2026年复变函数共形映射练习试卷及答案

2026年复变函数共形映射练习试卷及答案考试时长：120分钟满分：100分一、单选题（总共10题，每题2分，总分20分）1.在复平面内，函数f(z)=z^2+2z+3的共形映射将点z=0映射为哪个点？A.3B.1C.-1D.02.函数w=1/(1-z)在z=1处的保角映射角度是多少？A.0°B.45°C.90°D.180°3.将上半平面映射到单位圆的儒歇定理适用的条件是？A.函数在边界上不为零B.函数在内部有零点C.函数在边界上为零D.函数在内部不为零4.函数w=ln(z)将点z=1+i映射为？A.ln(√2)+iπ/4B.ln(√2)-iπ/4C.-ln(√2)+iπ/4D.-ln(√2)-iπ/45.函数w=1/z在z=2处的伸缩率为？A.1/2B.2C.1/4D.46.将单位圆映射到上半平面的分式线性映射一般形式为？A.w=(az+b)/(cz+d)B.w=az+bC.w=z^2D.w=1/z7.函数f(z)=sin(z)在z=π/2处的导数f'(π/2)等于？A.1B.-1C.iD.-i8.函数w=√z将点z=4映射为？A.2B.-2C.2iD.-2i9.函数f(z)=e^z在z=0处的泰勒级数展开式中，z^3项的系数是？A.1B.0C.1/6D.1/310.函数w=cos(z)在z=π处的值为？A.1B.-1C.iD.-i二、填空题（总共10题，每题2分，总分20分）1.函数f(z)=z^2在z=1+i处的导数f'(1+i)等于__________。2.将点z=0映射到w=1的共形映射中，函数w=1/z适用__________个条件。3.函数w=ln(1+z)在z=0处的泰勒级数展开式中，z^2项的系数是__________。4.函数f(z)=sin(z)在z=π/2处的值等于__________。5.将上半平面映射到单位圆的分式线性映射中，常数项d必须满足__________条件。6.函数w=√(z^2)在z=2i处的值为__________。7.函数f(z)=e^z在z=πi处的值为__________。8.函数w=1/(z^2+1)在z=i处的值为__________。9.函数f(z)=sin(z)的导函数f'(z)等于__________。10.将单位圆映射到上半平面的分式线性映射中，若a=c=1，则b+d必须满足__________条件。三、判断题（总共10题，每题2分，总分20分）1.函数f(z)=z^2在复平面上处处可导。（×）2.函数w=1/z将点z=0映射到无穷远。（√）3.函数f(z)=sin(z)在复平面上解析。（√）4.函数w=ln(z)将点z=1映射到w=0。（√）5.函数f(z)=e^z在复平面上处处解析。（√）6.函数w=√z将点z=-1映射到w=-1。（×）7.函数f(z)=1/z在z=0处有奇点。（√）8.函数w=cos(z)在复平面上处处可导。（√）9.函数f(z)=z^2在z=0处的泰勒级数只有常数项。（×）10.将单位圆映射到上半平面的分式线性映射中，若a=b=c=d=1，则映射无效。（×）四、简答题（总共3题，每题4分，总分12分）1.简述共形映射的定义及其在复变函数中的应用场景。2.解释函数f(z)=e^z在复平面上的解析性，并说明其泰勒级数展开式的物理意义。3.比较函数w=1/z与w=z^2在保角映射特性上的主要区别。五、应用题（总共2题，每题9分，总分18分）1.设函数f(z)=z^2+2z+3，求其在z=1+i处的导数，并说明其几何意义。解题思路：-计算f(z)的导数f'(z)-将z=1+i代入f'(z)-解释导数的几何意义（伸缩率和旋转角）评分标准：-导数计算正确（3分）-代入值计算正确（3分）-几何意义解释完整（3分）2.设函数w=1/(1-z)，求其在z=0处的保角映射角度，并说明其将点z=0映射为何种几何图形。解题思路：-计算f(z)的导数f'(z)-将z=0代入f'(z)得到映射角度-分析映射图形类型评分标准：-导数计算正确（3分）-映射角度计算正确（3分）-图形分析正确（3分）【标准答案及解析】一、单选题1.B解析：f(0)=3，f'(z)=2z+2，f'(0)=2，映射角度为arg(f'(0))=0°，但需考虑z^2项的旋转，实际映射为1。2.C解析：f'(z)=-1/(1-z)^2，f'(1)=-1，映射角度为90°。3.A解析：儒歇定理要求函数在闭contour上不为零，且内部有相同数量的零点。4.A解析：w=ln(√2)+iarg(1+i)=ln(√2)+iπ/4。5.A解析：伸缩率等于|f'(z)|，f'(2)=-1/4，但需考虑映射方向，实际伸缩率为1/2。6.A解析：分式线性映射的一般形式为w=(az+b)/(cz+d)，其中a,b,c,d为复数且ad-bc≠0。7.A解析：f'(z)=cos(z)，f'(π/2)=cos(π/2)=1。8.A解析：w=√4=2，但需考虑辐角，实际映射为2（主值）。9.C解析：e^z的泰勒级数展开式为1+z+z^2/2!+z^3/3!+…，z^3项系数为1/6。10.B解析：w=cos(π)=-1。二、填空题1.2(1+i)解析：f'(z)=2z，f'(1+i)=2(1+i)。2.1解析：w=1/z将z=0映射到w=∞，只需满足分母不为零。3.1/3解析：ln(1+z)的泰勒级数为z-z^2/2+z^3/3-…，z^2项系数为-1/2。4.1解析：sin(π/2)=1。5.d≠0解析：分式线性映射需满足ad-bc≠0，此处简化为d≠0。6.2解析：√(4)=2（主值）。7.-1解析：e^πi=-1（欧拉公式）。8.0解析：1/(i^2+1)=1/0=0。9.cos(z)解析：sin(z)的导数等于cos(z)。10.b+d≠0解析：分式线性映射需满足ad-bc≠0，此处简化为b+d≠0。三、判断题1.×解析：z^2在z=0处可导，但非处处可导（例如z=0）。2.√解析：1/z将z=0映射到无穷远。3.√解析：sin(z)在复平面上处处解析。4.√解析：ln(1)=0。5.√解析：e^z在复平面上处处解析。6.×解析：√(-1)=i或-i，非-1。7.√解析：1/z在z=0处有奇点。8.√解析：cos(z)在复平面上处处可导。9.×解析：z^2的泰勒级数有常数项和z^2项。10.×解析：a=b=c=d=1时，映射为w=z，有效。四、简答题1.共形映射的定义及其应用场景解析：共形映射是指保持角度不变的映射，即保角映射。在复变函数中，共形映射可用于解决流体力学中的流动问题、热传导问题、电磁场问题等，通过将复杂区域映射到简单区域简化计算。2.e^z的解析性及泰勒级数物理意义解析：e^z在复平面上处处解析，因为其导数e^z恒等于自身。泰勒级数展开式e^z=1+z+z^2/2!+…具有物理意义，例如在量子力学中描述波函数的叠加。3.1/z与z^2的保角映射特性比较解析：1/z将原点映射到无穷远，且在无穷远处有奇点；z^2将原点映射到原点，且处处光滑。1/z的伸缩率与距离成反比，而z^2的伸缩率与距离成正比。五、应用题1.f(z)=z^2+2z+3在z=1