2026高一数学寒假自学课（苏教版）9.4向量应用（2知识点+8考点）（解析版）

9.4向量应用

内容导航——预习三步曲

第一步：导

串知识识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标明确内容掌握

第二步：学

析教材学知识：教材精讲精析、全方位预习

练考点强知识：核心题型举一反三精准练

第三步：测

过关测稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升

知识点1：向量在几何中的应用

1、向量方法解决平面几何问题的“三步曲”

（1）转化：建立平面几何与向量的关系，用向量表示问题中涉及到的几何元素，将平面几何问题转化为向

量问题；

（2）运算：通过向量运算，研究元素之间的关系，如距离、夹角等问题；

（3）翻译：把运算结果“翻译”成几何关系．

2、向量在平面几何中常见的应用

（）证明线段平行或点共线问题，以及相似问题，常用向量共线定理：∥．

1ababx1y2x2y10(b0)

（2）证明线线垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线（或线段）是否垂直等，常用向量垂

直的条件：．

abab=0x1x2y1y20

abxxyy

（3）求夹角问题，利用夹角公式：cosa,b1212．

|a||b|2222

x1y1x2y2

（4）求线段的长度或说明线段相等，可以用向量的模：|a|a2x2y2或

22．

|AB||AB|(x1x2)(y1y2)

（2025高一·福建厦门·期末）在四边形ABCD中，AB2m2n，ADm3n，AC2n，其中m，n为

不共线的向量．

(1)判断四边形ABCD的形状，并给出证明；

(2)若m2，n1，m与n的夹角为60，F为BC中点，求FAB．

【答案】(1)四边形ABCD为梯形，证明见解析

π

(2)FAB

6

【分析】（1）根据向量线性运算判断AB,DC的关系即可；

（2）利用向量数量积先求AB，AF和AFAB，然后由向量夹角公式可得.

【详解】（1）因为ADm3n，AC2n，

所以DCACAD2nm3nmn，

又因为AB2m2n，所以AB2DC，

又因为A,B,C,D四点不共线，所以ABDC且ABDC，所以四边形ABCD为梯形．

（2）因为AB2m2n，

222

所以AB2m2n4m8mn4n23，

1

因为F为BC中点，所以AFABACm，

2

2

所以AFm2，所以AFABm2m2n2m2mn826，

AFAB63

所以cosFAB，

AFAB2232

π

因为FAB0,π，所以FAB．

6

知识点2：向量在物理中的应用

1、向量在物理应用中的主要解题思路

（1）转化问题：将物理问题转化为数学问题；

（2）建立模型：建立以向量为载体的数学模型；

（3）求解参数：求向量的模长、夹角、数量积等；

（4）回答问题：把所得到的数学结论回归到物理问题．

2、力学问题的向量处理方法

（1）解决此类问题必须用向量知识将力学问题转化为数学问题，即将力学各量之间的关系抽象成数学模型，

再利用建立的数学模型解析或回答相关物理现象；

（2）向量是既有大小又有方向的量，表示向量的有向线段可以有共同的起点，也可以没有共同的起点，力

是既有大小，又有方向的量，用向量知识解决共点力的问题，往往需要把向量平移到同一作用点上．

3、速度、位移问题的向量处理方法

速度、加速度与位移的合成与分解，实质是向量的加减运算，运动的叠加也用到了向量的合成

（1）向量在速度、加速度上的应用，实质是通过向量的线性运算解决物理问题，最后获得物理结论；

（2）用向量解决速度、加速度和位移问题，用的知识主要是向量的加法、减法以及数乘，有时也可借助坐

标来求解．

4、功、动量问题的向量处理方法

物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实质是力F与位移的数量积，

即WFs|F||s|cos（为F与s的夹角），功是一个标量，它可正，也可负。动量mv实际上是数

乘向量．在解决问题时要注意数形结合．

（2024高二·辽宁·学业考试）在物理学中我们已经知道，力既有大小又有方向，因此力是向量.如图所示，

在光滑的水平面上静止的物体A受到力F1与F2的作用.

(1)求物体A受到F1与F2的合力的大小；

(2)求F1F2F12F2.

【答案】(1)17

(2)13

【分析】（1）利用向量的线性运算求解合力，利用模的坐标运算求解即可；

（2）利用向量的坐标运算及数量积的坐标运算公式计算即可.

【详解】（）由题图可知，，

1F1(2,1)F2(2,2)

则物体受到与的合力为，

AF1F2F1F2(2,1)(2,2)(4,1)

2

所以其大小为42117；

（2）因为F1F2(4,1)，F12F2(2,1)2(2,2)(2,5)，

所以F1F2F12F2421513.

题型一：用向量证明线段垂直

,13

【例1】（2025高二·广东佛山·期中）已知ABC的三个顶点分别是A1,0，B10，C,，则ABC

22

的形状是（）

A．等腰三角形B．直角三角形

C．斜三角形D．等腰直角三角形

【答案】B

【分析】利用向量数量积的坐标表示即可求得ACBC0，由模长公式计算可得ACBC，即可得出结论.

3313

【详解】易知AC,,BC,，

2222

3133

可得ACBC0，即ACBC，且AC3BC1，

2222

所以可得ABC的形状是直角三角形.

故选：B

【变式1-1】（2025高一·四川·月考）若平面四边形ABCD满足：ABCD0，(ABAD)AC0，则该

四边形一定是（）

A．平行四边形B．菱形C．矩形D．正方形

【答案】B

【分析】根据向量相等可证明四边形为平行四边形，再由向量数量积为0知对角线互相垂直可知为菱形.

【详解】ABCD0，ABDC,

所以四边形ABCD为平行四边形，

(ABAD)AC0,DBAC0，

所以BD垂直AC，所以四边形ABCD为菱形.

故选：B

【变式1-2】（2025高三·山西·期末）已知平面四边形ABCD的四条边AB，BC，CD，DA的中点依次为

E，F，G，H，且AB2CD2AD2BC2，则四边形EFGH一定为（）

A．正方形B．菱形C．矩形D．直角梯形

【答案】C

【分析】由中位线定理可得四边形EFGH为平行四边形，结合已知以及BCBAADDC，化简整理得

BDAC0，即BDAC，进一步即可得解.

【详解】

11

由题意结合中位线定理可得HG//AC,HGAC，EF//AC,EFAC，

22

所以HG//EF,HGEF，即四边形EFGH为平行四边形.

BCBAADDC，

222222

ABCDADBCADBAADDC

2222

ADBAADDC2BAAD2BADC2ADDC，

2

ADBAADBADCADDC0，

ADADDCBAADDC0，

ADBAAC0，即BDAC0，即BDAC，

所以BDAC，又HG//AC，所以BDHG，

同理由中位线定理可得HE//BD，所以HEHG，

故四边形EFGH为矩形.

故选：C.

【变式1-3】（2025高一·全国·课前预习）在平行四边形ABCD中，M、N分别在BC、CD上，且满足BC

＝3MC，DC＝4NC，若AB＝4，AD＝3，则AMN的形状是()

△

A．锐角三角形B．钝角三角形

C．直角三角形D．等腰三角形

【答案】C

【分析】由图猜测AN与MN垂直，故验证ANMN是否为零即可.

311

【详解】∵ANMNADDNMCCNADABADAB

434

1313

AD|2AB|29160.

316316

∴ANMN，

∴AMN是直角三角形.

故选：C.

题型二：用向量证明平行

【例2】（2026高三·全国·专题练习）如图，在△ABC中，BOOC，AT＝4TO，AE2EC.求证：B，T，

E三点共线．

【答案】证明过程见解析

【分析】根据平面向量基本定理，结合平面向量共线定理进行证明即可.

【详解】设ABa,ACb，

44132

BTBAATaAOaABACab，

55255

22

BEBAAEaACab，

33

5

显然BEBT，

3

所以B，T，E三点共线.

【变式2-1】（25-26高一·辽宁鞍山·期末）如图，在平行四边形ABCD中，AE2EB，DF3FB，设AB=a，

ADb．注：本小题几何方法求解不得分．

(1)用a，b表示BD，AF；

(2)用平面向量证明：E，F，C三点共线．

31

【答案】(1)ba，ab

44

(2)证明见解析

1

【分析】（1）根据题意，结合BDADAB和AFABBFABBD，即可求解；

4

111

（2）根据题意，求得EFab，ECab，得到EC4EF，即可得证.

1243

【详解】（1）由题意知，向量ABa,ADb可得BDADABba，

1

又由DF3FB，可得BFBD，

4

1131

所以AFABBFABBDabaab，

4444

2

（2）因为AE2EB，可得AEAB，

3

31211

所以EFAFAEabaab，

443124

1

且ECEBBCab，可得EC4EF，所以E,F,C三点共线.

3

【变式2-2】（2025高一·上海·课堂例题）用向量方法证明：把一个平行四边形的一个顶点和两条不过此顶

点的边的中点分别连线，则这两条连线三等分此平行四边形的一条对角线．

【答案】证明见解析

【分析】可作平行四边形ABCD，E,F分别是AB,BC的中点，DE,DF分别交AC于点G,H，然后设

11

AGkAD2kAE，根据三点共线得出k，同理可得CHCA，即可证明．

33

【详解】已知：平行四边形ABCD，E,F分别是AB,BC的中点，DE,DF分别交AC于点G,H；求证：G,H

是AC的三等分点．

证明：如图，设AGkACkADkABkAD2kAE，k0，

因为D,G,E三点共线，

1

所以k2k1，即k，

3

11

所以AGAC，同理可得CHCA，

33

所以G,H是AC的三等分点．

【变式2-3】（2025高一·上海·课堂例题）如图，已知M,N是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点，且

AMCN，求证：四边形BMDN是平行四边形．

【答案】证明见解

【分析】设ABa,ADb，AMAC01，根据平面向量共线定理证明即可．

【详解】证明：设ABa,ADb，则ACab，设AMAC01，

所以AMabNC，

所以ANACCNabab1a1b，

BMAMABaba(1)ab，

NDADANb1a1b(1)ab，

所以BMND，

所以四边形BMDN是平行四边形．

题型三：利用向量求线段的长度

【例3】（2025高三·江苏镇江·月考）在ABC中，AB3，BDDC，AE2EC，AD与BE的交点为O，

若AOBC2，则AC的长为（）

A．2B．3C．2D．5

【答案】C

22

【分析】借助向量线性运算法则与三点共线定理可得AOABAC，再利用向量数量积公式计算即可

55

得解.

【详解】令AOAD，0,1，由BDDC，AE2EC，

113

则ADABAC，ACAE，

222

3

则AOADABACABAE，

2224

34

由B、O、E三点共线，故=1，即=，

245

2222

即AOABAC，则AOBCABACACAB

5555

22222

=ACABAC92，

55

解得AC2，即AC的长为2.

故选：C.

【变式3-1】（2025·山东临沂·模拟预测）在平行四边形ABCD中，AB3，AD2，BAD60，P为

边CD上一点，若APBD，则线段AP的长为（）

21

A．B．5C．3D．23

2

【答案】A

1

【分析】利用向量垂直则数量积为0，求出APADAB，再平方求向量的模即可.

6

【详解】设APADAB，如图，

因为APBD，

22

所以APBDADABADABADAB1ABAD0,

11

即491320，解得，

26

1

所以APADAB，

6

2

1212111121

APADABADABADAB432，

63634322

故选：A

【变式3-2】【多选】（2025高一·江苏连云港·期末）在ABC中，AC4,AB5,BC6,D为AC的中点，

E为BD的中点，延长AE交线段BC于点F，则（）

314

A．AEB．AE3EF

4

5763

C．△BEF的面积为D．AEBC

88

【答案】ABD

11

【分析】对于A，由AEADAB两边平方，并求出cosCAB，即可求解；对于B，设AFAE，

22

可得AFACAB，根据三点共线的性质即可求解；对于C，根据E为AF靠近F的四等分点，F为CB

42

111

靠近的三等分点，可得，求即可；对于，由，

BSBEFSABCSABCDAEBCACABACAB

1242

化简可得答案.

【详解】因为ABC中，AC4,AB5,BC6，

162536111

对于A，由题可得cosCAB，因为D为AC的中点，E为BD的中点，所以AEADAB，

245822

2

21112121251163

则AEADABADABADAB125

224424288

63314

所以AE，故A正确；

84

1111

对于B，由AEADABACAB，设AFAE，所以AFACAB，

224242

43

因为C，F，B三点共线，则1，解得，则AEAF，所以AE3EF，故B正确；

4234

312

对于C，由于AEAF，所以E为AF靠近F的四等分点，由于AFACAB，所以F为CB靠近B的

433

111

三等分点，故SSS

BEF43ABC12ABC

2

1137

由于cosCAB，CAB0,π，所以sinCAB1，

888

137157

则S45，

ABC284

1115757

所以SS，故C不正确；

BEF12ABC12416

111211212563

对于D,AEBCACABACABACACABAB45，故D正确；

42442828

故选：ABD

1

【变式3-3】（2025高三·全国·专题练习）在ABC中，点M是BC中点．若A120，ABAC，

2

则AM的最小值是．

1

【答案】/0.5

2

12122

【分析】由AMABAC平方得：AMABAC1，再由ABAC可得ABAC1，进而利

24

用基本不等式可得最小值．

12122122

【详解】由AMABAC平方得：AMABAC2ABACABAC1．

244

11

又ABACABACcos120ABAC，所以ABAC1．

22

212211

所以AMABAC12ABAC1．

444

1

当且仅当ABAC1时，AM取最小值．

2

1

故答案为：．

2

题型四：利用向量求夹角

【例4】（2025高一·湖北·期末）在ABC中，已知AB2AC2.点D是边BC上靠近C的三等分点.AD的

长等于边AB上的高，则tanA（）

A．3B．23C．45D．32

【答案】C

21

【分析】使用向量法建立CEADACAB，得到91cos2A8cosA8从而得到结果.

33

11121

【详解】如图CDCB，所以ADACCDACCBACABACACAB，

33333

2

212142124

则CEADACAB，即ACsinAACABACABAC·AB，

3333999

44488

由AC1,AB2，所以sin2A12cosAcosA，

99999

2145

所以91cosA8cosA8，A0,，可得cosA或cosA1（舍），故sinA，

99

所以tanA45.

故选：C.

1

【变式4-1】（2025高一·安徽合肥·月考）已知正三角形ABC的边长为2，点D在AC边上且ADAC，点

3

E为AB边的中点，CE与BD交于点O，则DOC的余弦为

211

【答案】/21

1414

【分析】根据正三角形ABC的性质，建立平面直角坐标系，根据向量的共线定理的坐标运算求解D点坐标，

再根据向量夹角余弦公式求解即可.

【详解】因为在正三角形ABC中，点E为AB边的中点，所以CEAB，

如图以E为原点，EB,EC所在直线分别为x,y轴建立平面直角坐标系，

则E0,0,A1,0,B1,0,C0,3，

1111323

因为ADAC，所以ADAC1,3,，则D,，

3333333

53

则BD,，又EC0,3，

33

3

3

BDEC321

所以cosDOC.

BDEC25114

3

93

21

故答案为：.

14

【变式4-2】（2025高一·湖南·期末）如图，在ABC中，AB4，AC3，BAC60，D是BC的中点，

CEAB，AD与CE交于点F.则cosCFD（）

257571113111

A．B．C．D．

19197474

【答案】D

【分析】先根据三角函数的定义求出CE和AE的长度，再利用向量的加法AD的长度，再利用向量的乘法

求出ADCE，进而利用向量夹角的余弦公式即可求得cosCFD的值．

33

【详解】由CEAB，则CEACsinBAC3sin60，

2

33

且AEACcosBAC3cos60，得AEAB，

28

1

又D是BC的中点，即AD是中线，则ADABAC，

2

21221223737

则ADAB2ABACAC4243cos603，得AD，

4442

1

所以ADCEABACAEAC

2

13

ABACABAC

28

15322

ABACABAC

288

15322

43cos6043

288

27

8

27

ADEC3111

cosCFDcosAD,EC8

373374

ADEC

22

故选：D．

【变式4-3】（2025高一·广西河池·月考）如图，在ABC中，已知AB2,AC5,BAC60,BC,AC边上

的两条中线AM，BN相交于点P.

(1)求AM的长度；

(2)求∠MPB的正弦值.

39

【答案】(1)

2

5273

(2)

91

1

【分析】（1）根据AM是中线，由AMABAC求解；

2

（2）易知MPB为向量AM,NB的夹角AM,NB，然后利用平面向量的夹角公式求解.

【详解】（1）解：因为AM是中线，

1

所以AMABAC，

2

21221139

所以AMAB2ABACAC422525，

4424

39

则AM；

2

（2）由图象知：MPB为向量AM,NB的夹角AM,NB，

1

因为NBABANABAC，

2

2

21212

所以NBABANABACABABACAC，

24

1252121

425，则NB，

2442

1112112

又AMNBABACABACABABACAC，

22222

1111

425253，

2222

AMNB34

cosMPBcosAM,NB

所以392191，

AMNB

22

因为MPB0,π，

2

45273

所以sinMPB1.

9191

题型五：向量与几何最值问题

【例5】（2025高三·山西·专题练习）已知|AB|6，平面上动点P满足APtAB4对任意tR恒成立，

则PAPB的最小值为.

【答案】7

【分析】利用向量的线性运算可得CP4，即动点P到定直线的距离恒为4，再利用极化恒等式即可求解

PAPB7.

【详解】

设直线AB上有一动点C，满足tABAC，则APtABAPACCP4，

由此可得点P到直线AB的距离为4，

取AB中点为D，如图，

22

则PAPBPDDAPDDBPDDAPDDAPDDA42327，

此时PDAB.

所以PAPB的最小值为7.

故答案为：7

【变式5-1】（25-26高三·天津滨海新·月考）如图，在ABC中，AB2,AC1,E,D分别是直线AB，AC

上的点，AE2BE,CD4AC，且BDCE2，则cosBAC.若P是线段DE上的一个动

点，则BPCP的最小值为.

137

【答案】/0.5

27

【分析】①先利用向量的数量积公式及向量线性运算，由题可知：AE2AB,AD5AC，由BDCE2，

22

可得11ABAC5AC2AB2，代入相应数据即可求得cosBAC的值；②由①可得BAC，则设

EPED,[0,1]，根据平面向量的混合运算可推出BPCP212127，再利用配方法即可得解，最

后求出最小值.

【详解】①AE2BE,CD4AC,AE2AB,AD5AC，

BDCE2,

(ADAB)(AEAC)(5ACAB)(2ABAC)

11ABAC5AC22AB2

又AB2，AC1，

22

则：ACAC|21,ABAB|24，且ABACABACcosBAC

原式1121cosBAC5124，

22cosBAC132,

1

解得cosBAC；

2

π

②BAC(0,π),BAC.

3

设EPED,[0,1]，

BPCP(BEEP)(CDDP)

14

AE(ADAE)AD(1)(AEAD)

25

12121712

(1)AEAD2ADAE

251010

111712π

16(1)25254cos

2510103

212127

2

237

21,

77

237

当时，BPCP有最小值，为.

77

137

故答案为：①，②.

27

【变式5-2】（25-26高三·北京·月考）如图，正六边形的边长为3，半径为1的圆O的圆心为正六边

形的中心，若点M在正六边形的边上运动，动点A，B在圆O上运动且关于圆心O对称，则

MAMB的最大值为（）

A．1B．2C．3D．4

【答案】B

【分析】连接OE、OF、AB、OM，则O为AB的中点，利用平面向量数量积的运算性质得出

22

MAMBMOOA，数形结合求出MO的最大值，即可得出MAMB的最大值.

【详解】连接OE、OF、AB、OM，则O为AB的中点，

由正六边形性质得EOF60，OEOFEF3，而|OA|1，

因此MAMB(MOOA)(MOOB)(MOOA)(MOOA)

|MO|2|OA|2|MO|21|OE|21312，

当且仅当M与正六边形的顶点重合时，MAMB取最大值2.

故选：B

【变式5-3】（25-26高三·山东·期中）已知直角梯形ABCD中，A90，AB∥CD，且CD3，AB2，

点P是梯形ABCD内（含边界）任意一点，设APABAD,R，则的取值范围为（）

5535

A．0,B．1,C．0,D．0,

2223

【答案】A

【分析】以A为坐标原点，AB,AD分别为x,y轴建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算，表示出，

再求取值范围即可.

【详解】如图，以A为坐标原点，AB,AD分别为x,y轴建立平面直角坐标系，设ADb,P(x,y)，

则A(0,0),B(2,0),C(3,b),D(0,b)，0x3,0yb，

可得AB(2,0),AD(0,b)，

因为APABAD,R，所以x,y2,00,b2,b，

xyxy

所以,,，当xy0时，取得最小值0；

2b2b

55

当x3,yb时，取得最大值，即0,.

22

故选：A.

题型六：力的合成问题

【例6】（25-26高一·辽宁·期末）如图所示，把一个物体放在倾斜角为37的斜面上，物体处于平衡状态，

且受到三个力的作用，即重力G，沿着斜面向上的摩擦力F1，垂直斜面向上的弹力F2，已知F160N那么

3

GN.（sin37）

5

【答案】100

【分析】建立平面直角坐标系，求出向量坐标，根据向量的和向量为零向量，即可求得答案.

【详解】以平行于斜坡方向为x轴，垂直于斜坡方向为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，

则F160,0，设F20,b，Gxsin37,xcos37，

所以OF160,0，OF20,b，OGxsin37,xcos37，

由题意可得OF1OF2OG0，

所以60,00,bxsin37,xcos370,0，即xsin37600，

22

解得x100，GOG100sin37100cos37100.

故答案为：100

【变式6-1】（2026高三·全国·专题练习）平面上的三个力F1,F2,F3作用于一点，且处于平衡状态．若F11N，

62

FN，F1与F2的夹角为45°，则F3与F1夹角的余弦值为．

22

62

【答案】

4

22

【分析】根据，先求得FFF，再由，即可求解

F1F2F30312F2F1F32F1F3cos.

【详解】∵三个力平衡，

∴F1F2F30，

2

226262

∴2.

F3F1F2F12F1F2F2121cos452

22

22

设与的夹角为，则，

F3F1F2F1F32F1F3cos

62262

即122212cos，解得cos.