探寻中学数学开放题教学：理论、实践与创新

探寻中学数学开放题教学：理论、实践与创新一、引言1.1研究背景与意义在当今中学数学教学领域，传统教学模式依然占据主导地位。教师往往侧重于知识的传授，通过大量的例题讲解和习题训练，帮助学生掌握数学概念、公式和定理，以应对各类考试。这种教学方式虽然在一定程度上能够提升学生的应试能力，但也带来了诸多问题。例如，学生的学习积极性和主动性难以得到充分激发，他们习惯于被动接受知识，缺乏自主思考和探索的精神。在解决数学问题时，学生常常依赖固定的解题模式和套路，一旦遇到新颖或复杂的问题，就容易陷入困境，缺乏灵活运用知识和创新思维的能力。这不仅限制了学生数学素养的全面提升，也不利于他们未来的学习和发展。随着教育改革的不断推进，培养学生的核心素养和综合能力已成为教育的重要目标。数学作为一门基础学科，对于学生逻辑思维、创新能力和问题解决能力的培养具有不可替代的作用。在这样的背景下，数学开放题应运而生。数学开放题具有条件不完备、结论不确定、解题策略多样化等特点，能够为学生提供更加广阔的思维空间和探索机会。通过解决开放题，学生不再局限于传统的解题思路，而是需要从多个角度思考问题，尝试不同的方法和策略，从而有效锻炼他们的发散思维、创新思维和批判性思维能力。开放题还能够激发学生的学习兴趣和主动性，让他们在自主探索和合作交流中体验到数学学习的乐趣和成就感，进而提升他们的数学学习动力和自信心。开放题在中学数学教学中具有重要的现实意义。它能够弥补传统教学的不足，打破学生思维的局限性，培养学生的创新意识和实践能力，使学生更好地适应未来社会对创新型人才的需求。通过开放题的教学，还可以促进学生数学知识的整合和应用，提高他们解决实际问题的能力，增强学生的数学应用意识和社会责任感。在数学教学中引入开放题，并深入研究其教学方法和策略，对于提升中学数学教学质量、培养学生的综合素质具有重要的理论和实践价值。1.2国内外研究现状国外对数学开放题的研究起步较早，成果丰硕。1971年，日本国立研究所以岛田茂为首的27人数学教育学者小组，在接受日本文部省的特定研究项目“开发算术・数学学科的更高的评价方法”时，率先提出了数学“开放题”（open-endproblem）的概念。1977年，该小组出版报告文集《算术・数学课的开放式结尾的问题——改善教学的新方案》，其中设计了“水槽问题”“投石子问题”“几何体分类问题”等经典开放题，为后续研究提供了范例。同年，在芬兰赫尔辛基大学举行的“数学教育中开放题研讨会”，进一步推动了开放题在国际上的研究与交流。此后，开放题的研究逐渐深入，其教育价值得到广泛认可。1986年，在匈牙利首都布达佩斯召开的第六届国际数学教育大会（ICME-6）上，与会代表认为开放题与探究题是培养学生创造精神和创造能力最有价值的问题。1989年，日本文部省在修订后的《算术・数学学习指导要领》中，特别设置了“课题学习（problemsituationlearning）”这一教学形式，将数学开放题纳入教学大纲，为开放题的教学实践提供了指导。美国在数学教育中也十分重视开放题的应用。1980年，美国全国数学教师理事会（NCTM）提出“问题解决是数学教学的核心”的口号，在此过程中，一些开放题被认为是“好”的数学问题，得到了广泛关注。1990年，NCTM发布的《数学课程与评价标准》指出，使学生“成为数学问题的解决者”是现代数学教育的重要理念，这进一步强调了开放题在培养学生问题解决能力方面的重要作用。在国内，随着教育改革的推进，对数学开放题的研究也日益受到重视。20世纪90年代以来，国内学者开始关注国外数学开放题的研究成果，并结合我国教育实际，对数学开放题的定义、分类、教学价值等方面进行了深入探讨。关于开放题的定义，虽尚未形成完全统一的观点，但普遍认为答案不唯一、条件不完备或解题策略多样化是其重要特征。在分类方面，学者们从不同角度进行了划分，如按问题的开放程度可分为弱开放题、中开放题和强开放题；按问题的内容可分为代数开放题、几何开放题、统计与概率开放题等。在教学实践方面，许多教师积极尝试将开放题引入课堂教学，通过设计具有启发性和挑战性的开放题，激发学生的学习兴趣和主动性，培养学生的创新思维和问题解决能力。一些学校和地区还开展了相关的教学实验和研究项目，探索开放题教学的有效模式和方法。例如，通过小组合作学习的方式，让学生在交流与讨论中共同解决开放题，培养学生的合作意识和团队精神；运用信息技术手段，为学生提供丰富的学习资源和多样化的解题环境，拓宽学生的解题思路。然而，目前国内外的研究仍存在一些不足之处。在理论研究方面，对于开放题的评价标准和体系尚未完善，如何科学、准确地评价学生在开放题解决过程中的表现和能力提升，仍是亟待解决的问题。在教学实践中，虽然开放题教学已得到一定推广，但部分教师对开放题的理解和运用还不够深入，存在教学方法不当、教学目标不明确等问题，影响了开放题教学的效果。此外，关于开放题教学对学生长期发展的影响，以及如何将开放题教学与传统教学有机结合等方面的研究还相对薄弱，需要进一步加强探索和实践。1.3研究方法与创新点本研究综合运用多种研究方法，以确保研究的全面性、科学性与深入性。文献研究法是本研究的重要基石。通过广泛查阅国内外与中学数学开放题及其教学相关的学术期刊、学位论文、研究报告等文献资料，全面梳理该领域的研究现状、发展脉络以及存在的问题。深入分析前人在开放题定义、分类、教学价值、教学方法等方面的研究成果，为后续研究提供坚实的理论基础和丰富的研究思路。例如，在研究开放题的定义时，参考了国内外众多学者的观点，对各种定义进行对比分析，从而明确本研究中开放题的界定标准。案例分析法是本研究的关键手段。选取不同类型、不同难度层次的中学数学开放题教学案例进行深入剖析，包括教师的教学设计、课堂实施过程、学生的解题表现以及教学效果等方面。通过对实际教学案例的研究，直观地了解开放题教学在中学数学课堂中的实际应用情况，总结成功经验和存在的问题，并提出针对性的改进建议。例如，在分析某节以“三角形面积计算”为主题的开放题教学案例时，详细观察教师如何引导学生从不同角度思考问题，学生在小组合作中提出了哪些独特的解题思路，以及最终学生对三角形面积知识的掌握和应用情况。行动研究法贯穿于研究过程始终。研究者深入中学数学教学一线，与教师合作开展开放题教学实践。在实践过程中，不断调整教学策略、方法和内容，根据学生的学习反馈及时改进教学，探索适合中学数学开放题教学的有效模式和方法。同时，记录教学过程中的各种现象和问题，对数据进行收集和分析，为研究提供真实、可靠的第一手资料。例如，在一个学期的教学实践中，逐步尝试不同的分组方式、问题引导策略，观察学生在课堂上的参与度、思维活跃度以及学习成绩的变化。本研究在研究视角和方法上具有一定的创新点。在研究视角方面，突破了以往单纯从理论层面或教学实践层面研究开放题的局限，将两者紧密结合，从理论探讨、教学实践、学生学习效果等多个维度对中学数学开放题及其教学进行全面、系统的研究。不仅关注开放题的教学方法和策略，还深入探究学生在开放题学习过程中的思维发展、学习动机和情感体验等方面的变化，为开放题教学的优化提供更全面的理论支持和实践指导。在研究方法方面，采用多种研究方法相互印证、相互补充。将文献研究法的理论性、案例分析法的直观性和行动研究法的实践性有机结合，克服单一研究方法的局限性，使研究结果更具说服力和可信度。在研究过程中，注重对研究方法的创新应用，例如在案例分析中引入课堂观察量表和学生作品分析等工具，更加科学、准确地评估开放题教学的效果；在行动研究中运用信息技术手段，如在线学习平台、数学软件等，为学生提供更加丰富多样的学习资源和学习环境，拓展开放题教学的空间和时间。二、中学数学开放题的理论剖析2.1开放题的定义与内涵在数学教育领域，开放题的定义一直是研究者关注的焦点，然而至今尚未形成完全统一的定论。众多学者从不同角度对开放题进行了界定，虽表述各异，但核心要义却有相通之处。有观点认为，答案不固定或者条件不完备的习题即为开放题；也有学者指出，开放性题是条件多余需选择、条件不足需补充或答案不固定的题。还有看法称，有多种正确答案的问题属于开放题，这类问题给予学生以自己喜欢的方式解答问题的机会，在解题过程中，学生能够将自身知识、技能以各种方式结合，进而发现新的思想方法。此外，答案不唯一、具有多种不同解法或多种可能解答的问题，同样被视为开放性问题。综合诸多定义，本研究将中学数学开放题明确为：在条件、结论、解题策略等方面具有一定开放性的数学问题。其条件可能不完备，需要学生自主挖掘或补充；结论不唯一，存在多种可能性；解题策略多样化，鼓励学生运用不同的思维方式和方法去解决问题。例如，在三角形相关问题中，已知三角形的两条边长分别为3和5，求第三条边的长度范围，这属于条件开放，学生需依据三角形三边关系这一知识来补充条件进行求解；若给出一个三角形，问能得出哪些结论，学生可以从角的关系、边的关系、面积等多方面作答，此为结论开放；对于计算1+2+3+…+100的和，学生既可以采用依次相加的常规方法，也能运用等差数列求和公式这一策略，体现了解题策略的开放。与传统数学题相比，开放题有着显著的差异。传统数学题通常条件完备、结论明确，解题方法也相对固定。学生在解答传统题时，主要依据已学的公式、定理和固定的解题模式进行套用，思维过程较为单一。如在求解“已知直角三角形的两条直角边分别为3和4，求斜边的长度”这一传统问题时，学生直接运用勾股定理a^2+b^2=c^2（其中a、b为直角边，c为斜边），代入数值计算即可得出斜边为5。而开放题则打破了这种固定模式，为学生提供了更为广阔的思维空间。以“用12根长度相等的小棒，能摆出哪些不同形状的多边形，它们的周长和面积分别是多少”这一开放题为例，学生需要从多个角度思考，尝试不同的组合方式，如三角形（等边三角形、等腰三角形等不同类型）、四边形（正方形、长方形、平行四边形等）以及其他多边形等，其解题思路和方法具有多样性，对学生的思维能力提出了更高的要求，更注重培养学生的创新思维、发散思维和综合运用知识的能力。2.2开放题的类型划分根据开放题开放元素的不同，可将其分为条件开放题、结论开放题、策略开放题以及综合开放题这四种类型。这种分类方式有助于教师更有针对性地设计教学活动，引导学生从不同角度思考问题，培养学生的多种思维能力。下面将对这四种类型的开放题进行详细阐述。2.2.1条件开放题条件开放题的显著特点是条件缺失或不明确，学生需要根据已有的知识和经验，自主分析并补充合适的条件，以实现问题的解决。以“已知一个三角形的两条边长分别为3和5，求第三边的长度范围”为例，题目仅给出了三角形两条边的长度信息，要确定第三边的长度范围，学生必须依据三角形三边关系这一重要知识，即“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”来补充条件进行求解。在这个过程中，学生需要思考如何运用这一关系，通过不等式的运算得出第三边的取值范围，即5-3<第三边<5+3，也就是2<第三边<8。再比如，“如图，要使\triangleABC\cong\triangleDEF，请添加一个条件”，这里仅给出了两个三角形，要证明它们全等，学生需要根据全等三角形的判定定理（如SSS、SAS、ASA、AAS、HL等）来补充相应的条件。学生可以从边的角度考虑，添加AB=DE、BC=EF、AC=DF等条件；也可以从角的角度出发，添加\angleA=\angleD、\angleB=\angleE、\angleC=\angleF等条件。这种类型的题目考查了学生对全等三角形判定条件的理解和灵活运用能力，学生需要在众多可能的条件中进行选择和判断，从而提高分析问题和解决问题的能力。2.2.2结论开放题结论开放题的答案具有多样性，学生通过对已知条件的分析和推理，可以得出多种不同的结论，能够有效激发学生从不同方向进行思考，培养学生的发散思维能力。例如，“已知一个平行四边形，你能得出哪些结论？”学生可以从平行四边形的性质出发，得出诸如对边平行且相等，即AB\parallelCD，AB=CD，AD\parallelBC，AD=BC；对角相等，即\angleA=\angleC，\angleB=\angleD；对角线互相平分，即AO=CO，BO=DO等结论。不同学生可能根据自己的知识储备和思维方式，得出不同的结论，这体现了结论开放题的开放性和多样性。又如，“在平面直角坐标系中，已知点A(1,2)，点B(3,4)，请描述这两点所构成的直线的特征”。学生可以通过计算直线的斜率k=\frac{4-2}{3-1}=1，得出直线的斜率为1，说明直线与x轴正方向夹角为45^{\circ}；也可以通过两点间距离公式d=\sqrt{(3-1)^2+(4-2)^2}=2\sqrt{2}，得到两点间的距离为2\sqrt{2}；还可以写出直线的方程为y-2=1\times(x-1)，即y=x+1，进而描述直线在y轴上的截距为1等结论。这些不同的结论展示了学生对数学知识的不同理解和运用，有助于拓展学生的思维空间。2.2.3策略开放题策略开放题的解题方法丰富多样，学生可以根据自己的思维方式和知识储备，选择不同的解题策略来解决问题，对培养学生的灵活思维和创新能力具有重要意义。以计算1+2+3+\cdots+100的和为例，常规的方法是依次相加，即从1开始，逐次加上后面的数，1+2=3，3+3=6，6+4=10，以此类推，直到加到100，得到结果5050。但这种方法计算量较大，耗时较长。而运用等差数列求和公式S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}（其中n为项数，a_1为首项，a_n为末项），则可以快速得出结果。在这个例子中，n=100，a_1=1，a_n=100，代入公式可得S_{100}=\frac{100\times(1+100)}{2}=5050。此外，还可以采用首尾相加的方法，1+100=101，2+99=101，3+98=101，以此类推，共有50组这样的和为101的组合，所以结果为101\times50=5050。不同的解题策略体现了学生不同的思维路径，学生可以在探索不同方法的过程中，加深对数学知识的理解和掌握，提高思维的灵活性和创造性。再比如，“已知\triangleABC中，AB=AC，\angleBAC=120^{\circ}，D是BC的中点，求AD与BC的数量关系”。学生可以通过作辅助线，构造直角三角形来求解。方法一：过点A作AE\perpBC于点E，因为AB=AC，D是BC中点，所以AD平分\angleBAC，\angleBAD=60^{\circ}，在Rt\triangleABE中，\angleB=30^{\circ}，设AE=x，则AB=2x，根据勾股定理可得BE=\sqrt{3}x，所以BC=2BE=2\sqrt{3}x，又因为AD=2AE=2x，所以AD=\frac{\sqrt{3}}{3}BC。方法二：延长AD到点E，使DE=AD，连接BE、CE，因为D是BC中点，所以四边形ABEC是平行四边形，又因为AB=AC，所以四边形ABEC是菱形，\angleBAE=60^{\circ}，\triangleABE是等边三角形，所以AE=AB，在\triangleABD中，\angleB=30^{\circ}，设AD=x，则AB=\frac{2\sqrt{3}}{3}x，BC=2BD=\frac{2\sqrt{3}}{3}x\times\sqrt{3}=2x，所以AD=\frac{\sqrt{3}}{3}BC。这两种方法从不同角度出发，运用了不同的几何知识和解题技巧，展示了策略开放题的特点。2.2.4综合开放题综合开放题集条件开放、策略开放和结论开放于一体，问题的条件、解题策略以及结论都具有开放性，对学生的综合能力提出了较高要求，能够全面锻炼学生分析问题和解决问题的能力。例如，“某工厂计划生产一批产品，已知生产一件产品需要甲材料3千克，乙材料2千克，现有甲材料100千克，乙材料80千克，问如何安排生产，可使产品数量最多且材料恰好用完？”这道题中，条件方面，虽然给出了甲、乙材料的总量以及生产一件产品所需的材料量，但对于生产产品的种类、是否可以有剩余材料等条件并不明确，学生需要根据实际情况进行假设和补充。解题策略上，学生可以通过列方程的方法来求解，设生产x件产品，根据甲、乙材料的使用量列出方程3x\leqslant100，2x\leqslant80，然后在满足这两个不等式的条件下，找出x的最大值；也可以采用列举法，从生产1件产品开始，逐步增加产品数量，计算所需材料量，观察何时材料恰好用完且产品数量最多。结论方面，由于条件和解题策略的不同，最终得到的产品生产方案可能不止一种，比如当x=20时，甲材料使用3\times20=60千克，乙材料使用2\times20=40千克；当x=25时，甲材料使用3\times25=75千克，乙材料使用2\times25=50千克等，这些不同的方案都是合理的结论。又如，“在一个直角坐标系中，有一个点A，坐标为(x,y)，满足x+y=5，请设计一个几何图形，使点A在该图形上，并求出该图形的相关性质（如面积、周长等）”。这道题的条件开放，学生可以根据自己的理解对x、y进行取值，比如当x=1，y=4时，点A坐标为(1,4)。解题策略也具有多样性，学生可以设计多种几何图形，如以点A为顶点，与坐标轴构成直角三角形，此时可以根据坐标求出三角形的两条直角边长度，进而计算出面积和周长；也可以设计一个以点A为圆心的圆，根据圆的标准方程(x-a)^2+(y-b)^2=r^2（这里a=1，b=4），再结合其他条件确定半径r，从而求出圆的面积和周长等。结论同样不唯一，不同的几何图形会有不同的性质，如直角三角形的面积为\frac{1}{2}\times1\times4=2，周长为1+4+\sqrt{1^2+4^2}=5+\sqrt{17}；圆的面积为\pir^2（r根据具体设定确定），周长为2\pir。这种综合开放题能够引导学生将代数知识与几何知识有机结合，培养学生的综合运用能力和创新思维能力。2.3开放题的显著特点2.3.1不确定性开放题的不确定性体现在条件和答案两个方面。以“已知数3，6，请再写出一个数，使这三个数中的一个数是另外两个数的比例中项”为例，在条件上，并没有明确指出哪个数是另外两个数的比例中项，这就使得问题具有多种可能性。从答案角度来看，若设所求数为x，当3是6与x的比例中项时，根据比例中项的定义可得3^2=6x，解得x=\frac{3^2}{6}=\frac{3}{2}；当6是3与x的比例中项时，则有6^2=3x，解得x=\frac{6^2}{3}=12；当x是3与6的比例中项时，x^2=3×6，解得x=±\sqrt{18}=±3\sqrt{2}。由此可见，这道题的答案不唯一，存在多种可能，充分体现了开放题在条件和答案上的不确定性。这种不确定性能够激发学生从不同角度思考问题，打破思维定式，培养学生的发散思维和探索精神，使学生在解题过程中学会全面分析问题，考虑各种可能的情况。2.3.2探究性开放题具有很强的探究性，能够引导学生深入探究数学知识的本质和内在联系。例如，“探究三角形的三条高所在直线的位置关系，并说明理由”这一开放题，学生在解决过程中，需要通过动手画图，分别对锐角三角形、直角三角形和钝角三角形进行分析。对于锐角三角形，学生通过画图可以直观地发现三条高都在三角形内部，且相交于一点；对于直角三角形，两条直角边就是两条高，它们相交于直角顶点，而第三条高在三角形内部，三条高所在直线相交于直角顶点；对于钝角三角形，钝角所对边上的高在三角形外部，另外两条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外部一点。在这个过程中，学生不仅要观察图形，还要运用三角形的内角和定理、垂线的性质等知识进行推理和论证，深入探究不同类型三角形高的特点及位置关系的本质原因。通过这样的探究活动，学生能够更加深入地理解三角形高的概念，培养学生的观察能力、分析能力和逻辑推理能力，让学生在探究中体验到数学的乐趣和魅力，提高学生自主学习和解决问题的能力。2.3.3非完备性开放题的非完备性体现在条件和结论往往不完整，需要学生主动去探索和补充。以“已知一个四边形，其中一组对边平行，你能得出哪些结论？”为例，题目仅给出了四边形一组对边平行这一条件，条件并不完备。学生要得出更多结论，就需要根据已有的知识进行主动探索。如果再补充一组对边相等的条件，那么这个四边形可能是平行四边形；若补充一组对边不相等的条件，它可能是梯形。从结论角度看，仅根据一组对边平行，学生可以初步得出同旁内角互补的结论，但这只是一部分，随着对条件的进一步探索和补充，还能得出更多关于四边形的性质和判定相关的结论。这种非完备性促使学生积极思考，主动去挖掘隐藏的条件，尝试不同的条件组合，从而培养学生的探索精神和创新思维，让学生学会从已知信息出发，通过合理的假设和推理，去完善问题并得出结论。2.3.4发散性开放题的发散性能够促使学生从多个方面、多个角度思考问题，培养学生的发散思维。例如，“已知函数y=x^2-4x+3，请从不同角度描述该函数的性质”这一开放题，学生可以从函数的图象角度进行描述，通过配方将函数化为y=(x-2)^2-1，可知函数图象是一条开口向上的抛物线，对称轴为x=2，顶点坐标为(2,-1)；从函数的单调性角度分析，当x<2时，函数单调递减，当x>2时，函数单调递增；从函数与x轴的交点角度，令y=0，即x^2-4x+3=0，因式分解得(x-1)(x-3)=0，解得x=1或x=3，所以函数与x轴的交点为(1,0)和(3,0)；还可以从函数的最值角度，因为函数图象开口向上，所以有最小值y=-1。通过这样的开放题，学生能够从不同的知识维度去认识和理解函数，拓宽思维视野，培养学生从多角度分析问题和解决问题的能力，使学生的思维更加灵活和敏捷。2.3.5层次性开放题具有层次性，不同难度层次的开放题能够满足不同层次学生的需求，使每个学生都能在解决问题的过程中有所收获，促进全体学生的发展。例如，对于基础较弱的学生，可以设置“已知一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，求斜边的长度，并尝试找出一种求该直角三角形面积的方法”这样相对简单的开放题。学生可以直接运用勾股定理a^2+b^2=c^2（其中a、b为直角边，c为斜边），计算出斜边c=\sqrt{3^2+4^2}=5，对于求面积，学生可以根据直角三角形面积公式S=\frac{1}{2}ab，得出面积S=\frac{1}{2}×3×4=6。这种题目主要考查学生对基础知识的掌握和简单应用，能够帮助基础薄弱的学生巩固所学知识，增强学习信心。而对于基础较好、思维能力较强的学生，可以设置“已知一个三角形的面积为12，一条边长为6，求这条边上的高，并探究当这个三角形为等腰三角形时，其他边的长度可能是多少”这样难度较大的开放题。首先，根据三角形面积公式S=\frac{1}{2}ah（其中a为底边长，h为这条底边上的高），可求得这条边上的高h=\frac{2S}{a}=\frac{2×12}{6}=4。当三角形为等腰三角形时，需要分情况讨论，若这条边是底边，设腰长为x，根据勾股定理，可得x=\sqrt{(\frac{6}{2})^2+4^2}=5；若这条边是腰，设底边长为y，则可根据等腰三角形三线合一的性质，利用勾股定理列出方程求解，过程相对复杂，需要学生具备较强的逻辑思维能力和综合运用知识的能力。这样的题目能够激发优秀学生的挑战欲望，进一步拓展他们的思维深度和广度，满足他们对知识的更高追求。2.3.6发展性开放题对学生的思维发展具有持续的推动作用，能够随着学生知识和经验的积累不断深化和拓展。以“探究多边形内角和公式的推导方法”为例，在学生刚学习三角形内角和为180^{\circ}时，引导学生探究四边形内角和。学生可能会通过连接四边形的一条对角线，将四边形分割成两个三角形，从而得出四边形内角和为360^{\circ}。随着学生对多边形知识的进一步学习，在探究五边形内角和时，学生可以有多种方法，如从一个顶点出发连接其他顶点，将五边形分割成三个三角形，得出内角和为540^{\circ}；也可以在五边形内部任取一点，连接各顶点，将五边形分割成五个三角形，再减去一个周角360^{\circ}，同样得到内角和为540^{\circ}。在这个过程中，学生的思维从简单的类比推理逐渐向更复杂的逻辑推理和创新思维发展。当学生掌握了这些方法后，对于更复杂的多边形，如n边形，学生能够运用前面积累的经验和方法，推导出n边形内角和公式为(n-2)×180^{\circ}。通过不断地探究开放题，学生的思维能力得到逐步提升，从对具体多边形的研究上升到对一般规律的总结和归纳，这种发展性有助于学生构建更加完整和系统的数学知识体系，提高学生的数学素养。2.3.7创新性开放题能够激发学生的创新思维，使学生在解题过程中得出独特的解法和结论。例如，“用多种方法证明三角形内角和为180^{\circ}”这一开放题，常见的方法有过三角形的一个顶点作平行线，利用平行线的性质和平角的定义来证明；也可以将三角形的三个角剪下来，拼在一起组成一个平角来证明。但有些学生可能会有创新性的解法，如在三角形内部任取一点，分别向三边作垂线，将三角形分成三个小三角形，利用三角形的面积公式和三角形内角和与周角的关系来证明。设三角形ABC，内部一点O，分别向三边AB、BC、AC作垂线，垂足为D、E、F。根据三角形面积公式，S_{\triangleABC}=S_{\triangleAOB}+S_{\triangleBOC}+S_{\triangleAOC}，即\frac{1}{2}AB×h_1+\frac{1}{2}BC×h_2+\frac{1}{2}AC×h_3=\frac{1}{2}AB×r_1+\frac{1}{2}BC×r_2+\frac{1}{2}AC×r_3（其中h_1、h_2、h_3分别为\triangleAOB、\triangleBOC、\triangleAOC以AB、BC、AC为底的高，r_1、r_2、r_3分别为O到AB、BC、AC的距离）。通过对这个等式进行变形和推导，再结合周角为360^{\circ}，可以证明三角形内角和为180^{\circ}。这种独特的解法体现了学生创新思维的火花，开放题的存在为学生提供了展现创新思维的平台，鼓励学生突破传统思维模式，勇于尝试新的方法和思路，培养学生的创新能力和实践能力。三、中学数学开放题的教育价值3.1培养学生思维能力3.1.1思维的深刻性思维的深刻性是指思维活动的抽象程度和逻辑水平，以及思维活动的深度和广度。在中学数学教学中，开放题能够引导学生深入思考数学知识的本质，挖掘知识之间的内在联系，从而培养学生思维的深刻性。以这样一道开放题为例：“已知函数y=x^2-4x+3，请探究该函数在不同区间上的单调性，并说明理由。”在解决这道题时，学生不能仅仅停留在表面的函数表达式上，而是需要深入分析函数的性质。首先，学生可以通过对函数进行配方，将其转化为顶点式y=(x-2)^2-1。从这个形式中，学生能够直观地看出函数图象的对称轴为x=2，顶点坐标为(2,-1)。然后，学生需要思考函数在对称轴两侧的变化趋势，即当x<2时，随着x的增大，(x-2)^2的值逐渐减小，所以y的值逐渐减小，函数单调递减；当x>2时，随着x的增大，(x-2)^2的值逐渐增大，所以y的值逐渐增大，函数单调递增。在这个过程中，学生不仅要掌握函数单调性的定义和判断方法，还要深入理解函数的图象与性质之间的关系，通过对函数表达式的变形和分析，挖掘出函数在不同区间上的单调性这一本质特征，从而培养了思维的深刻性。再比如，在几何开放题中，“已知一个三角形的两条边长分别为3和5，请探究第三边的长度取值范围，并说明你所依据的数学原理。”学生要解决这个问题，就必须深入理解三角形三边关系的本质。根据“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”这一原理，设第三边长度为x，则有5-3<x<5+3，即2<x<8。学生在思考过程中，需要明确为什么要满足这样的条件，以及这个条件背后所蕴含的几何意义。通过这样的探究，学生能够深刻理解三角形三边关系的本质，而不仅仅是记住一个结论，从而提高了思维的深刻性。3.1.2思维的广阔性思维的广阔性是指思维活动的全面性和综合性，能够从多个角度、多个方面去思考问题。几何开放题由于其图形的直观性和问题的多样性，为培养学生思维的广阔性提供了良好的素材。以“已知在\triangleABC中，AB=AC，请从不同角度探究这个三角形的性质”这道开放题为例，学生可以从边的角度进行思考，因为AB=AC，所以这是一个等腰三角形，根据等腰三角形的性质，两腰相等，即AB=AC；还可以得出两底角相等，即\angleB=\angleC。从角的角度，学生可以进一步探究\angleB和\angleC的度数与\angleBAC的关系，若已知\angleBAC的度数，就可以根据三角形内角和为180^{\circ}，求出\angleB和\angleC的度数。从对称轴的角度看，等腰三角形\triangleABC有一条对称轴，即底边BC的垂直平分线，这条对称轴将三角形分成两个全等的三角形。从面积的角度，学生可以通过作底边BC上的高AD，利用三角形面积公式S=\frac{1}{2}BC\timesAD来计算三角形的面积，并且可以探究在不同条件下，如何通过已知边和角的关系求出高AD，进而求出面积。通过对这道开放题的探究，学生从多个角度全面地认识了等腰三角形的性质，拓宽了思维的广度，培养了思维的广阔性。又如，在平面直角坐标系中，给出一个平行四边形的顶点坐标，让学生探究这个平行四边形的面积、周长、对角线长度以及对角线的交点坐标等相关性质。学生在解决这个问题时，需要运用平面直角坐标系的知识、平行四边形的性质以及勾股定理等多个知识点。从面积角度，学生可以通过将平行四边形分割成三角形，利用三角形面积公式来计算；也可以通过向量的方法，根据向量的叉积来计算平行四边形的面积。从周长角度，学生需要根据两点间距离公式求出平行四边形的边长，进而计算出周长。对于对角线长度和交点坐标，学生则要运用平行四边形对角线互相平分的性质以及中点坐标公式来求解。这样的开放题促使学生从不同的知识领域和思维角度去思考问题，拓宽了学生的思维视野，提高了学生思维的广阔性。3.1.3思维的灵活性思维的灵活性是指思维活动的灵活程度，能够根据问题的变化迅速调整思维方式和方法。一题多解的开放题可以让学生尝试从不同的角度运用不同的知识和方法去解决问题，从而培养学生思维的灵活性和应变能力。以“已知\triangleABC中，\angleC=90^{\circ}，AC=3，BC=4，求AB边上的高CD的长度”这道开放题为例，学生可以运用多种方法来求解。方法一：根据勾股定理先求出斜边AB的长度，由AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5，再根据三角形面积公式S=\frac{1}{2}AC\timesBC=\frac{1}{2}AB\timesCD，可得\frac{1}{2}\times3\times4=\frac{1}{2}\times5\timesCD，解得CD=\frac{12}{5}。这种方法是利用三角形的面积公式和勾股定理，从面积相等的角度来求解。方法二：利用相似三角形的性质，因为\triangleACD与\triangleABC相似，所以\frac{CD}{BC}=\frac{AC}{AB}，即\frac{CD}{4}=\frac{3}{5}，解得CD=\frac{12}{5}。此方法是通过相似三角形对应边成比例的性质来求解，从三角形相似的角度提供了另一种思路。方法三：建立平面直角坐标系，以C为原点，AC所在直线为x轴，BC所在直线为y轴，那么A(3,0)，B(0,4)，根据直线的截距式方程可得直线AB的方程为\frac{x}{3}+\frac{y}{4}=1，即4x+3y-12=0，再根据点到直线的距离公式d=\frac{\vertAx_0+By_0+C\vert}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}（这里C(0,0)，A=4，B=3，C=-12），可得CD=\frac{\vert-12\vert}{\sqrt{4^{2}+3^{2}}}=\frac{12}{5}。这种方法运用了平面直角坐标系和直线方程的知识，从解析几何的角度解决问题。通过这道题，学生尝试了不同的解题方法，思维在不同的知识体系和解题思路之间灵活转换，提高了思维的灵活性和应变能力。再比如，在代数开放题中，“计算1+2+3+\cdots+100的和”，学生可以采用常规的依次相加的方法，虽然这种方法计算过程繁琐，但能让学生理解加法的基本运算规则；也可以运用等差数列求和公式S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}（其中n=100，a_1=1，a_n=100），快速得出结果S_{100}=\frac{100\times(1+100)}{2}=5050，这种方法体现了对等差数列知识的运用；还可以采用首尾相加的方法，1+100=101，2+99=101，\cdots，共有50组这样的和为101的组合，所以结果为101\times50=5050，这种方法巧妙地利用了数字的组合规律。不同的解题方法展示了学生思维的多样性和灵活性，学生在探索多种解法的过程中，能够更好地理解数学知识之间的联系，提高运用数学知识解决问题的能力。3.1.4思维的缜密性思维的缜密性是指思维活动的严密性和逻辑性，在思考问题时能够全面、细致，不遗漏任何重要信息，避免出现逻辑漏洞。逻辑推理开放题可以有效培养学生严谨思考的习惯，提高思维的缜密性。以“已知A、B、C、D四人参加数学竞赛，赛后他们四人对自己的成绩进行了预测。A说：‘C第一，我第三’；B说：‘我第一，D第四’；C说：‘D第二，我第三’；D没有说话。成绩公布后，发现他们每人都只说对了一半，请你判断四人的名次”这道逻辑推理开放题为例，学生在解决过程中需要进行全面、细致的分析。假设A说的“C第一”是正确的，那么A说的“我第三”就是错误的；因为C第一，所以C说的“我第三”就是错误的，那么C说的“D第二”就是正确的；因为D第二，所以B说的“D第四”就是错误的，那么B说的“我第一”就是正确的，这样就出现了B和C都是第一的矛盾情况，所以这个假设不成立。那么假设A说的“我第三”是正确的，“C第一”就是错误的；因为A第三，所以C说的“我第三”就是错误的，那么C说的“D第二”就是正确的；因为D第二，所以B说的“D第四”就是错误的，那么B说的“我第一”就是正确的，最后C就是第四。通过这样严谨的假设、推理和验证过程，学生能够全面考虑各种可能的情况，不轻易下结论，从而培养了思维的缜密性。又如，在几何证明开放题中，“已知四边形ABCD，AB=CD，AD=BC，请证明四边形ABCD是平行四边形”。学生在证明过程中，需要运用平行四边形的判定定理，从多个角度进行论证。可以连接AC，通过证明\triangleABC与\triangleCDA全等（根据SSS判定定理，因为AB=CD，AD=BC，AC=CA），得到\angleBAC=\angleDCA，\angleACB=\angleCAD，进而得出AB\parallelCD，AD\parallelBC，根据平行四边形的定义证明四边形ABCD是平行四边形。在这个过程中，学生要清晰地阐述每一步的推理依据，注意条件的完整性和逻辑性，不能遗漏任何关键步骤，从而培养了严谨的思维习惯和缜密的思维能力。3.1.5思维的创造性思维的创造性是指思维活动的创新程度，能够突破传统的思维模式，提出新颖、独特的见解和方法。一些开放题鼓励学生突破常规，尝试从全新的角度去思考问题，从而激发学生的创新思维，培养思维的创造性。以“用多种方法证明三角形内角和为180^{\circ}”这道开放题为例，除了常见的过三角形的一个顶点作平行线，利用平行线的性质和平角的定义来证明，以及将三角形的三个角剪下来拼在一起组成一个平角来证明这两种方法外，有学生提出了创新性的解法。如在三角形内部任取一点O，分别向三边作垂线，垂足为D、E、F。根据三角形面积公式，S_{\triangleABC}=S_{\triangleAOB}+S_{\triangleBOC}+S_{\triangleAOC}，即\frac{1}{2}AB\timesh_1+\frac{1}{2}BC\timesh_2+\frac{1}{2}AC\timesh_3=\frac{1}{2}AB\timesr_1+\frac{1}{2}BC\timesr_2+\frac{1}{2}AC\timesr_3（其中h_1、h_2、h_3分别为\triangleAOB、\triangleBOC、\triangleAOC以AB、BC、AC为底的高，r_1、r_2、r_3分别为O到AB、BC、AC的距离）。通过对这个等式进行变形和推导，再结合周角为360^{\circ}，可以证明三角形内角和为180^{\circ}。这种独特的解法打破了传统的证明思路，从三角形面积和角度关系的新视角出发，展现了学生的创新思维。再比如，在解决“将一个正方形分割成若干个小正方形，要求小正方形的大小可以不同，最少能分割成几个小正方形”这一开放题时，常规的思路可能是从简单的分割方式入手尝试。但有学生通过深入思考和不断尝试，发现了一种较为新颖的分割方法。先将大正方形分割成4个相等的小正方形，然后再将其中一个小正方形分割成4个更小的正方形，这样就得到了7个小正方形，并且通过进一步的推理和验证，证明了7个是最少的分割数量。这种突破常规的思维方式，体现了学生思维的创造性，学生在探索过程中不断尝试新的方法和思路，有助于培养创新能力和创新精神。3.1.6思维的批判性思维的批判性是指思维活动中对自己或他人的思维过程和结果进行反思、质疑和评价的能力。在对不同解题思路的开放题进行讨论时，学生能够学会反思自己的思维过程，评价他人的解题方法，从而培养思维的批判性。以“已知x+y=5，xy=6，求x^2+y^2的值”这道开放题为例，学生可能会提出不同的解题思路。有学生先根据完全平方公式(x+y)^2=x^2+2xy+y^2，将x^2+y^2变形为(x+y)^2-2xy，然后把x+y=5，xy=6代入式子，得到5^2-2\times6=25-12=13。还有学生通过解方程组\begin{cases}x+y=5\\xy=6\end{cases}，由x+y=5可得y=5-x，将其代入xy=6中，得到x(5-x)=6，即x^2-5x+6=0，因式分解为(x-2)(x-3)=0，解得x=2，y=3或x=3，y=2，再代入x^2+y^2计算得到2^2+3^2=13。在讨论过程中，学生可以对这两种解题思路进行分析和评价。第一种方法巧妙地运用了3.2提升学生学习兴趣与主动性3.2.1激发好奇心与求知欲兴趣是最好的老师，是学生主动学习的内在动力。传统的数学教学中，题目往往条件完备、答案唯一，学生按照固定的模式和方法进行解题，这种单调的学习方式容易使学生感到枯燥乏味，逐渐失去对数学的兴趣。而数学开放题以其独特的魅力，能够有效地激发学生的好奇心和求知欲，使学生主动参与到学习中来。以这样一道趣味性开放题为例：“小明家的花园是一个长方形，现在他想在花园周围围上篱笆。已知花园的长比宽多3米，且篱笆的总长度为30米，你能帮小明设计出几种不同的花园尺寸方案吗？”这道题与学生的生活实际紧密相关，学生们看到这样的问题，会立刻联想到自己生活中的场景，从而产生浓厚的兴趣。在解决这个问题的过程中，学生需要运用长方形周长公式C=2×(长+宽)来建立方程求解。设花园的宽为x米，那么长就是(x+3)米，可列出方程2×(x+x+3)=30，化简得到4x+6=30，进一步求解4x=24，得出x=6，即宽为6米，长为6+3=9米。这是一种常见的解法，但开放题的魅力在于它鼓励学生从不同角度思考。有些学生可能会采用列举法，从宽为1米开始尝试，计算出长和周长，直到找到符合条件的方案。还有学生可能会通过画图的方式，直观地展示不同的花园尺寸方案。在探索多种解法的过程中，学生的好奇心被充分激发，他们渴望找到更多、更巧妙的方法来解决问题，这种好奇心进一步转化为强烈的求知欲，促使学生主动去学习和运用数学知识，提高了学生的学习兴趣和积极性。再比如，在学习几何图形时，给出这样一道开放题：“用若干个相同的小正方形拼成一个大的正方形或长方形，你能有多少种不同的拼法？并计算出每种拼法所拼成图形的周长和面积。”这道题没有给出具体的小正方形数量，学生需要自己去尝试不同的数量组合，如2个、3个、4个等小正方形。当用2个小正方形时，只能拼成一个长方形，长为2个小正方形边长，宽为1个小正方形边长，周长为2×(2+1)=6（设小正方形边长为1），面积为2×1=2；当用4个小正方形时，可以拼成一个大正方形，边长为2个小正方形边长，周长为4×2=8，面积为2×2=4，也可以拼成一个长方形，长为4个小正方形边长，宽为1个小正方形边长，周长为2×(4+1)=10，面积为4×1=4。学生在不断尝试的过程中，会发现不同的拼法会带来不同的周长和面积变化，这引发了他们的好奇心，促使他们深入探究其中的规律。他们会思考为什么同样数量的小正方形拼成不同的图形，周长和面积会有所不同，从而对几何图形的性质有更深入的理解。这种充满趣味性和挑战性的开放题，能够吸引学生主动参与到学习中，激发他们对数学知识的探索欲望，提高学生学习数学的兴趣和主动性。3.2.2增强学习的内在动力当学生积极投入到开放题的探索中时，他们会在这个过程中不断获得成就感和自信心，这种积极的情感体验能够进一步转化为持续学习的内在动力。以小组合作解决开放题的教学实践为例，在一次初中数学课堂上，教师给出了这样一道开放题：“某商场在促销活动中，将一种商品的价格先提高20%，然后再打八折销售，请问该商品的最终售价与原价相比是升高了、降低了还是不变？请通过计算说明，并思考如果改变提价和打折的幅度，结果会如何变化。”学生们分成小组进行讨论和计算。有的小组通过设原价为x元，先计算提价20%后的价格为(1+20\%)x=1.2x元，再计算打八折后的价格为0.8×1.2x=0.96x元，得出最终售价低于原价。在讨论改变提价和打折幅度的情况时，小组内成员各抒己见，有的学生提出如果提价30%，再打七折，设原价仍为x元，提价后的价格为(1+30\%)x=1.3x元，打折后的价格为0.7×1.3x=0.91x元，售价还是降低了；还有学生提出不同的假设并进行计算。在这个过程中，每个学生都积极参与，充分发挥自己的智慧，为小组的讨论贡献力量。当小组成功解决问题并得出正确结论时，学生们会感受到自己的努力得到了回报，从而获得强烈的成就感。这种成就感会让学生对自己的能力充满信心，相信自己有能力解决更复杂的数学问题。这种自信心和成就感进一步激发了学生对数学学习的兴趣和热情，使他们更愿意主动去学习数学知识，探索数学的奥秘，为后续的学习提供了强大的内在动力。又如，在学习函数知识时，教师布置了一道开放题：“已知函数y=kx+b（k、b为常数，kâ‰

0），当x=1时，y=3；当x=-1时，y=1。请确定k和b的值，并根据你确定的值，讨论函数的性质，如函数的单调性、与坐标轴的交点等，同时思考如果改变x和y的对应值，函数的性质会发生怎样的变化。”学生们通过代入已知的x、y值，列出方程组\begin{cases}k+b=3\\-k+b=1\end{cases}，求解得到k=1，b=2，从而确定函数为y=x+2。接着，学生们对函数的性质进行讨论，发现函数y=x+2的斜率k=1\gt0，所以函数单调递增；与x轴的交点为(-2,0)，与y轴的交点为(0,2)。在讨论改变x和y对应值的情况时，学生们积极思考，不断提出新的假设并进行分析。当学生们通过自己的努力成功解决问题，深入理解函数的性质时，他们会获得一种满足感和自信心。这种积极的情感体验会让学生更加热爱数学学习，主动去探索函数知识的更多奥秘，为进一步学习函数相关内容提供了持续的动力。3.3促进学生合作与交流能力3.3.1小组合作解决开放题在中学数学教学中，小组合作是解决开放题的一种有效方式。以“设计一个面积为12平方厘米的平面图形，并计算其周长，要求尽可能多地想出不同的图形设计方案”这一开放题为例，教师将学生分成小组进行合作探究。在小组讨论初期，学生们各抒己见。有的学生提出可以设计一个长方形，根据长方形面积公式S=长×宽，当面积S=12平方厘米时，长和宽可以有多种组合，如长为6厘米、宽为2厘米，此时周长为2×(6+2)=16厘米；长为4厘米、宽为3厘米，周长则为2×(4+3)=14厘米。这个提议引发了其他学生的思考，有学生联想到正方形是特殊的长方形，当边长为\sqrt{12}=2\sqrt{3}厘米时，也能满足面积为12平方厘米，其周长为4×2\sqrt{3}=8\sqrt{3}厘米。接着，有学生提出设计三角形，根据三角形面积公式S=\frac{1}{2}×底×高，当底为6厘米，高为4厘米时，面积为\frac{1}{2}×6×4=12平方厘米。但在计算周长时，需要运用勾股定理求出斜边长度，若这是一个直角三角形，根据勾股定理a^2+b^2=c^2（其中a、b为直角边，c为斜边），当a=4厘米，b=6厘米时，斜边c=\sqrt{4^2+6^2}=\sqrt{16+36}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}厘米，周长为4+6+2\sqrt{13}=10+2\sqrt{13}厘米。小组内其他成员对这种解法进行补充和完善，讨论不同类型三角形（如等腰三角形、等边三角形等）在满足面积为12平方厘米时的情况及周长计算方法。还有学生想到设计梯形，设梯形的上底为a，下底为b，高为h，根据梯形面积公式S=\frac{(a+b)h}{2}，可以假设不同的a、b、h值来满足面积为12平方厘米，然后通过勾股定理等知识计算梯形的腰长，进而求出周长。在这个过程中，学生们相互交流、讨论，不断完善自己的想法，同时也学习到其他同学的思维方式和解题思路。在小组合作解决开放题的过程中，学生们不仅锻炼了自己的数学知识运用能力和思维能力，还培养了团队合作精神和沟通交流能力。他们学会倾听他人的意见，尊重不同的观点，共同为解决问题而努力，这种合作学习的方式有助于学生综合素质的提升。3.3.2分享解题思路与成果在课堂讨论环节，分享解题思路与成果是促进学生合作与交流的重要环节。以“已知一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，求斜边上的高，并探究该直角三角形绕不同边旋转一周所形成的立体图形的体积”这一开放题为例，学生们在小组内经过讨论和计算后，各小组代表在课堂上分享解题思路与成果。第一小组代表首先发言，对于求斜边上的高，他们根据勾股定理先求出斜边长度，斜边c=\sqrt{3^2+4^2}=5，再根据三角形面积公式S=\frac{1}{2}×直角边×直角边=\frac{1}{2}×斜边×斜边上的高，即\frac{1}{2}×3×4=\frac{1}{2}×5×h（h为斜边上的高），解得h=\frac{12}{5}。对于直角三角形绕边旋转形成的立体图形体积，当绕直角边3旋转时，形成的是一个底面半径为4，高为3的圆锥，根据圆锥体积公式V=\frac{1}{3}\pir^2h，体积V_1=\frac{1}{3}\pi×4^2×3=16\pi；当绕直角边4旋转时，形成的是一个底面半径为3，高为4的圆锥，体积V_2=\frac{1}{3}\pi×3^2×4=12\pi；当绕斜边5旋转时，形成的是两个共底的圆锥，先求出斜边上的高\frac{12}{5}作为两个圆锥的底面半径，再根据相似三角形的性质求出两个圆锥的高，进而计算出体积V_3。第二小组代表提出了不同的解题思路，在求斜边上的高时，他们利用三角形相似的性质，设斜边上的高为h，由\triangleABC\sim\triangleCBD（D为斜边上的高与斜边的交点），可得\frac{h}{3}=\frac{4}{5}，同样解得h=\frac{12}{5}。在计算绕边旋转形成的立体图形体积时，他们采用了另一种方法，通过空间想象和图形分析，直接利用圆锥体积公式的推导原理来计算，虽然结果与第一小组相同，但思路有所不同。其他小组也纷纷分享了自己的见解和计算过程。在这个过程中，学生们通过倾听他人的分享，拓宽了自己的解题思路。他们发现对于同一个问题，可以从不同的角度运用不同的知识和方法来解决。例如，在求斜边上的高时，既可以用勾股定理结合面积公式，也可以利用三角形相似的性质；在计算绕边旋转形成的立体图形体积时，不同的小组采用了不同的方法和步骤。通过这种分享和交流，学生们相互学习、相互启发，共同进步。同时，在交流过程中，学生们还会对其他小组的解题思路进行质疑和讨论，进一步加深对问题的理解，提高分析问题和解决问题的能力。3.4培养学生创新意识与实践能力3.4.1鼓励创新解法与思路在中学数学教学中，开放题以其独特的魅力，为培养学生的创新意识提供了广阔的空间。以这样一道开放题为例：“在一个直角坐标系中，有一个三角形，其三个顶点的坐标分别为A(1,1)，B(4,1)，C(2,3)。请计算这个三角形的面积，并尝试用多种方法进行求解。”学生们在面对这道题时，展现出了丰富多样的解题思路。有的学生采用了常规的方法，利用三角形面积公式S=\frac{1}{2}×底×高来求解。他们先观察到AB边在x轴上，所以AB边的长度为4-1=3，而C点到AB边的距离（即高）为3-1=2，则三角形面积S=\frac{1}{2}×3×2=3。然而，一些具有创新思维的学生提出了不同的解法。有学生想到了利用向量的方法来计算三角形面积。设\overrightarrow{AB}=(4-1,1-1)=(3,0)，\overrightarrow{AC}=(2-1,3-1)=(1,2)，根据向量叉积求三角形面积公式S=\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}×\overrightarrow{AC}|。这里\overrightarrow{AB}×\overrightarrow{AC}=3×2-0×1=6，所以三角形面积S=\frac{1}{2}×|6|=3。这种方法将代数中的向量知识与几何图形的面积计算巧妙地结合起来，展现了学生独特的思维视角。还有学生提出了一种更为新颖的解法——割补法。他们将三角形ABC放在一个矩形中，矩形的四个顶点坐标分别为(1,1)，(4,1)，(4,3)，(1,3)。此时矩形的面积为(4-1)×(3-1)=6。然后通过计算矩形中三个多余三角形的面积来间接求出三角形ABC的面积。三个多余三角形分别为：以(1,1)，(2,1)，(2,3)为顶点的直角三角形，面积为\frac{1}{2}×1×2=1；以(2,1)，(4,1)，(4,3)为顶点的直角三角形，面积为\frac{1}{2}×2×2=2；以(1,3)，(2,3)，(4,3)为顶点的直角三角形，面积为\frac{1}{2}×1×2=1。则三角形ABC的面积为矩形面积减去三个多余三角形的面积，即6-1-2-1=3。通过这道开放题，学生们突破了传统的解题模式，从不同的知识领域和思维角度出发，提出了多种创新的解法。这种解题过程不仅加深了学生对三角形面积计算方法的理解，更重要的是激发了学生的创新意识，让学生体会到数学的灵活性和创造性。在教学过程中，教师应鼓励学生大胆尝试新的思路和方法，对学生的创新解法给予充分的肯定和鼓励，为学生营造一个宽松、自由的创新环境，培养学生的创新能力和创新精神。3.4.2联系实际生活解决问题数学源于生活，又服务于生活。将数学开放题与实际生活紧密联系，能够让学生深刻体会到数学的应用价值，提高学生运用数学知识解决实际问题的实践能力。以这样一道实际生活中的开放题为例：“某工厂要制作一个无盖的长方体水箱，已知制作水箱的材料面积为12平方米，问如何设计水箱的长、宽、高，可使水箱的容积最大？”在解决这个问题时，学生们需要运用长方体的表面积公式和体积公式，将实际问题转化为数学问题。设水箱的长、宽、高分别为x米、y米、z米。因为水箱无盖，所以其表面积为S=xy+2xz+2yz=12，体积为V=xyz。学生们通过分析和讨论，采用了不同的方法来求解。有的学生运用基本不等式来解决问题。由基本不等式a+b+c\geqslant3\sqrt[3]{abc}（当且仅当a=b=c时取等号），对xy+2xz+2yz=12进行变形。因为xy+2xz+2yz\geqslant3\sqrt[3]{4x^{2}y^{2}z^{2}}，所以3\sqrt[3]{4x^{2}y^{2}z^{2}}\leqslant12，两边同时立方可得4x^{2}y^{2}z^{2}\leqslant64，即x^{2}y^{2}z^{2}\leqslant16，那么xyz\leqslant4。当且仅当xy=2xz=2yz时取等号。联立方程\begin{cases}xy=2xz\\xy=2yz\\xy+2xz+2yz=12\end{cases}，解方程组可得x=2，y=2，z=1时，水箱容积最大为4立方米。还有学生采用了代入消元法。由xy+2xz+2yz=12可得z=\frac{12-xy}{2x+2y}，将其代入体积公式V=xyz中，得到V=xy×\frac{12-xy}{2x+2y}。然后通过对这个函数进行分析，利用求导等方法来找到函数的最大值。虽然这种方法计算过程相对复杂，但体现了学生对函数知识的运用和解决实际问题的能力。在这个过程中，学生们将数学知识运用到实际问题的解决中，不仅提高了数学应用能力，还培养了分析问题和解决问题的能力。他们学会从实际情境中抽象出数学模型，运用数学方法进行求解，并对结果进行分析和验证。这种联系实际生活的开放题教学，让学生认识到数学在生活中的广泛应用，激发学生学习数学的兴趣和积极性，同时也提高了学生的实践能力和创新能力，使学生更好地适应未来社会的发展需求。四、中学数学开放题教学实践探索4.1教学案例展示与分析4.1.1“十字相乘法”开放题教学在“十字相乘法”的教学中，传统教学往往侧重于直接讲解十字相乘法的规则和应用，学生被动接受知识，缺乏自主思考和探索的机会。而开放题教学则打破了这种模式，为学生提供了更广阔的思维空间。本次教学选取在初二年级的两个平行班级进行，其中一个班级采用开放题教学模式作为实验组，另一个班级采用传统教学模式作为对照组。教学目标不仅是让学生掌握十字相乘法分解因式的技能，更重要的是培养学生观察、分析、归纳的能力，激发学生的创新思维，提高学生学习数学的兴趣和主动性。教学过程中，教师首先给出了一组多项式乘法的题目，让学生进行计算，如(x+2)(x+3)，(x-1)(x+4)等。计算完成后，引导学生观察这些式子展开后的形式，思考二次项系数、一次项系数以及常数项与因式中的常数之间的关系。通过这一环节，学生初步感受到了十字相乘法的原理，为后续的学习奠定了基础。接下来，教师引入开放题：“对于二次三项式x^2+5x+6，你能想出几种方法将它分解因式？”这一问题激发了学生的兴趣，学生们开始积极思考，有的学生尝试用已学的提取公因式法和公式法进行尝试，发现并不适用；有的学生通过观察、分析，联想到之前多项式乘法的计算结果，尝试将6分解成2\times3，且2+3=5，从而得出x^2+5x+6=(x+2)(x+3)，初步体验到了十字相乘法的应用。在学生们得出初步结果后，教师组织小组讨论，让学生分享自己的思路和方法。小组讨论过程中，学生们各抒己见，有的学生还提出了不同的分解思路，如将x^2+5x+6先拆分成x^2+2x+3x+6，然后分组提取公因式，得到x(x+2)+3(x+2)=(x+2)(x+3)。这种方法虽然没有直接运用十字相乘法，但从另一个角度展示了因式分解的思路，拓宽了学生的思维。讨论结束后，教师对学生的方法进行总结和点评，进一步讲解十字相乘法的原理和步骤，让学生明白如何通过十字交叉线来分解系数，将二次三项式分解因式。随后，教师又给出了一系列类似的开放题，如x^2-7x+10，x^2+x-6等，让学生进行练习和巩固。在练习过程中，教师鼓励学生尝试不同的方法，培养学生的灵活思维和创新能力。通过对这节课的教学分析，发现开放题教学对学生的思维训练和知识掌握有着显著的作用。在思维训练方面，开放题激发了学生的发散思维，学生们不再局限于单一的解题方法，而是积极探索多种途径来解决问题，培养了学生的创新意识和实践能力。在知识掌握方面，通过自主探索和小组讨论，学生对十字相乘法的原理理解更加深刻，记忆也更加牢固，能够熟练运用十字相乘法解决相关问题。与传统教学班级相比，采用开放题教学的班级学生在课堂上表现更加积极主动，对知识的理解和应用能力更强，在后续的作业和测试中，涉及十字相乘法的题目正确率更高。4.1.2一元二次方程应用开放题教学本次教学在初三年级的两个班级开展，同样设置一个实验组采用开放题教学，一个对照组采用传统教学。教学目标是让学生学会运用一元二次方程解决实际问题，提高学生分析问题和解决问题的能力，培养学生的数学建模思想和应用意识。教学流程从一个实际问题情境引入：“某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元。为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取适当的降价措施。经调查发现，每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件。若商场每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？”这一问题贴近生活实际，学生们对此表现出了浓厚的兴趣。在学生们理解题意后，教师引导学生分析问题中的数量关系，设每件衬衫应降价x元，然后让学生尝试找出盈利与降价之间的等式关系，列出方程。有的学生根据“总盈利=每件盈利×销售量”这一关系，列出方程(40-x)(20+2x)=1200；有的学生则从不同的角度思考，先分别计算出降价后的每件盈利和销售量，再列出方程，虽然形式不同，但本质是一致的。列出方程后，教师并没有直接讲解解方程的方法，而是让学生自主尝试求解。学生们通过去括号、移项、合并同类项等步骤，将方程化为一般形式x^2-30x+200=0，然后运用之前学过的因式分解法、公式法等方法来求解方程。在求解过程中，学生们遇到了一些问题，如在因式分解时不能准确地找到两个数，使得它们的和等于一次项系数，积等于常数项。教师及时给予指导，引导学生回顾十字相乘法等知识，帮助学生解决问题。在学生们求出方程的解后，教师组织小组讨论，让学生讨论方程的解在实际问题中的意义。有的学生提出，解出的x值可能有两个，需要根据实际情况进行取舍，因为降价的金额不能是负数。通过讨论，学生们明白了在解决实际问题时，不仅要正确地列出方程和求解方程，还要对解进行检验，确保其符合实际意义。讨论结束后，教师对学生的讨论结果进行总结和点评，强调数学建模的过程和应用一元二次方程解决实际问题的步骤。随后，教师又给出了一些类似的实际问题，如增长率问题、面积问题等，让学生运用所学知识进行解决。在解决这些问题的过程中，学生们进一步巩固了一元二次方程的应用，提高了分析问题和解决问题的能力。通过这节课的教学分析，开放题教学对学生解决实际问题能力和数学思维的培养有着积极的影响。在解决实际问题能力方面，通过实际问题情境的引入和解决，学生学会了从实际问题中抽象出数学模型，运用数学知识解决问题，提高了学生的数学应用意识和实践能力。在数学思维方面，开放题的解决过程需要学生进行分析、推理、判断等思维活动，培养了学生的逻辑思维能力和创新思维能力。与传统教学班级相比，采用开放题教学的班级学生在解决实际问题时更加灵活，能够准确地找到问题中的关键信息，建立数学模型，并且能够对结果进行合理的分析和解释。4.2教学策略与方法4.2.1问题引导策略在中学数学开放题教学中，问题引导策略是一种行之有效的教学方法，通过设计一系列具有启发性和逻辑性的问题串，能够引导学生逐步深入思考，自主探究问题的解决方法，培养学生的自主探究能力和思维能力。以“探究三角形内角和定理的证明方法”这一开放题教学为例，教师可以设计如下问题串：我们已经知道三角形内角和为180°，你能回忆起之前学过的哪些知识可能与证明这个定理有关？（引导学生回顾平行线的性质、平角的定义等相关知识，为证明思路的展开奠定基础。）能否通过作辅助线，将三角形的三个内角转化到一个平角或一组平行线的同旁内角中？（启发学生思考如何通过辅助线构建与已知知识相关的几何图形，找到证明的切入点。）如果过三角形的一个顶点作平行线，你能利用平行线的性质证明三角形内角和为180°吗？（具体引导学生从过顶点作平行线这一角度出发，尝试进行证明，培养学生的逻辑推理能力。）除了过顶点作平行线，还有其他作辅助线的方法吗？比如在三角形内部任取一点作平行线，或者延长三角形的边等方法，你能尝试用这些方法进行证明吗？（进一步拓展学生的思维，鼓励学生尝试不同的辅助线作法，探索多种证明途径，培养学生思维的灵活性和创新性。）在学生探究过程中，教师要根据学生的回答和思考情况，适时地给予引导和启发。当学生在证明过程中遇到困难时，教师可以通过提问的方式，引导学生回顾相关知识，帮助