高中数学数列求和技巧试题

高中数学数列求和技巧试题考试时长：120分钟满分：100分班级：__________姓名：__________学号：__________得分：__________一、单选题（总共10题，每题2分，总分20分）1.等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_1=3，a_5=11，则S_10的值为（）A.150B.180C.210D.2402.已知数列{a_n}满足a_1=1，a_n+1=2a_n+1，则该数列的前n项和S_n等于（）A.2^n-1B.n·2^nC.n·2^n-1D.2^n+n3.数列{b_n}的前n项和为S_n，若b_1=2，b_n+1=b_n+2n，则b_5的值为（）A.20B.22C.24D.264.求和1×2+2×3+3×4+…+n(n+1)的结果为（）A.n(n+1)(n+2)/3B.n(n+1)/2C.n(n+1)(n+3)/4D.n(n+1)/35.数列{c_n}的前n项和为S_n=3^n-1，则a_3的值为（）A.18B.27C.54D.816.若数列{d_n}的前n项和S_n=n^2+2n，则a_4的值为（）A.18B.20C.22D.247.数列{e_n}满足a_1=1，a_n+1=3a_n+2，则该数列的前n项和S_n等于（）A.3^n-1B.3^n/2-1C.3^n/2-nD.3^n/2+n8.求和1³+2³+3³+…+n³的结果为（）A.n(n+1)/2B.n²(n+1)²/4C.n(n+1)(2n+1)/6D.n²(n+1)/39.数列{f_n}的前n项和为S_n=2^n-1，则a_4的值为（）A.8B.16C.24D.3210.已知数列{g_n}满足a_1=1，a_n+1=2a_n，则该数列的前n项和S_n等于（）A.2^n-1B.2^nC.n·2^nD.n·2^n-1二、填空题（总共10题，每题2分，总分20分）1.等差数列{a_n}的前n项和为S_n=5n^2+3n，则该数列的公差d等于________。2.数列{b_n}满足a_1=2，a_n+1=3a_n，则该数列的前n项和S_n的表达式为________。3.已知数列{c_n}的前n项和为S_n=4^n-1，则a_3的值为________。4.求和1×2+2×3+3×4+…+n(n+1)的结果为________。5.数列{d_n}满足a_1=1，a_n+1=2a_n+1，则该数列的前n项和S_n的表达式为________。6.若数列{e_n}的前n项和S_n=n^2+n，则a_4的值为________。7.数列{f_n}的前n项和为S_n=2^n-1，则a_5的值为________。8.求和1³+2³+3³+…+n³的结果为________。9.数列{g_n}满足a_1=3，a_n+1=a_n+5，则该数列的前n项和S_n的表达式为________。10.已知数列{h_n}满足a_1=1，a_n+1=4a_n，则该数列的前n项和S_n的表达式为________。三、判断题（总共10题，每题2分，总分20分）1.等差数列的前n项和S_n是关于n的二次函数。（）2.数列{a_n}的前n项和为S_n=n^2+n，则该数列是等差数列。（）3.数列{b_n}满足a_1=1，a_n+1=2a_n，则该数列是等比数列。（）4.求和1×2+2×3+3×4+…+n(n+1)可以用等差数列求和公式直接计算。（）5.数列{c_n}的前n项和为S_n=3^n-1，则该数列是等比数列。（）6.数列{d_n}满足a_1=1，a_n+1=3a_n+2，则该数列的前n项和S_n是等差数列与等比数列的和。（）7.求和1³+2³+3³+…+n³的结果等于(n(n+1)/2)²。（）8.数列{e_n}的前n项和为S_n=2^n-1，则该数列是等比数列。（）9.数列{f_n}满足a_1=2，a_n+1=a_n+2，则该数列的前n项和S_n是等差数列求和公式的应用。（）10.已知数列{g_n}的前n项和S_n=n^2+n，则该数列的通项公式a_n=n+1。（）四、简答题（总共3题，每题4分，总分12分）1.已知数列{a_n}是等差数列，且a_1=5，a_4=14，求该数列的前10项和S_10。2.数列{b_n}满足a_1=1，a_n+1=3a_n+2，求该数列的前5项和S_5。3.求和1×2+2×3+3×4+…+n(n+1)的通项公式，并说明如何用分组求和法计算。五、应用题（总共2题，每题9分，总分18分）1.某工厂计划投资建设一条生产线，第一年投资100万元，以后每年比前一年多投资10万元。求该工厂前5年的总投资额。2.某城市人口增长率为每年5%，若2020年人口为100万，求该城市到2025年的人口总数（精确到0.1万）。【标准答案及解析】一、单选题1.B解析：等差数列{a_n}的公差d=(a_5-a_1)/(5-1)=8/4=2，故a_n=a_1+(n-1)d=3+2(n-1)=2n+1。S_10=10/2[a_1+a_{10}]=5[3+(2×10+1)]=5×24=120，但选项无120，重新计算：a_5=11，a_1=3，d=(11-3)/4=2，a_n=3+2(n-1)=2n+1，S_10=10/2[3+(2×10+1)]=5×24=120，选项有误，正确答案应为120。（注：原题选项有误，实际计算结果为120，无正确选项，建议修改选项或题干）2.C解析：数列{a_n}是等比数列，公比q=2，a_1=1，S_n=a_1(1-q^n)/(1-q)=1(1-2^n)/(1-2)=2^n-1。3.A解析：b_n+1=b_n+2n⇒b_n+1-b_n=2n⇒b_n-b_{n-1}=2(n-1)，累加可得b_n=b_1+2(1+2+…+(n-1))=2+2(n-1)n/2=n(n-1)+2，b_5=5×4+2=22。4.A解析：原式=n(n+1)(n+2)/3（裂项求和法或直接公式）。5.B解析：S_n=3^n-1⇒a_n=S_n-S_{n-1}=3^n-1-3^{n-1}+1=2×3^{n-1}，a_3=2×3^2=18。6.A解析：S_n=n^2+2n⇒a_n=S_n-S_{n-1}=n^2+2n-(n-1)^2-2(n-1)=2n+1，a_4=2×4+1=9。7.C解析：数列{a_n}是等比数列，公比q=3，a_1=1，S_n=a_1(1-q^n)/(1-q)=1(1-3^n)/(1-3)=3^n/2-1/2，但题目要求n项和，故S_n=3^n/2-n。8.B解析：1³+2³+…+n³=(1+2+…+n)²=n²(n+1)²/4（公式法）。9.A解析：S_n=2^n-1⇒a_n=S_n-S_{n-1}=2^n-1-2^{n-1}+1=2^n-2^{n-1}=2^{n-1}，a_4=2³=8。10.A解析：数列{a_n}是等比数列，公比q=2，a_1=1，S_n=a_1(1-q^n)/(1-q)=1(1-2^n)/(1-2)=2^n-1。二、填空题1.10解析：S_n=5n^2+3n⇒a_n=S_n-S_{n-1}=5n^2+3n-[5(n-1)^2+3(n-1)]=10n-2，d=a_n-a_{n-1}=10。2.(3^n-1)/2解析：数列{a_n}是等比数列，公比q=3，a_1=2，S_n=2(1-3^n)/(1-3)=(3^n-1)/2。3.26解析：S_n=4^n-1⇒a_n=S_n-S_{n-1}=4^n-1-4^{n-1}+1=3×4^{n-1}，a_3=3×4²=48。4.n(n+1)(n+2)/3解析：原式=n(n+1)(n+2)/3（公式法）。5.n(n+1)/2解析：数列{a_n}是等差数列，a_1=1，d=1，S_n=n/2[2a_1+(n-1)d]=n/2[2+1(n-1)]=n(n+1)/2。6.13解析：S_n=n^2+n⇒a_n=S_n-S_{n-1}=n^2+n-(n-1)^2-n=2n，a_4=2×4=8。7.32解析：S_n=2^n-1⇒a_n=S_n-S_{n-1}=2^n-1-2^{n-1}+1=2^n-2^{n-1}=2^{n-1}，a_5=2⁴=16。8.n²(n+1)²/4解析：1³+2³+…+n³=(1+2+…+n)²=n²(n+1)²/4（公式法）。9.5n²+3n解析：数列{a_n}是等差数列，a_1=3，d=5，S_n=n/2[2a_1+(n-1)d]=n/2[6+5(n-1)]=5n²+3n。10.(4^n-1)/3解析：数列{a_n}是等比数列，公比q=4，a_1=1，S_n=1(1-4^n)/(1-4)=(4^n-1)/3。三、判断题1.错解析：等差数列的前n项和S_n是关于n的二次函数，但系数需满足特定条件（如首项不为0，公差不为0）。2.对解析：S_n=n^2+n⇒a_n=S_n-S_{n-1}=n^2+n-(n-1)^2-(n-1)=2n，是等差数列。3.对解析：a_n+1=2a_n⇒a_n/a_{n-1}=2，是等比数列。4.错解析：原式需用分组求和法，不能直接用等差数列求和公式。5.对解析：S_n=3^n-1⇒a_n=S_n-S_{n-1}=3^n-1-3^{n-1}+1=2×3^{n-1}，是等比数列。6.错解析：数列{a_n}是等比数列，公比q=3，a_1=1，S_n=1(1-3^n)/(1-3)=3^n/2-1/2。7.对解析：1³+2³+…+n³=(1+2+…+n)²=n²(n+1)²/4。8.对解析：S_n=2^n-1⇒a_n=S_n-S_{n-1}=2^n-1-2^{n-1}+1=2^n-2^{n-1}=2^{n-1}，是等比数列。9.对解析：数列{a_n}是等差数列，a_1=2，d=2，S_n=n/2[2a_1+(n-1)d]=n/2[4+2(n-1)]=n(n+1)。10.错解析：S_n=n^2+n⇒a_n=S_n-S_{n-1}=n^2+n-(n-1)^2-(n-1)=2n，a_n=2n。四、简答题1.解：等差数列{a_n}的公差d=(a_4-a_1)/(4-1)=(14-5)/3=3，a_n=a_1+(n-1)d=5+3(n-1)=3n+2，S_10=10/2[a_1+a_{10}]=5[5+(3×10+2)]=5×37=185。2.解：数列{a_n}的递推式a_n+1=3a_n+2⇒a_n+1-2=3(a_n-2)，故{a_n-2}是公比q=3的等比数列，首项a_1-2=1-2=-1，S_5=5/2[-1+(3^5-1)]=5/2[-1+242]=5/2×241=602.5。3.解：原式=n(n+1)(n+2)/3（公式法），也可分组求和：1×2=1×(1+1),2×3=2×(2+1),…,n(n+1)=n×(n+1)，即原式=1