统计学原理试卷及答案

统计学原理试卷及答案一、单项选择题（每题3分，共30分）1.设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，若P(X=A.2  B.3  C.4  D.5答案：B解析：泊松分布概率质量函数为P(由题意=，化简得λ=2.若样本,…,独立同分布于N(A.  B./n  C.n  D.σ答案：B解析：Var(3.在假设检验中，若显著性水平α减小，则A.第一类错误概率增大  B.第二类错误概率增大C.检验功效增大  D.临界值减小答案：B解析：α减小意味着拒绝域缩小，更难拒绝原假设，从而第二类错误概率β增大。4.设二维随机变量(Xf则E(A.1/3  B.1/4  C.1/2  D.2/3答案：A解析：E5.对于简单线性回归模型=++，~NA.N(,C.  D.答案：A解析：最小二乘估计是正态线性组合，其方差为。6.若X~，则服从A.  B.  C.  D.答案：A解析：由定义，若Z~N(0,=7.设,…,为来自均匀分布U(A.X¯  B.max  C.min  D.答案：B解析：似然函数L(θ)8.在单因素方差分析中，组间均方M的期望为A.  B.+∑/(k−答案：B解析：E(M)9.设X~Bin(n,A.X近似N(np,C.X近似  D.X近似答案：B解析：泊松定理指出在上述条件下二项分布收敛到泊松分布。10.若随机变量X的矩母函数为(t)=A.0.5  B.0.25  C.0.75  D.0.1答案：A解析：(t)对应标准正态分布，对称性得二、填空题（每题4分，共20分）11.设,…,独立同分布于Exp(答案：+解析：Var(X¯E12.若X~N(答案：解析：E13.设随机变量X的密度为f(x)=，答案：解析：E14.在简单随机抽样中，若样本量n=100，总体大小答案：=15.设X~答案：解析：的偏度公式为。三、计算题（共50分）16.（10分）设,…f的样本，求θ的极大似然估计，并验证其无偏性。解：似然函数L对数似然ℓ令导数为零+令=−ln，则~ExpE因此θ^17.（12分）设(Xf（1）求X的边缘密度(x（2）求E(（3）求P(解：（1）(（2）条件密度(于是E（3）P18.（14分）某工厂生产钢丝，其抗拉强度服从正态分布。随机抽取n=25根，测得样本均值x¯（1）求μ的95%置信区间；（2）若要求估计误差不超过5MPa，求所需最小样本量；（3）在α=0.05下检验:μ解：（1）用t分布，=2.064x（2）误差E=≤5，取σn（3）检验统计量t因−2.5<−19.（14分）考虑线性回归模型=给定数据：∑（1）求最小二乘估计与；（2）求的无偏估计；（3）检验:=0对:≠（4）给出x=4时解：（1）====（2）=S=（3）t=2.306，|15.4|（4）y^SE95%置信区间15.769四、综合应用题（共40分）20.（20分）某电商平台想评估两种推荐算法A与B的转化率。随机将1000名用户均分两组，结果如下：算法A：500人，成交120单；算法B：500人，成交150单。（1）给出两总体转化率之差的95%置信区间；（2）在α=（3）若认为B优于A，求检验功效当真实转化率为=0.22（4）若希望检测出5个百分点的差异，功效0.9，α=解：记=0.24,=（1）标准误S95%置信区间(（2）合并比例p^z|z（3）真实差异δ=σ非中心参数λ=功效Φ（4）用公式n取=0.22n21.（20分）某城市地铁早高峰进站量可视为泊松过程，强度λ=（1）求3分钟内进站量N的分布及P(（2）若安装新闸机后，随机观测10个一分钟时段，平均进站108人，检验λ是否显著下降（α=（3）给