应用统计学案例分析题及答案

应用统计学案例分析题及答案某市公交集团为评估新开通的“微循环”线路对乘客出行满意度的影响，于2023年9月至2024年2月期间开展了一项持续跟踪调查。调查采用分层三阶段抽样：第一阶段以全市6个行政辖区为层，按各辖区常住人口比例抽取24个街道；第二阶段在抽中街道内按社区规模排序后等距抽取48个社区；第三阶段在社区内按门牌尾号随机抽取960名近两周内至少乘坐过微循环线路一次的成年乘客。调查问卷共38题，核心变量为“总体满意度”Y（0～100分连续变量），同时采集了乘客性别（男=1，女=0）、年龄（岁）、受教育年限（年）、日均公交出行次数（次）、候车时间（分钟）、车厢拥挤度评分（1～5分，5为非常拥挤）、是否使用实时到站App（是=1，否=0）、是否拥有私家车（是=1，否=0）、以及线路开通天数（天）。数据收集完成后，剔除关键变量缺失与逻辑错误样本，最终有效样本量n=872。一、描述性统计与探索性分析1.给出满意度Y的样本均值、标准差、偏度与峰度，并判断其是否近似服从正态分布。2.绘制Y与、、的箱线图，简述图形反映的异常值特征。3.计算Pearson相关系数矩阵，指出与Y线性关系最强的三个自变量，并检验其显著性（α=二、模型构建与诊断4.以Y为因变量，所有～为自变量，建立普通最小二乘（OLS）多元线性回归模型：Y给出参数估计、t检验与整体F检验结果，并写出回归方程。5.对模型进行多重共线性诊断，计算方差膨胀因子（VIF），判断是否存在严重共线性。6.绘制残差vs拟合值图、Q-Q图与Cook距离图，指出是否存在异方差、非正态或强影响点，并给出后续处理建议。三、变量选择与正则化7.采用逐步回归（AIC准则）进行变量筛选，给出最终保留的变量及其系数估计。8.使用Lasso回归（10折交叉验证选择λ），列出非零系数对应的变量，并与逐步回归结果比较异同。9.若集团管理层仅关心“候车时间每增加1分钟对满意度的边际效应”，请分别用OLS全模型、逐步模型与Lasso模型给出该边际效应的点估计与95%置信区间，并讨论差异原因。四、交互效应与分段效应10.在逐步模型基础上加入与的交互项，检验交互项是否显著（α=0.05）。11.考虑候车时间对满意度的影响可能存在门槛效应，以=10分钟为节点，构建分段线性回归：Y其中(−10=max(五、预测与模型比较12.将数据按7:3随机分为训练集与测试集，固定随机种子123，重复100次，记录每次测试集的均方预测误差（MSPE）。比较OLS全模型、逐步模型、Lasso、岭回归与弹性网（α=13.若集团设定“预测误差超过10分即视为不合格”，计算各模型在测试集上预测误差>10分的样本比例，并采用McNemar检验比较逐步模型与Lasso的合格率差异。六、因果推断——双重差分14.为评估微循环线路开通的因果效应，调查设计包含一组对照组：在同期抽取未开通微循环的街道，按相同抽样流程获得乘客样本=412。定义处理变量（处理组=1，对照组=0），时间变量（后开通期=1，前开通期=0），双重差分（DID）模型为：=给出的估计、稳健标准误与p值，并解释其含义。15.检验DID识别假设——平行趋势，采用事件研究法：以开通当月为基期（k=−1七、分层分析——随机系数模型16.考虑到不同行政辖区管理水平差异，建立两层随机系数模型（乘客层+辖区层）：\begin{aligned}Y_{ij}&=\beta_{0j}+\beta_{1j}X_{5,ij}+\beta_{2j}X_{6,ij}+\varepsilon_{ij},\quad\varepsilon_{ij}\simN(0,\sigma^2),\\\begin{pmatrix}\beta_{0j}\\\beta_{1j}\\\beta_{2j}\end{pmatrix}&=\begin{pmatrix}\gamma_{00}\\\gamma_{10}\\\gamma_{20}\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}u_{0j}\\u_{1j}\\u_{2j}\end{pmatrix},\quad\mathbf{u}_j\simN(\mathbf{0},\mathbf{\Sigma}_u).\end{aligned}给出的估计及其标准误，并检验是否显著大于0（α=0.05）。17.计算辖区层面随机效应的收缩因子（shrinkagefactor），并解释其对“候车时间效应”估计精度的影响。八、非线性关系——可加模型18.采用广义可加模型（GAM）：Y其中𝒮={2,5,619.比较GAM与逐步线性模型的五折交叉验证，并采用Vuong检验判断哪个模型显著更优。九、分类变量深度——有序Probit20.集团同时将满意度转化为有序分类变量：1=“非常不满意”(0–40)，2=“不满意”(40–60)，3=“一般”(60–75)，4=“满意”(75–90)，5=“非常满意”(90–100)。建立有序Probit模型：P给出（候车时间系数）估计，并计算候车时间从5分钟增至15分钟时，乘客“非常满意”概率的边际变化。21.检验比例优势假设（Brant检验），若假设被拒绝，进一步拟合部分比例优势模型，并比较AIC。十、综合决策22.基于上述所有分析，若集团只能优先干预一个变量，请从统计显著性、经济显著性、政策可操作性三个维度给出排序，并量化干预效果：假设通过增设班次可使候车时间平均降低3分钟，请用逐步模型预测全市872名样本平均满意度提升多少分，并给出95%置信区间。23.若预算限制只能覆盖3条街道，采用最优分层抽样原理，以辖区随机效应方差为分层指标，计算Neyman分配下各街道应抽取的乘客数，使估计满意度均值的方差最小。答案与解析1.样本均值y¯=72.4，标准差s=11.68，偏度=−0.222.箱线图显示>20分钟时出现一批极端低分（<50分），共23个离群值；=3.与Y相关系数绝对值前三：=−0.62，=−0.55，4.OLS结果：=87.34

(5.21)，=−0.84

(0.06)Y5.最大VIF=2.8（），<5，无严重共线性。6.残差图呈轻微喇叭口，Breusch-Pagan检验=9.2，p7.逐步回归保留,,8.Lasso在=0.024时非零变量：,,,,,9.边际效应：OLS全模型−0.84

[−0.9610.交互项系数=0.18，t=2.4311.分段回归=−1.12，12.平均MSPE（100次）：OLS18.7(0.4)，逐步17.2(0.3)，Lasso17.0(0.3)，岭17.4(0.3)，弹性网16.9(0.3)。Lasso与弹性网差异不显著，但均优于OLS（p<13.预测误差>10分比例：逐步21.8%，Lasso20.4%；McNemar=1.8，p14.DID=6.34，稳健标准误1.27，t=4.9915.事件研究k=−316.随机系数模型=−0.85

(0.07)，17.收缩因子=/18.GAM光滑项在∈[0,8]近似线性递