2026高一数学寒假自学课（苏教版）专题02 常用逻辑用语（2重点+10题型）（解析版）

专题02常用逻辑用语

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串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢

重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺

考点巩固：必考题型讲透练透，能力提升

复习提升：真题感知+提升专练，全面突破

【考点01】充分条件与必要条件

1、充分条件与必要条件

“若p，则q”为真命题“若p，则q”为假命题

推出关系pqp⇏q

p是q的⇒充分条件p不是q的充分条件

条件关系

q是p的必要条件q不是p的必要条件

判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件

定理关系

性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件

2、充要条件

（1）充要条件的定义

如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均为真命题，即既有pq，又有qp，就记作pq。

此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称充要条件。

（2）充要条件的含义

若p是q的充要条件，则q也是p的充要条件，虽然本质上是一样的，但在说法上还是不同的，

因为这两个命题的条件与结论不同。

（3）充要条件的等价说法：p是q的充要条件又常说成是q成立当且仅当p成立，或p与q等价。

3、从集合的条件看充分、必要条件

若条件p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，

则由AB可得，p是q的充分条件，

（1）若⊆AB，则p是q的充分不必要条件；

（2）若AB，则p是q的必要条件；

（3）若A⊇B，则p是q的必要不充分条件；

（4）若A＝B，则p是q的充要条件；

（5）若A⊈B且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件．

充分必要条件判断精髓：小集合推出大集合，小集合是大集合的充分不必要条件，大集合是小集合的必要

不充分条件；若两个集合范围一样，就是充要条件的关系．

【考点02】全称量词命题与存在量词命题

1、全称量词与全称量词命题

（1）全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫作全称量词，并用符号“”表示．

（2）全称量词命题：含有全称量词的命题，称为全称量词命题．通常，将含有变量x的语句用px，qx，

rx，…表示，变量x的取值范围用M表示，那么，全称量词命题“对M中任意一个x，px成立”可用

符号简记为xM,px．

2、存在量词与存在量词命题

（1）存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫作存在量词，并用符号“”表示．

（2）存在量词命题：含有存在量词的命题，叫作存在量词命题．存在量词命题“存在M中的元素x，使px

成立”可用符号简记为xM,px．

3、含量词命题的否定

命题类型全称量词命题存在量词命题

形式xM,pxxM,px

否定形式xM,pxxM,px

结论全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题

4、常见正面词语的否定：

正面词语等于（＝）大于（＞）小于（＜）是都是

否定不等式（≠）不大于（≤）不小于（≥）不是不都是

正面词语至多有一个至少有一个任意所有至多有n个

否定至少有两个一个都没有某个某些至少有n+1个

【二级结论1】等价转化法判断充分条件、必要条件

p是q的充分不必要条件，等价于q是p的充分不必要条件.

¬¬

【二级结论2】命题及命题的否定真假性判断

命题p和p的真假性相反，若判断一个命题的真假有困难时，可先判断此命题的否定的真假.

¬

高妙技法

先明确“p⇒q”是否成立（验证p能推出q），再判断“q⇒p”是否不成立（验证q不能推出p）。可通过

定义推导、集合关系（p是q的真子集）或举反例验证，满足“p⇒q且q⇏p”，则p是q的充分不必要条

件。

1．（23-24高三上·江苏南京·期末）王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”．其名篇“但使龙城

飞将在，不教胡马度阴山”（人在阵地在，人不在阵地在不在不知道），由此推断，胡马度过阴山是龙城飞

将不在的（）

A．既不充分也不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．充分不必要条件

【答案】D

【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合题意分析判断即可

【详解】因为人在阵地在，所以胡马度过阴山说明龙城飞将不在，

因为人不在阵地在不在不知道，所以龙城飞将不在，不能确定胡马是否度过阴山，

所以胡马度过阴山是龙城飞将不在的充分不必要条件，

故选：D

11

2．（24-25高二上·安徽·开学考试）设a,bR，则“b0”是“a”的（）

ab

A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条

件

【答案】A

【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.

111

【详解】由b0，则a0，即可以推导出a，故充分性成立；

abb

1111

由a推不出b0，如a1，b1，满足a，但是b，故必要性不成立；

baba

11

所以“b0”是“a”的充分不必要条件.

ab

故选：A

3．（22-23高一上·江苏淮安·期末）已知xR，若集合M{1,x}，N{1,2,3}，则“x2”是“MN”的

（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据题意，分别验证充分性以及必要性即可得到结果.

【详解】若x2，则M1,2，所以MN，故充分性满足；

若MN，则x2或3，显然必要性不满足；

所以“x2”是“MN”的充分不必要条件.

故选：A

4．（25-26高一上·湖南岳阳·期中）若a，bR，则“ab”是“a2b2”的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条

件

【答案】A

【分析】根据充分不必要条件的定义即可判断.

【详解】若ab，则a2b2，

当a1,b1时，a2b2，但是ab，

所以“ab”是“a2b2”的充分不必要条件.

故选：A.

2

5．（25-26高一上·云南楚雄·月考）已知集合Mx|ax2x10,aR，则“a1”是“M仅有1个真子

集”的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据已知条件，得出方程ax22x10只有一个根或两个相等的实根，结合充分条件和必要条件的

定义进行判断．

2

【详解】若a1，则方程ax22x10变为x22x10，即(x1)0，解得x1，

方程有两个相等的实数根1，即M{1}仅有一个真子集，

“a1”能推出“M仅有1个真子集”，故充分性成立；

若“M仅有1个真子集”，则“M中仅有1个元素”，

11

当a0时，2x10，解得x，则M仅有一个真子集，

22

2

当a1时，x22x1x10，解得x1，即M{1}也仅有一个真子集，

“M仅有1个真子集”不能推出“a1”，故必要性不成立．

故选：A．

6．（25-26高一上·陕西延安·期中）已知a为实数，那么方程x2ax10没有实数解是a2的（）

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据方程没有实数解，则a240求参数范围，结合充分、必要性的定义判断条件间的关系.

【详解】若x2ax10没有实数解，则a240，可得|a|2，

显然方程x2ax10没有实数解是a2的充分不必要条件.

故选：A

高妙技法

核心验证“q⇒p”成立（q能推出p）且“p⇒q”不成立（p不能推出q）。可借助逻辑推导、集合关系（q

是p的真子集），或找p成立但q不成立的反例，满足上述两点则p是q的必要不充分条件。

7．（25-26高一上·辽宁·月考）设a,bR，则“ab0”是“a2b20”的（）

A．充要条件B．充分不必要条件

C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】先化简得出等价条件，再结合充分必要条件定义判断即可求解.

【详解】设a,bR，则“ab0”等价于a0或b0；

“a2b2ab20”等价于ab0；

a0或b0不可以推出ab0；ab0可以推出于a0或b0；

所以“ab0”是“a2b20”的必要不充分条件.

故选：C.

8．【多选】（25-26高一上·江西上饶·月考）已知下列四组陈述句：

①p：集合Ax,y|xy3,xN*,yN*；q：集合1,2．

②p：集合ABCA；q：集合ABC．

③p：xx|x2n1,nZ；q：xx|x6n1,nN．

④p：某中学高一全体学生中的一员；q：某中学全体学生中的一员．

其中p是q的必要而不充分条件的有（）

A．①B．②C．③D．④

【答案】AC

【分析】根据集合的相关性质，逐一判断四组陈述句中命题p是否是q的必要不充分条件，即判断是否符合

p不能推出q，但qp．

**

【详解】对于①：集合Ax,y|xy3,xN,yN1,2,2,1，

qp，但p不能推出q，

p是q的必要不充分条件；

对于②：若集合ABCA，则ABC,

pq，

p是q的充分必要条件；

对于③：x|x2n1,nZ表示所有奇数的集合，x|x6n1,nN表示部分奇数的集合

1,5,11,...,6n1，nN，

qp，但p不能推出q，

p是q的必要不充分条件；

对于④：“某中学高一全体学生中的一员”限定范围为某中学高一全体学生；q：“某中学全体学生中的一员”

限定范围为某中学全体学生，

pq，但q不能推出p，满足充分不必要条件；

满足必要不充分条件的是①③．

故选：AC．

9．（25-26高一上·云南玉溪·月考）已知集合M{x∣2x2},N{x∣ax2a2}，则“a2”是

“MN”的（）．

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

【答案】B

2a2

【分析】根据MN，得到，解不等式，再根据集合的关系判断逻辑条件即可．

a2

【详解】N{x∣2axa}，若MN，

2a2

则，

a2

解得a4，

故“a2”是“MN”的必要不充分条件．

故选：B．

1

10．（24-25高二下·吉林长春·期末）设p:x1，q:0，则p是q的条件.（填“充要”、“充

2x4

分不必要”、“必要不充分”或“既不充分也不必要”）

【答案】必要不充分

【分析】先化简p,q，根据充分、必要条件的定义判断.

1

【详解】因为p:x1x1或x1，q:02x40x2，

2x4

所以由p不能推出q，而由q可以推出p，

故p是q的必要不充分条件.

故答案为：必要不充分条件.

11．（21-22高一上·广东东莞·期末）如果对于任意实数x，x表示不超过x的最大整数，例如π3，0.60，

1.62，那么“xy1”是“xy”的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】取特殊值可说明充分性不成立；根据不等式的性质可说明必要性成立，由此可得结论.

【详解】若xy1，则取x0.5,y1.2，满足xy1，此时x0,y1，

所以“xy1”是“xy”的不充分条件；

若xy，设xya，则axa1,aya1，

所以a1ya，所以1xy1，所以xy1，

所以“xy1”是“xy”的必要条件，

所以“xy1”是“xy”的必要不充分条件.

故选：B.

高妙技法

判断充要条件的三种方法

(1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假．

(2)集合法：利用集合的包含关系判断．小集合推出大集合，小集合是大集合的充分不必

要条件，大集合是小集合的必要不充分条件；若两个集合范围一样，就是充要条件的关系．

(3)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1⇒p2⇒…⇒pn，可得p1⇒pn；充要

条件也有传递性．

12．（25-26高一上·河南安阳·期中）“ab0”是“a2b20”的（）

A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】根据充要条件的概念求解即可.

【详解】因为a0，b0，

所以ab0ab0，

又a2b20ab0，

所以ab0a2b20，

故选：C

1

,x0,

13．（24-25高二下·辽宁·期末）已知函数fxx则fmm是m1的（）

3x2,x0,

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】根据已知条件，分情况讨论函数定义，分别求解m0和m0时的方程fmm，再根据解的个

数判断m1是否是成立的充分、必要条件.

1

【详解】当m0时，由fmm，得m，解得m1或m1（舍去）；

m

当m0时，由fmm，得3m2m，解得m1（不满足m0，舍去）.

所以由fmm，得m1．当m1时，有f11．

综上，fmm是m1的充要条件．

故选：C.

14．（24-25高一上·云南楚雄·期末）已知a0，b0，则“ab”是“ab”的（）

A．充要条件B．充分不必要条件

C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据充要条件的概念进行判断即可.

【详解】因为若ab0，则ab；

若ab0，则ab．

故“ab”是“ab”的充要条件．

故选：A

15．（25-26高一上·湖南永州·月考）若实数a,b满足a0,b0，且ab0，则称a与b互补.记

a,ba2b2ab，那么“a,b0”是“a与b互补”的条件.

【答案】充要

【分析】判断a,b0a与b互补是否成立，再判断a与b互补a,b0是否成立，再根据充要条

件的定义，我们即可得到结论．

【详解】若a,ba2b2ab0，则a2b2ab0，

两边平方解得ab0，结合ab0，知a,b至少有一个为0，另一个为非负数，

故a0,b0，即a与b互补；

若a与b互补时，易得ab0，故a,b至少有一个为0，且a0，b0，

若a0，b0，此时a2b2abb2b0，

同理若b0，a0，此时a2b2aba2a0，

即a,b0，

故a,b0是a与b互补的充要条件．

故答案为：充要．

高妙技法

1.探求充分条件、必要条件

（1）探求q的充分条件p，即求使q成立的条件p；探求q的必要条件p，即求以q为条件推出的结论p．如

x1x0,x1是x0的一个充分条件，x0是x1的一个必要条件．

（2）结合集合法判断条件，先求出“结论q”的充要条件，将充要条件的范围“放大”，即得“结论”的必要不充

分条件，将充要条件的范围“缩小”，即得“结论”的充分不必要条件．

2.探求充要条件的两种方法

（1）非等价转化法：先寻找必要条件，即将探求充要条件的对象视为条件，寻找其能推出的一个结论；再

证明此结论是该对象的充分条件，即从充分性和必要性两方面说明．

（2）等价转化法：将原命题进行等价变形或转化，直至获得其成立的充要条件，探求的过程同时也是证明

的过程，因此探求过程中的每一步都是等价的，所以不需要将充分性和必要性分开来证．

b

16．（23-24高一上·上海·期末）1的一个充要条件是（）

a

A．aba0B．ba0

C．a1，b1D．a0，b0

【答案】A

【分析】根据不等式的基本性质，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.

bbba

【详解】由不等式1，可得10，即a(ba)0，所以A符合题意；

aaa

b

由a(ba)0，可得ba0或ba0，所以选项B是1的充分不必要条件；

a

b

选项C和D都为1的既不充分也不必要条件.

a

故选：A.

17．【多选】（23-24高一上·浙江杭州·月考）设全集为R，在下列条件中，满足BA的充要条件的有（）

ð

A．ABAB．RABR

痧ð

C．RARBD．ARBR

【答案】CD

【分析】根据集合的运算性质及集合间的关系逐项判断即可.

【详解】因为ABA时，AB，不满足题意，故A错误；

ð

若RABR，显然只有A,BR时成立，不满足题意，故B错误；

痧痧

若RARB，则BA，同时若BA时，RARB，满足题意，故C正确；

ðð

当ARBR时，则BA，同时BA，则ARBR满足题意，故D正确，

故选：CD.

18．（24-25高一上·云南德宏·期末）等式3a5b3a5b成立的充要条件是（）

A．ab0B．ab≤0

C．ab0D．ab0

【答案】B

【分析】对已知等式两边平方，根据绝对值的定义可得等式成立的充要条件.

【详解】因为3a5b3a5b，

两边平方得：9a230ab25b29a230ab25b2，

所以abab，即ab≤0，

所以等式3a5b3a5b成立的充要条件是ab≤0.

故选：B

19．（24-25高一上·内蒙古呼和浩特·期末）设a,bR，则“abab10”的充要条件是（）

A．a，b中至少有一个为1B．a，b都不为0

C．a，b都为1D．a,b不都为1

【答案】A

【分析】变形给定的等式，再利用充要条件的定义判断即可.

【详解】由题意abab10a1b10，

则a1和b1中至少有一个为0，即a，b中至少有一个为1，

所以“abab10”的充要条件是“a，b中至少有一个为1”.

故选：A.

20．（22-23高一上·湖南常德·月考）命题“x1,x21m”是真命题的充要条件是（）

A．m1B．m2C．m2D．m3

【答案】C

【分析】将问题转化为x2m1在(1,)上恒成立，可求出结果.

【详解】因为命题“x1,x21m”是真命题，

所以x2m1在(1,)上恒成立，

所以m11，即m2，

所以命题“x1,x21m”是真命题的充要条件是m2.

故选：C

21．（24-25高一下·广东揭阳·期末）若x,yR，则“xy”的一个充分不必要条件可以是（）

x

A．xy1B．xy0C．1D．|x|>|y|

y

【答案】A

【分析】根据充分条件和必要条件的定义逐一判断即可.

【详解】对于A，因为xy1，所以xy1y，即xy，

当xy时，取x2.5,y2，则xy1，

所以“xy1”是“xy”的一个充分不必要条件，故A正确；

对于B，xy0即xy，“xy0”是“xy”的充要条件，故B错误；

x

对于C，由1，取x2,y1，则xy，

y

x

由xy，取x1,y2，则1，

y

x

所以“1”是“xy”的既不充分也不必要条件，故C错误；

y

对于D，由|x|>|y|，取x2,y1，则xy，

由xy，取x1,y2，则|x||y|，

所以“|x|>|y|”是“xy”的既不充分也不必要条件，故D错误．

故选：A．

22．（24-25高二下·江西赣州·期末）设a,bR，则ab的一个必要不充分条件是（）

11

A．B．a3b3C．a2b2D．a3b2≤a2b3

ab

【答案】D

【分析】利用必要不充分条件，逐项验证即可.

1111ba11

【详解】对于A：当a0b时，，由0，所以当ab0时，ba，所以是ab

abababab

的既不充分也不必要条件，故A错误；

对于B：由于yx3在R上为增函数，由a3b3有ab，当ab时，a3b3，所以a3b3是ab的充要条

件，故B错误；

对于C：由a2b2有ab，所以0ab或0ab，所以a2b2是ab的既不充分也不必要条件，故C

错误；

322322322322

对于D：由abababab0有ab，当ab时，abababab0，即a3b2≤a2b3，

所以a3b2≤a2b3是ab必要不充分条件，故D正确.

故选：D.

23．（24-25高一上·河南南阳·期末）“x1,2，x2m0”成立的一个必要不充分条件是（）

A．m0B．m≤1C．m4D．m5

【答案】D

【分析】根据题中命题成立，先求出m4；再逐项判断即可.

【详解】由题意可得，x2m0在x1,2上能成立，

即mx2在x1,2上能成立，

因为x1,2时，0x24；

所以为使mx2在x1,2上能成立，只需m4；

因此，A选项，m0是“x1,2，x2m0”成立的既不充分又不必要条件；

B选项，m1是“x1,2，x2m0”成立的充分不必要条件；

C选项，m4是“x1,2，x2m0”成立的充要条件；

D选项，m5是“x1,2，x2m0”成立的必要不充分条件；

故选：D

高妙技法

根据且转化为集合关系。列出、对应的不等式（或范围），结合数轴确定参数边界，注意验

证临界“p⇒值q是否q满⇏足p”不等价，避免参数范围p扩大q或缩小。

“”

24．（22-23高三上·江苏·期末）设p：4x31；q：x（2a1）0，若p是q的充分不必要条件，则（）

A．a0B．a1C．a0D．a1

【答案】A

【分析】化简p,q，根据充分不必要的定义列不等式求a的范围.

【详解】由已知可得p:x1,q:x2a1，

因为p是q的充分不必要条件，

所以2a11，

所以a0，

故选：A．

25．（24-25高一上·甘肃甘南·期末）已知集合Pxa1x2a1，Qx2x5.

ð

(1)若a4，求RPQ；

(2)若“xP”是“xQ”的充分不必要条件，求实数a的取值范围.

【答案】(1)x2x5

(2)aa2

【分析】（）当时，求出集合，利用补集和交集的定义可求得集合ðPQ；

1a4PR

（2）分析可知P是Q的真子集，分P、P两种情况讨论，结合集合的包含关系可得出关于实数a的

不等式（组），综合可得出实数a的取值范围.

ð

【详解】（1）当a4时，集合Px5x9，可得RPxx5或x9，

ð

因为Qx2x5，所以RPQx2x5.

（2）若“xP”是“xQ”的充分不必要条件，所以P是Q的真子集，

当a12a1时，即a0时，此时P，满足P是Q的真子集；

2a1a1

当P时，则满足2a15，解得0a2，

a12

当a0时，P1，此时P是Q的真子集，合乎题意；

当a2时，Px3x5，此时P是Q的真子集，合乎题意.

综上，实数a的取值范围为aa2.

26．（23-24高二下·安徽芜湖·月考）已知集合Pxa2x3a1},Q{x1x6.

ð

(1)若a2，求RPQ;

(2)若“xP”是“xQ”充分不必要条件，求实数a的取值范围.

ð

【答案】(1)R(PQ)x|x0或x6

35

(2),1,

23

【分析】（1）根据集合的交集，补集运算即可求解；

（2）将充分不必要条件转化为真子集关系，即可列不等式组求解.

【详解】（1）当a2时，Px|0x7,Qx|1x6，

ð

所以PQx|0x6，所以R(PQ)x|x0或x6

（2）因为“xP”是“xQ”充分不必要条件，

所以PQ

3

P时，3a1a2，所以a；

2

3a1a2

5

P时，a21，所以1a，

3

3a16

35

综上，a取值范围是，1，

23

27．（22-23高一上·江苏常州·期末）已知集合Ax∣x2x60，集合Bx∣1ax1a，其中aR.

(1)若a1，求AB；

(2)若“xA”是“xB”的充分不必要条件，求a的取值范围.

【答案】(1)0,2

(2)3,

【分析】（1）a1时，分别求解集合A,B，由集合的运算即可解得AB；

（2）若“xA”是“xB”的充分不必要条件，即A是B的真子集，根据充分条件和必要条件的定义分别进

行判断即可.

【详解】（1）由题意，得A2,3，

当a1时，B0,2，

故AB0,2.

（2）若“xA”是“xB”的充分不必要条件，

则A为B真子集，

1a2

即，等号不同时取，

1a3

解得a3,.

28．（23-24高一上·河南驻马店·期末）在①ABB；②“xA（A是非空集合）”是“xB”的充分不必

要条件；③AB这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题．

问题：已知集合Axa1x2a1,aR,Bx1x3．

当时，求和ð；

(1)a2ABARB

(2)若________，求实数a的取值范围．

ð

【答案】(1)ABx1x5，ARBx3x5；

(2)答案见解析

【分析】（）先求出集合，再求出ðB，进而可得集合ð；

1ABRARB

（2）分情况处理，若选择①，考虑AB的情形即可，要分A和A两种情况分析；若选择②，考

虑ABA且AB的情形即可；若选择③，考虑AB的情形即可，要分A和A两种情

况分析.

【详解】（1）当a2时，集合Ax1x5,Bx1x3，

所以ABx1x5，

又因为ðB或，所以AðBx3x5

Rxx1x3R.

（2）若选择①，ABB，则AB，

当A时，a12a1，解得：a2，

当A时，又AB，Bx1x3，

a12a1

所以a11，得0a1，

2a13

所以实数a的取值范围是,20,1．

若选择②，“xA“是“xB”的充分不必要条件，

则ABA且AB，

因为Bx1x3，

a12a1a12a1

a11或a11，解得：0a1，

2a132a13

a11

由于无解，AB不成立，

2a13

所以实数a的取值范围是0,1．（不检验AB扣1分）

若选择③，AB，

当A时，a12a1，解得：a2，

a12a1

当A时，又AB，则，

a13或2a11

解得：2a1或a4，

所以实数a的取值范围是,14,．

29．（25-26高一上·山西晋中·期中）已知集合Px∣a4xa2,Qx∣2x5.

若，求PQ和PðQ；

(1)a1R

(2)若“xP”是xQ”的充分不必要条件，求实数a的取值范围.

∣ð

【答案】(1)PQx2x3；PRQxx3或x5

(2)2,3

【分析】（1）根据集合的交集，补集运算即可求解；

（2）将充分不必要条件转化为真子集关系，即可列不等式组求解.

【详解】（1）当a1时，Px∣3x3,Qx∣2x5，

ðQxx2或x5，

R

所以PQx∣2x3，

PðQxx3或x5，

R

（2）由“xP”是“xQ”的充分不必要条件，

可得：P是Q的真子集，Px∣a4xa2,Qx∣2x5

因为a2a4，即P不是空集，

a42

所以，且等号不同时成立，

a25

解得2a3，

所以实数a的取值范围2,3.

30．（25-26高一上·山西太原·月考）已知集合Ax|1x6，Bxm1x2m1且B.

(1)若“命题p:xA，xB”是真命题，求实数m的取值范围；

(2)若s:xB是t:xA的充分不必要条件，求实数m的取值范围.

【答案】(1)m|2m5

7

(2)m|2m

2

【分析】（1）由题意转化为AB，列出不等式组即可得解；

（2）由题意转化为B是A的真子集，列出不等式组得解.

【详解】（1）因为B，所以2m1m1m2

命题p:xA,xB是真命题，可知AB，

因为Ax|1x6，Bx|m1x2m1，

m212m16

或，

1m16m2

7

2m5或2m

2

故m的取值范围是m|2m5.

（2）若s:xB是t:xA的充分不必要条件，得B是A的真子集，B，

2m1m1

7

则m11，解得2m，此时B是A的真子集，

2

2m16

7

故m的取值范围是m|2m.

2

高妙技法

由且转化为集合关系。明确、对应的参数范围，借助数轴分析包含关系，列出不等式组，验

证临“q⇒界p值是p否⇏符q”合不能推出，精准求p解q参数范围。

“qp”

31．（25-26高二上·广东清远·月考）若“x3”是“xa”的必要不充分条件，则a的取值范围是（）．

A．3,B．3,C．,3D．,3

【答案】C

【分析】根据必要不充分条件求参数范围即可.

【详解】因为“x3”是“xa”的必要不充分条件，

所以xax3,x3推不出xa，

所以a3．

故选：C

32．（24-25高二下·山东烟台·期末）设集合A1,3,a2，B1,a2，若“xA”是“xB”的必要不充分

条件，则实数a的值为（）

A．－1B．0C．1D．2

【答案】D

【分析】由逻辑用语可得集合的包含关系，再分情况建立方程，根据集合元素的特征验根，可得答案.

【详解】由题意可得BA，令a23，解得a1，则a21，不符合题意；

2

令a2a2，则aa2a2a10，解得a2或1，

当a1时，a21，不符合题意，当a2时，a24.

综上可得：a2.

故选：D.

33．（25-26高一上·江西南昌·月考）已知集合Ax2x5，Bxm1x2m1，若p：xA，

q：xB，p是q的必要不充分条件，则m的取值范围是（）

A．2,3B．3,3C．,3D．2,3

【答案】C

【分析】根据充分必要条件的定义，结合集合的包含关系可得．

【详解】p是q的必要不充分条件，则B是A的真子集，

当m12m1，即m2时，B符合题意；

m12

当m12m1，即m≥2时，B，则且两个等号不能同时取得，解得3m3，所以2m3，

2m15

综上，m(,3]，

故选：C．

2ð

34．（2025高三·天津·专题练习）已知集合Axx4x30，Bxxm．若“xRA”是“xB”的

必要不充分条件，则实数m的取值范围是（）．

A．,1B．1,3C．3,D．2,3

【答案】C

ððð

【分析】解一元二次不等式可得A1,3，即可写出RA，由题意知BRA且BRA，即可根据集合之间

的关系求得m.

2ð

【详解】由x4x30x1x30，即A1,3，故RA,13,．

ððð

“xRA”是“xB”的必要不充分条件BRA且BRA．

由B,13,且B,13,，结合Bxxm，

故m3.

故选：C

35．（25-26高一上·重庆·月考）已知集合A{x|2x4}和集合B{x|2mx1m,mR}.

(1)若AB，求实数m的取值范围；

(2)已知p:xA,q:xB，若q是p的必要不充分条件，求实数m的取值范围.

【答案】(1)m|m1

(2)m|m3

【分析】（1）根据集合的交集运算讨论B，B，列不等式即可得实数m的取值范围；

（）根据必要不充分条件得，从而列不等式组即可解得实数m的取值范围

2A⫋B.

【详解】（1）由AB，得：

1

①若2m³1-m，即m时，B，符合题意；

3

1

②若2m<1-m，即m时，此时B，要满足AB，

3

11

mm1

则需3或3，解得1m；

3

1m22m4

综上，实数m的取值范围为m|m1；

（2）∵q是p的必要不充分条件，

∴，

A⫋B

1m2m1m2m

则2m2或2m2，解得：m3，

1m41m4

故实数m的取值范围为m∣m3.

36．（25-26高一上·重庆铜梁·月考）已知集合Px2x10，非空集合Sx1mx1m.

(1)若xP是xS的充分条件，求实数m的取值范围；

(2)是否存在实数m，使得xP是xS的必要不充分条件，若存在，求出m取值范围，若不存在，说明理

由.

【答案】(1)9,

(2)0,3

【分析】（1）利用集合包含关系得到两个不等式：左端点满足1m2，右端点满足1m10，再结合集

合非空条件m0，联立解得m的范围.

（2）由SP得两个不等式：1m2且1m10，结合m0解得m0,3，然后检查在此范围内PS

是否成立.

【详解】（1）由题意，xP是xS的充分条件，所以PS，

即21m且101m，且m0，

解得m3且m9，取交集得m9，

故实数m的取值范围为9,.

（2）若xP是xS的必要不充分条件，则SP且PS，

1m2,

由SP得

1m10,

结合m0，解得0m3，

此时S的右端点1m4,1m10，所以10S，即PS成立，

因此存在实数m，其取值范围为0,3.

37．（24-25高一上·云南昆明·期末）已知全集UR，集合Ax|x24x30，B{x|1x5}，

C{x|2axa7}.

ð

(1)求AUB；

(2)若“xC”是“xB”的必要不充分条件，求实数a的取值范围.

【答案】(1){x|x3或x5}；

1

(2)[2,]．

2

【分析】（1）根据集合的运算法则计算；

（2）转化为集合的包含关系求解．

【详解】（1）Ax|x24x30{x|1x3}，

ð

UB{x|x1或x5}，

ð

所以AUB{x|x3或x5}．

（2）若“xC”是“xB”的必要不充分条件，则BC且BC，

2a11

所以且两个等号不能同时取得，解得2a．

a752

1

所以a的取值范围是[2,]．

2

38．（25-26高一上·山西大同·月考）已知全集UR，集合Ax2x4，Bx2a1x2a3.

ð

(1)若a1，求AB和UAB；

(2)若“xA”是“xB”的必要不充分条件，求a的取值范围.

ð

【答案】(1)ABx|2x1；UAB{x|x1或x4}

11

(2)a|a

22

【分析】（1）当a1时，写出集合B，再根据集合运算计算即可；

（2）由题意知，集合B是集合A的真子集，分B和B两种情况讨论，根据集合的包含关系可得出

关于实数a的不等式，求解即可.

【详解】（1）当a1时，集合Bx|3x1，

因为Ax2x4，

ðð

所以ABx|2x1，UA{x|x2或x4}，UAB{x|x1或x4}；

（2）若“xA”是“xB”的必要不充分条件，则集合B是集合A的真子集，

当B时，2a12a3，此不等式无解；

2a1211

当B时，，解得a；

2a3422

11

综上所述：若“xA”是“xB”的必要不充分条件，实数a的取值范围为a|a.

22

高妙技法

根据转化为集合关系（）。将、转化为等价的不等式（或方程），列出参数满足的等式或不

等式组“p⇔，q求”解后验证双向推导p是=否q成立，确p保q参数使两者完全等价。

39．（23-24高一下·湖南·期末）已知集合M1,2,3,NxZ∣x2a，若xM是xN的充要条件，

则整数