2026年数学建模比赛经典试题与解析

2026年数学建模比赛经典试题与解析第一部分：问题驱动型题目（共3题，每题20分）题目1（15分）：城市交通信号灯优化调度问题背景：某城市某主干道十字路口存在严重的交通拥堵现象。该路口分为四个方向（东北、东南、西北、西南），每个方向设有红、绿、黄灯，当前信号灯配时固定为：绿灯30秒、黄灯5秒、红灯35秒，循环往复。根据交通部门统计，高峰时段（7:00-9:00）各方向车流量如下表所示（单位：辆/分钟）：|方向|车流量（高峰时段）|||-||东北|80||东南|75||西北|65||西南|70|问题：1.建立数学模型，分析当前信号灯配时对路口通行效率的影响；2.设计一种动态信号灯调度方案（如绿波带控制或感应控制），优化路口总通行时间；3.若某方向出现紧急事件（如事故），提出应急信号灯控制策略。题目2（20分）：乡村旅游资源开发与经济效益评估问题背景：某山区小镇拥有丰富的自然景观和民俗文化，但旅游开发程度较低。近年来游客量逐年增长，但收入增长缓慢。经调研，该镇主要旅游资源包括：山岳景区（门票100元/人）、漂流项目（80元/人）、民俗表演（50元/人），且各项目之间存在一定的互补性（如游客参与漂流后更可能观看表演）。2023年游客数据如下表所示：|资源类型|游客覆盖率（%）|人均消费（元）|||-|-||山岳景区|85|200||漂流项目|60|150||民俗表演|40|100|问题：1.建立旅游资源配置模型，分析各项目对游客总收入的贡献；2.若政府提供补贴资金（100万元/年），如何分配补贴以最大化游客总消费；3.预测若景区提升服务质量（如增加讲解人员），游客覆盖率和人均消费的变化趋势。题目3（25分）：农业气象灾害预警与损失评估问题背景：某地区种植大量水稻，但易受台风和干旱影响。2023年气象数据表明，该地区6-8月台风概率为30%，干旱概率为20%。若台风或干旱发生，水稻产量将分别下降40%或30%。当地政府计划投入200万元用于抗灾措施，可选措施包括：加固防洪堤（50万元/公里）、铺设灌溉管道（80万元/公里）、推广抗灾品种（30万元/亩）。问题：1.建立灾害风险评估模型，计算不同措施组合下的产量损失期望；2.设计最优投资方案，使灾害损失最小化；3.若台风和干旱同时发生，如何调整应急预案。第二部分：数据分析型题目（共2题，每题25分）题目4（数据分析与预测，25分）：电商用户行为分析与营销策略优化问题背景：某电商平台收集了2023年1-12月的用户购买数据，包括用户ID、购买金额、购买频次、浏览商品类别等。部分数据如下表所示（为简化，仅展示部分字段）：|用户ID|购买金额（元）|购买频次（月）|浏览类别（示例）||--|-|-|--||001|1200|3|服装、电子||002|800|1|家居、书籍||...|...|...|...|问题：1.利用聚类分析，将用户分为不同群体，并描述各群体的特征；2.建立购买预测模型（如ARIMA或LSTM），预测明年1月各用户的潜在消费金额；3.针对不同用户群体，设计差异化的营销策略（如优惠券、新品推荐）。题目5（数据挖掘与优化，25分）：城市公共图书馆资源分配问题背景：某城市有5个公共图书馆，藏书总量为10万册，但读者借阅不均衡。2023年借阅数据如下表所示（单位：册）：|图书馆|借阅量|藏书量|服务半径（公里）|||--|--|--||A|5000|20000|2||B|8000|30000|3||C|6000|25000|1.5||D|4000|15000|2.5||E|3000|10000|1|问题：1.利用关联规则挖掘，分析读者借阅偏好（如“借阅小说的用户更可能借阅漫画”）；2.建立资源分配优化模型，通过图书调配和馆员调度，提升读者满意度（满意度=借阅需求满足率×服务效率）；3.若某图书馆因拆迁需临时搬迁，如何调整服务方案以减少影响。答案与解析题目1（15分）：城市交通信号灯优化调度问题解析：1.效率分析：当前信号灯周期为70秒，各方向绿灯时间占比分别为43%（东北）、42.9%（东南）、47.1%（西北）、47.1%（西南）。流量较大的东北和东南方向绿灯时间偏少，导致排队积压。-模型：可用排队论（M/M/1）计算各方向平均排队长度，结合路口总通行时间（T=70×方向车流量）评估效率。2.动态调度方案：-绿波带控制：根据车流量分配绿灯时间，如东北方向车流量最大，可延长其绿灯至45秒，周期调整为90秒，预计通行时间减少20%。-感应控制：实时检测车流量，动态调整绿灯时长，例如车流量大时延长绿灯，小则缩短，目标使总等待时间最短。3.应急策略：若某方向事故，可临时将该方向红灯延长至60秒，同时缩短其他方向绿灯（如30秒），确保事故区域畅通。题目2（20分）：乡村旅游资源开发与经济效益评估问题解析：1.资源配置模型：-收益函数：R=100×85%×200+80×60%×150+50×40%×100=18.2万元。-互补性分析：漂流与表演的联合参与率可提升至70%，若增加引流活动（如漂流+表演套餐价120元），收益可提高。2.补贴分配：-线性规划模型：目标函数为最大化总收入，约束条件为补贴总额不超过100万元，各项目投资不低于成本。计算后建议优先补贴漂流项目（占50万元），因其边际收益最高（单价150元）。3.服务提升预测：-增长模型：若讲解人员增加20%，游客覆盖率提升至90%，人均消费提升至220元，预计年收入增长35%。题目3（25分）：农业气象灾害预警与损失评估问题解析：1.灾害风险评估：-概率树模型：若选择投资防洪堤（50万元/公里）和灌溉管道（80万元/公里），台风损失期望为12%×40%+20%×30%=6%，总损失为0.6×产量。2.最优投资方案：-决策树分析：计算不同组合的净收益，如“防洪堤+抗灾品种”组合（70万元）使损失降至5%，净收益最高。3.双重灾害预案：-应急灌溉方案：启动备用水源，优先保障核心农田，损失率控制在50%。题目4（数据分析与预测，25分）：电商用户行为分析与营销策略优化问题解析：1.聚类分析：-K-means聚类：分为三类：高消费高频用户（如001）、低消费低频用户（如002）、中频潜力用户。2.购买预测模型：-ARIMA模型：根据历史数据拟合，预测明年1月001用户消费额为1500元（较2023年增长25%）。3.营销策略：-高消费用户：推送高端新品，提供VIP服务；-低消费用户：发放小额优惠券刺激首次购买。题目5（数据挖掘与优化，25分）：城市公共图书馆资源分配问题解析：1.关联规则挖掘：-Aprio