为，最小值为，则椭圆的标准方程为__________.【答案】【解析】因为点在椭圆上，则，即，所以，因为，所以，则，所以，则，，所以，故椭圆的标准方程为.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.如图，设在直三棱柱中，，，E，F依次为的中点．（1）求异面直线、EF所成角的余弦值；（2）求点到平面AEF的距离．解：（1）在直三棱柱中，，以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，所以异面直线所成角的余弦值为．（2）设平面AEF的一个法向量为，而，则，令，得，又，于是．所以点到平面AEF的距离为．16.已知椭圆经过两点、.（1）求椭圆的标准方程；（2）已知直线与椭圆交于、两点，且线段的中点为，求直线的方程．解：（1）设椭圆的方程为，由题意可得，解得，所以椭圆的标准方程为.（2）若直线的斜率不存在，则点、关于轴对称，则线段的中点在轴上，不符合题意，所以直线的斜率存在，设直线的斜率为，设点、，则，两式相减得，整理得.因为线段的中点为，所以，，所以，所以直线的方程为，即17.甲、乙两人进行象棋比赛，约定先连胜2局者直接赢得比赛，假设每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且各局比赛的胜负互不影响．（1）求恰好比赛3局后甲获胜的概率；（2）求甲在4局以内（包含4局）赢得比赛的概率.解：（1）记“甲在第局获胜”为事件，“恰好比赛3局后甲获胜”为事件，所以，则，所以恰好比赛3局后甲获胜的概率为.（2）记“甲在4局以内（包含4局）赢得比赛”为事件，则，因，且，所以，即甲在4局以内（包含4局）赢得比赛的概率为.18.如图，在四棱锥中，底面为矩形，，平面和平面都