2025-2026学年广东省深圳市深圳盟校高二上学期11月期中考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1广东省深圳市深圳盟校2025-2026学年高二上学期11月期中试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.在空间直角坐标系O-xyz中，点在平面Oxy上的射影点的坐标为（）A. B. C. D.不确定【答案】A【解析】在空间直角坐标系中，点在平面Oxy上的射影点的坐标，其竖坐标为，横坐标和纵坐标与该点的横坐标和纵坐标相同，故点在平面Oxy上的射影点的坐标为.故选：.2.直线的倾斜角是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题设，设倾斜角为且，则，所以.故选：B3.方程表示圆，则的范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为方程表示圆，所以，解得：.故选：B.4.已知直线：：，：，则“”是“”的（）A充分必要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由，解得或,当时，直线：，：，此时两条直线重合，舍掉，当时，直线：，：，此时两条直线平行，“”是“”的充分必要条件.故选：.5.圆和圆的位置关系是（）A.相离 B.外切 C.相交 D.内切【答案】C【解析】圆的圆心，半径；和圆的圆心，半径，，则，所以两圆相交，故选：C.6.设点、，若直线l过点且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（）A.或 B.或C. D.【答案】A【解析】如图所示：由题意得，所求直线的斜率满足或，∵，，∴直线的斜率的取值范围是或，故选：A.7.已知圆，直线l：，若圆上恰有两个点到直线l的距离等于1，则实数b的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】圆的圆心是，半径，圆上恰有两个点到直线l：的距离等于1，所以圆心到直线l的距离，则，解得或，即实数b的取值范围是．故选：D．8.在平面直角坐标系中，过原点的直线l交曲线于点A，B，沿x轴把平面直角坐标系折成大小为的二面角，则线段长度的最小值为（）A. B.4 C. D.2【答案】D【解析】作垂直下半平面于点Q，作轴于H，连接，设，因为平面，x轴在平面内，所以轴，又轴，，平面，所以x轴平面，又平面，所以轴，则即为沿x轴把平面直角坐标系折成的二面角的平面角，故，因为平面，平面，所以，又，则，又，则，则，所以，当且仅当即时取等号，所以线段长度的最小值为2．故选：D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.对于直线l：与圆C：，下列说法正确的是（）A.l过定点 B.C的半径为3C.l与C可能相切 D.l被C截得的弦长最小值为【答案】ABD【解析】对于A，可变形为，由，得，所以直线l过定点，故A正确：对于B，圆C：化为标准方程为，所以圆C的圆心，半径为，故B正确；对于C，因为，所以点)在圆C内部，所以直线l与C不可能相切，故C错误；对于D，设直线l所过定点为，则当直线时，直线l被C截得的弦长最小．因为圆心，所以，所以直线l的斜率，解得，此时直线．因为圆心到直线l的距离，所以弦长为，故D正确．故选：ABD．10.在棱长为2的正方体中，点P满足，其中，，则（）A.当时，平面 B.当时，点P在棱上C.当时，三棱锥的体积为定值 D.时，存在两个点P，使得【答案】AC【解析】对于A，当时，，得，即，所以点P与重合，即为，因为，平面，平面，所以平面，即平面，故A正确；对于B，当时，，得，即，因为，所以点P在线段上，故B错误；对于C，当时，，得，则，因为，所以点P在线段上，平面，即平面，所以，所以三棱锥的体积为定值，故C正确；对于D，当时，取的中点，的中点，则，则，则，则，因为，所以点在线段上，设，则，则，，，若，则，则，则，所以，即点为线段的中点，即当时，存在一个点，使得，故D错误．故选：AC．11.古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现了平面内到两个定点A，B的距离之比为定值（）的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系中，已知，，点P满足，设点P的轨迹为圆C，则下列说法正确的是（）A.圆C的方程是B.过点A向圆C引切线，两条切线的夹角为C.若x，y满足圆C的方程，则的最大值是D.过直线上的一点P向圆C引切线，则四边形的面积的最小值为【答案】BCD【解析】对于A，设，因为，，，则，化简得，即，故A错误；对于B，因为，圆心，半径，，点在圆外，设两条切线的夹角为，所以，又，解得，则，故B正确；对于C，设，由题意直线与圆有公共点，则圆心到直线的距离，即，解得，故的最大值是，故C正确；对于D，由题意可得四边形的面积为，故只需求的最小值即可，的最小值为点C到直线的距离，即．所以四边形的面积的最小值为，故D正确．故选：BCD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知是直线的方向向量，是平面的法向量，如果，则__________．【答案】15【解析】因，依题意，必有，即存在唯一的实数，使，即，则，解得：，故.故答案为：15.13.设直线与圆和圆均相切，则_____；b=______．【答案】①.②.【解析】设，，由题意，到直线的距离等于半径，即，，所以，所以（舍）或者，解得.故答案为：.【点晴】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查学生的数学运算能力，是一道基础题.14.已知，点在直线上，点在圆上，则的最小值是________.【答案】【解析】可转化为：，则圆心为C(2,1)，半径为.设A关于直线的对称点B的坐标为(a,b)，则.最小值是，故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.直线经过两直线和的交点．（1）若直线与直线垂直，求直线的方程；（2）若直线与圆相切，求直线的方程．解：（1）联立两直线和，解得，即交点坐标为，直线的斜率为，所以直线的斜率为，所以直线的方程为，即.（2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，圆心到直线的距离，符合题意；当直线的斜率存在时，设直线方程为：，即，根据题意得：圆心到直线的距离，解得，所以直线的方程为：.综上：直线的方程为或.16.如图，在棱长为2的正方体中，E为线段的中点，F为线段的中点．（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）求点F到平面的距离．（1）证明：以D为原点，，，分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，．解法一：因，，则，所以，又因为A，E，F，四点不共线，所以，又因为平面，平面，所以平面．解法二：因为，，设平面的一个法向量为，则有，即，取，所以，因为，所以，得，又因为平面，所以平面．（2）解：设直线与平面所成角为，，所以，所以直线与平面所成角的正弦值为．（3）解：设点F到平面的距离为d，因为，所以，所以点F到平面的距离为．17.已知圆C的圆心C在x轴上，并且过和两点．（1）求圆C的标准方程；（2）若直线与圆相交于M，N两点，的面积为2，求实数m的值．解：（1）解法一：设圆心C的坐标为，因为A，B是圆上两点，所以，根据两点间的距离公式，有，解得，所以圆心C的坐标是．圆的半径．所以所求圆C的标准方程是．解法二：设线段的中点为D．因为，，可得点D的坐标为，因为直线的斜率为．因此线段的垂直平分线的方程是，即．直线与x轴的交点坐标为，所以圆心C的坐标是，圆的半径．所以所求圆的标准方程是．（2）解法一：设圆心到直线的距离为d，，直线与圆相交于M，N两点，则，所以，解得，即，所以，因为，所以，即，所以，解得．解法二：因为圆C的半径，则，又因为，所以，所以是等腰直角三角形，所以圆心C到直线的距离，所以，解得．18.已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为，的中点，D为棱上的点，．（1）证明：平面；（2）证明：；（3）当为何值时，平面与平面所成角的余弦值最大？并求出这个最大值．（1）证明：因为三棱柱是直三棱柱，所以底面，因为底面，所以，因为，，所以，又，，平面，所以平面．（2）证明：因为平面，平面，所以，所以，，两两垂直．以B为坐标原点，分别以，，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图．所以，，，，，，，．由题设（）．因为，，所以，所以．（3）解：设平面的法向量为，因为，，所以，即．令，则．因为平面的法向量为，设平面与平面所成角为，，则．因为，，所以，当时，取最小值为，此时取最大值为，此时，所以当时，平面与平面所成角的余弦值最大，最大值是．19.设圆C过点且与圆：相切于点．（1）求C的方程；（2）已知，，三个点，点P在圆C上运动，求的最大值和最小值；（3）已知直线l：与x轴交于点G，过点G的直线m与圆C交于D，E两点，求证：为定值，并求出这个定值.（1）解：由已知，将圆的一般方程化为标准方程为，所以圆的圆心，半径，因为圆C与圆相切于点，所以点C，，N三点共线，即圆C的圆心在直线上，因为直线的方程为，所以设圆C的圆心，因为，在圆C上，所以，所以，解得，则圆心C坐标为，半径，所以圆C的方程为．（2）解：设，因为，，三点，所以，因为点P在圆上运动，则，解得，所以，当时，取得最大值88，当时，取得最小值72．（3）证明：解法一：由题可知，，因为直线m过点G，且直线m与圆C相交，则直线m的斜率一定存在，所以设直线m的方程为，将代入，得：．设，，所以，，所以，所以为定值，这个定值为12．解法二：取中点H，连，则，，所以．所以为定值，这个定值为12．广东省深圳市深圳盟校2025-2026学年高二上学期11月期中试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.在空间直角坐标系O-xyz中，点在平面Oxy上的射影点的坐标为（）A. B. C. D.不确定【答案】A【解析】在空间直角坐标系中，点在平面Oxy上的射影点的坐标，其竖坐标为，横坐标和纵坐标与该点的横坐标和纵坐标相同，故点在平面Oxy上的射影点的坐标为.故选：.2.直线的倾斜角是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题设，设倾斜角为且，则，所以.故选：B3.方程表示圆，则的范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为方程表示圆，所以，解得：.故选：B.4.已知直线：：，：，则“”是“”的（）A充分必要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由，解得或,当时，直线：，：，此时两条直线重合，舍掉，当时，直线：，：，此时两条直线平行，“”是“”的充分必要条件.故选：.5.圆和圆的位置关系是（）A.相离 B.外切 C.相交 D.内切【答案】C【解析】圆的圆心，半径；和圆的圆心，半径，，则，所以两圆相交，故选：C.6.设点、，若直线l过点且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（）A.或 B.或C. D.【答案】A【解析】如图所示：由题意得，所求直线的斜率满足或，∵，，∴直线的斜率的取值范围是或，故选：A.7.已知圆，直线l：，若圆上恰有两个点到直线l的距离等于1，则实数b的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】圆的圆心是，半径，圆上恰有两个点到直线l：的距离等于1，所以圆心到直线l的距离，则，解得或，即实数b的取值范围是．故选：D．8.在平面直角坐标系中，过原点的直线l交曲线于点A，B，沿x轴把平面直角坐标系折成大小为的二面角，则线段长度的最小值为（）A. B.4 C. D.2【答案】D【解析】作垂直下半平面于点Q，作轴于H，连接，设，因为平面，x轴在平面内，所以轴，又轴，，平面，所以x轴平面，又平面，所以轴，则即为沿x轴把平面直角坐标系折成的二面角的平面角，故，因为平面，平面，所以，又，则，又，则，则，所以，当且仅当即时取等号，所以线段长度的最小值为2．故选：D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.对于直线l：与圆C：，下列说法正确的是（）A.l过定点 B.C的半径为3C.l与C可能相切 D.l被C截得的弦长最小值为【答案】ABD【解析】对于A，可变形为，由，得，所以直线l过定点，故A正确：对于B，圆C：化为标准方程为，所以圆C的圆心，半径为，故B正确；对于C，因为，所以点)在圆C内部，所以直线l与C不可能相切，故C错误；对于D，设直线l所过定点为，则当直线时，直线l被C截得的弦长最小．因为圆心，所以，所以直线l的斜率，解得，此时直线．因为圆心到直线l的距离，所以弦长为，故D正确．故选：ABD．10.在棱长为2的正方体中，点P满足，其中，，则（）A.当时，平面 B.当时，点P在棱上C.当时，三棱锥的体积为定值 D.时，存在两个点P，使得【答案】AC【解析】对于A，当时，，得，即，所以点P与重合，即为，因为，平面，平面，所以平面，即平面，故A正确；对于B，当时，，得，即，因为，所以点P在线段上，故B错误；对于C，当时，，得，则，因为，所以点P在线段上，平面，即平面，所以，所以三棱锥的体积为定值，故C正确；对于D，当时，取的中点，的中点，则，则，则，则，因为，所以点在线段上，设，则，则，，，若，则，则，则，所以，即点为线段的中点，即当时，存在一个点，使得，故D错误．故选：AC．11.古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现了平面内到两个定点A，B的距离之比为定值（）的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系中，已知，，点P满足，设点P的轨迹为圆C，则下列说法正确的是（）A.圆C的方程是B.过点A向圆C引切线，两条切线的夹角为C.若x，y满足圆C的方程，则的最大值是D.过直线上的一点P向圆C引切线，则四边形的面积的最小值为【答案】BCD【解析】对于A，设，因为，，，则，化简得，即，故A错误；对于B，因为，圆心，半径，，点在圆外，设两条切线的夹角为，所以，又，解得，则，故B正确；对于C，设，由题意直线与圆有公共点，则圆心到直线的距离，即，解得，故的最大值是，故C正确；对于D，由题意可得四边形的面积为，故只需求的最小值即可，的最小值为点C到直线的距离，即．所以四边形的面积的最小值为，故D正确．故选：BCD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知是直线的方向向量，是平面的法向量，如果，则__________．【答案】15【解析】因，依题意，必有，即存在唯一的实数，使，即，则，解得：，故.故答案为：15.13.设直线与圆和圆均相切，则_____；b=______．【答案】①.②.【解析】设，，由题意，到直线的距离等于半径，即，，所以，所以（舍）或者，解得.故答案为：.【点晴】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查学生的数学运算能力，是一道基础题.14.已知，点在直线上，点在圆上，则的最小值是________.【答案】【解析】可转化为：，则圆心为C(2,1)，半径为.设A关于直线的对称点B的坐标为(a,b)，则.最小值是，故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.直线经过两直线和的交点．（1）若直线与直线垂直，求直线的方程；（2）若直线与圆相切，求直线的方程．解：（1）联立两直线和，解得，即交点坐标为，直线的斜率为，所以直线的斜率为，所以直线的方程为，即.（2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，圆心到直线的距离，符合题意；当直线的斜率存在时，设直线方程为：，即，根据题意得：圆心到直线的距离，解得，所以直线的方程为：.综上：直线的方程为或.16.如图，在棱长为2的正方体中，E为线段的中点，F为线段的中点．（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）求点F到平面的距离．（1）证明：以D为原点，，，分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，．解法一：因，，则，所以，又因为A，E，F，四点不共线，所以，又因为平面，平面，所以平面．解法二：因为，，设平面的一个法向量为，则有，即，取，所以，因为，所以，得，又因为平面，所以平面．（2）解：设直线与平面所成角为，，所以，所以直线与平面所成角的正弦值为．（3）解：设点F到平面的距离为d，因为，所以，所以点F到平面的距离为．17.已知圆C的圆心C在x轴上，并且过和两点．（1）求圆C的标准方程；（2）若直线与圆相交于M，N两点，的面积为2，求实数m的值．解：（1）解法一：设圆心C的坐标为，因为A，B是圆上两点，所以，根据两点间的距离公式，有，解得，所以圆心C的坐标是．圆的半径．所以所求圆C的标准方程是．解法二：设线段的中点为D．因为，，可得点D的坐标为，因为直线的斜率为．因此线段的垂直平分线的方程是，即．直线与x轴的交点坐标为，所以圆心C的坐标是，圆的半径．所以所求圆的标准方程是．（2）解法一：设圆心到直线的距离为d，，直线与圆相交于M，N两点，则，所以，解得，即，