备战2024年高考数学一轮复习人教a必修第二册第九章　统计、成对数据的统计分析第3节　成对数据的统计分析

第3节成对数据的统计分析

课时作业灵活分层，高效提能

［选题明细表］

知识点、方法题号

散点图、回归分析123,4,6

独立性检验5,7,9,10,11

综口应用8,12,13,14

FA级基础巩固练

1.已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数谷3,歹=3.5,则

由该观测数据算得经验回归方程可能为（A）

AA

A.y=0.4x+2.3B.y=2x-2.4

AA

C.y=-2x+9.5D.y=-0.3x+4.4

解析:由变量x与y正相关，排除C,D选项将点（3,3.5）代入A,B选项的

方程中可知，选项A成立.

2.（多选题）（2022.广东惠州月考）某种产品的价格x（单位元/kg）与需求

量y（单位:kg）之间的对应数据如表所示，

Xio15202530

y1110865

根据表中的数据可得经验回归方程为y=bx+14.4,则以下结论正确的

是（BC）

A.y与x正相关

B.y与x负相关

C.经验回归直线过点(20,8)

D该产品价格为35元/kg时，日需求量大约为3.4kg

解析:由表格数据可知，随着价格x的增加，需求量y随之减小，所以y与

x负相关.

10+15+20+25+30

因为1二=20,

5

—11+10+8+6+50

y=------；—二8

经验回归方程y=bx+14.4必过点(20,8),

AA

所以8=b・20+14.4,解得b=0.32,

所以当x=35时,y=-0.32x35+14.4=3.2,日需求量大约为3.2kg.

3.一只红铃虫的产卵数y和温度x有关，现收集了6组观测数据,y(单位:

个)与温度x(单位。C)得到样本数据(Xi,yD(i=1,2,3,4,5,6),令Zi=lny,并将

AAA

(Xi,Zi)绘制成如图所示的散点图若用非线性经验回归方程y=ae"对

y与x的关系进行拟合，则(A)

Z

4

3.•

2.■■

1

20212223242526人

AAAA

A.a>l,6>0B.a>l,b<0

AAAA

C.0<a<l,fe>0D.0<a<l,b<0

A

解析:因为y=ae>”,令z=lny,则z与x的经验回归方程为z=bx+lna.

A

根据散点图可知Z与X正相关，所以b>0.由经验回归方程图象可知经

AA

验回归方程的纵截距大于0,即InQ>0,所以a>l.

4.(2022.辽宁大连二模)色差和色度是衡量毛绒玩具质量优劣的重要

指标，现抽检一批产品测得如下数据：

色差X212325272931

色度y151619202123

AA

已知该产品的色度y和色差x之间满足线性相关关系,且y=().8x+g

现有一对测量数据为(33,25.2),则该数据的残差为(A)

A.0.6B.0.4

C.-0.4D.-0.6

解析:由表中数据可得1+23+25+27+29+31)=26,歹三x(15+16+

6o

19+20+21+23)=19,

A

将(26,19)代入经验回归方程得Q=-1.8.

A

所以y=0.8x-1.8.

A

将x=33代入，可得y=0.8x33」.8=24.6,

因此其残差为25.2-24.6=0.6.

5.某机构为研究中老年人坚持锻炼与患糖尿病、高血压、冠心病、关

节炎四种慢性疾病之间的关系，随机调查部分中老年人,统计数据如下

表1至表4,则这四种慢性疾病可以通过坚持锻炼来预防的可能性最大

的是（B）

表1

患糖尿病未患糖尿病

坚持锻炼614

不坚持锻炼725

表2

患高血压未患局）血压

坚持锻炼218

不坚持锻炼1121

表3

患冠心病未崽冠心病

坚持锻炼416

不坚持锻炼923

表4

患关节炎未患关节炎

坚持锻炼713

不坚持锻炼626

A.糖尿病B.高血压

C.冠心病D.关节炎

O

解析:由表I得符嗡舞*.43,

52x(2x21-11x18)

由表2得4二-=3.9,

20x32x13x39

52X(4X23-9X16)2

由表3得;d=-0.43,

20X32X13X39

由表4得得端磊手I9

所以这四种慢性疾病可以通过坚持锻炼来预防的可能性最大的是高

血压.

6.(2022.陕西西安模拟)小华为了研究数学名次和物理名次的相关关

系,记录了本班五名同学的数学和物理的名次，如图.后来发现第四名

同学数据记录有误,那么去掉数据D(3,l0)后，下列说法错误的是

(B)

W物理名次•矶10,12)

•0(3,10)

•C(4,5)

•8(2,4)

)(1，3)

°W数学名次

A.样本相关系数r变大

B.残差平方和变大

C.变量x,y的相关程度变强

D.样本相关系数r越趋近于1

解析:由散点图知，去掉D(3/0)后,y与x的线性相关程度变强，目为正

相关，

所以r变大，且样本相关系数r越趋近于1,去掉D（3/0）后，散点分布更

均匀，残差平方和变小.故A,C,D正确.B错误.

7.有两个分类变量X和Y,其中一组观测值为如表的2x2列联表：

Y

XraTt

YiY2

X1a15-a15

X220-a30+a50

204565

其中aJ5-a均为大于5的整数，则a=时,依据小概率值«=

0.01的独立性检验，认为“X和Y之间有关系;

2

附)=___mad-bc)…(其中

人(a+b)(c+d)(a+cg+b+c+d).

a0.10.050.0250.010.005

Xa2.7063.8415.0246.6357.879

解析:由题意知於则653（次解得

6.635,回，受ux黑43x汽1.>?x>：u吃】□誓quu产635,

a>8.65或aWO.58,因为a>5且15・a>5,a&N,所以

8.65<a<10,a^N,

所以a=9.

答案：9

8.某食品厂为了检查甲、乙两条自动包装流水线的生产情况，随机在这

两条流水线上各抽取100件产品作为样本称出它们的质量（单位：

mg）,质量值落在（175,225］的产品为合格品否则为不合格品统计数据

如下列2x2列联表,

流水线

质里合计

甲乙

合格品9296188

不合格品8412

aid-100100200

⑴依据小概率值a=0.15的独立性检验，能否认为产品的包装的合格性

与流水线的选择有关联?

2

n(ad-bc)

附：片=，其中n=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

临界值表:

a0.150.10.050.025

xa2.0722.7063.8415.024

a0.010.0050.001—

Xa6.6357.87910.828—

⑵公司工程师抽取几组一小时生产的产品数据进行不合格品情况检

查分析，在数量为x（单位:百件）的产品中彳导到不合格品数量y（单位:件）

的情况汇总如表所示，

X/S件147810

y/件214243540

求y关于x的经验回归方程、=以+小并预测一小时生产2000件时的

不合格品数.（精确到1）

n

ZXiyt-nxy£(xrx)(yry)

附加与----rt=i

GM

A八

a=y-bx.

解:⑴根据2X2列联表可得£=200X(92X4-96X8)踪

RT'口JB人100x100x100x12'

所以依据小概率值a=0.15的独立性检验，不能认为产品包装的合格性

与流水线的选择有关联.

(2)由已知可得元=1+4+7：8+10=6,

2+14+24+35+40

=23,

y=-5

5

又工xiyi=1x2+4x14+7x24+8x35+10x40=906,

i=l

5

xX?=12+42+72+82+102=230,

i=l

所以;二4等=嗤篝二膏=4.32,所以;方-;元=23-4.32X

).-DX

6=292,

A

所以y关于x的经验回归方程为y=4.32x-2.92,

当x=20时,y=4.32x2()-2.92=83.48k83,

所以估计一小时生产2000件时的不合格品数约为83件.

匚网综合运用练

9.(多选题)有甲、乙两个班级进行数学考试,按照大于等于12()分为优

秀.12()分以下为非优秀统计成绩彳导到如下2x2列联表，

班级成绩合计

优秀非优秀

甲班10b

乙班C30

合计105

已知在这105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为“视频率为概率）,

则下列说法正确的是（BC）

附表及公式:

a0.050.010.001

Xa3.8416.63510,828

7n（ad-bc）2..

左二s+b）（c+d）g+c）（b+d严=a+b+c+d.

A.2x2列联表中c的值为30,b的值为35

B.2x2列联表中c的值为20,b的值为45

C根据2x2列联表中的数据，若依据小概率值a=0.05的独立性检验,

则能认为成绩与班级有关系

D.根据2x2列联表中的数据，若依据小概率值a=0.05的独立性检验,

则不能认为成绩与班级有关系

解析:因为在这105人中随机抽取1人,成绩优秀的概率为最

所以成绩优秀的人数为105x,30,非优秀的人数为105・30二75,

所以c=30-10=20,475-30=45,

105x(10x30-20x45)2

所以弋=■-6.1O9>3.841=XO.O5,

30x75x50x55

所以依据小概率值a=0.05的独立性检验，能认为成绩与班级有关系.

10.（2022.安徽芜湖模拟）为了检验某种血清预防感冒的作用把500名

使用血清的人与另外500名未使用血清的人一年中的感冒记录作比

较提出假设Ho；”这种血清不能起到预防感冒的作用”利用2x2列联表

计算的结果,根据小概率值a=0.01的独立性检验，可以认为Ho成立，那

么片的一个可能取值为（A）

a0.050.0250.010.0050.001

Xa3.8415.0246.6357.87910.828

A.7.879B.6.635C.5.024D.3.841

解析:由题意，连6.635.由诜项知片的一个可能取值为7.879.

11.疫苗是为预防、控制传染病的发生、流行，用于人体预防接种的预

防性生物制品，为了考察某种疫苗预防效果，在试验时彳导到如下统计

数据,

传染病

疫苗合计

未发病发病

未注射30

注射40

Q1+7030100

附表及公式:

a0.050.010.0050.001

Xa3.8416.6357.87910.828

2

9n(ad-bc)..

----------------------,n=a+b+c+d.

卜(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

现从试验动物中任取一只，取到“注射疫苗”动物的概率为05则下列

判断错误的是（D）

A.注射疫苗发病的动物数为10

B.从该试验未注射疫苗的动物中任取一只,发病的概率为|

C.能在犯错概率不超过0.05的前提下,认为疫苗有效

D.该疫苗的有效率为80%

解析:现从试验动物中任取一只，取到“注射疫苗”动物的概率为05则

注射疫苗发病的动物数为100x0.5-40=10,故A正确;

2x2列联表如下:

传染病

疫苗合计

未发病发病

未注射302050

注射401050

,7030100

从该试验未注射疫苗的动物中任取一只,发病的概率为移=|,故B正确;

因为冷以差黑：：*4-762>3.846。3

根据小概率值a=0.05的独立性检验，认为疫苗有效，故C正确；

对于D选项，末考虑未注射疫苗的动物中也有不发病的情况，故D

错误.

12.某二手车经销商对其所经营的A型号二手汽车的使用年数x与销

售价格y（单位万元/辆）进行整理得到数据如表所示

使用年数x234567

售价y201286.44.43

z=lny3.002.482.081.861.481.10

如图所示,z关于X的折线图:

⑴由折线图可以看出，可以用线性回归模型拟合Z与X的关系，请用样

本相关系数加以说明；

⑵求y关于X的经验回归方程，并预测某辆A型号二手车使用年数为

人A

9年时售价约为多少;（b,Q小数点后保留两位有效数字）

⑶基于成本的考虑该型号二手车的售价不得低于7118元请根据⑵

求出的经验回归方程预测在收购该型号二手车时车辆的使用年数不

得超过多少年.

人n__n__

£(Xi-xXyi-y)ZXcyi-nxy

_______

参考公式/二』———1—nT-

Z(Xi-x)2Xxf-nx

i=li=l

A_A_,Z(Xt-x^yi-y)

a=y-b无产/~~口——1---------:

Z(Xi-x)22(%歹产

i=ii=i

参考数

据:Zxiyi=187.4，ZxiZi=47.64，ZW=139,£(xrx)M.18,Z(y广歹产

6

力3.96,£(4-幻2』.53,In1.46=0.38,

\i=1

In0.7118—0.34.

解：(1)由题意知

x=-x(2+3+4+5+6+7)=4.5,

6

z=lx(3+2.48+2.08+1.86+1.48+1.10)=2,

66

又£XiZi=47.64,£(X「M)2=4.18,

i=l、i=l

2(z「乃2HL53,

47.64-6x4.5x26.36

所以巾—0.99,

4.18x1.536.3954

所以z与x的样本相关系数大约为-0.99,说明z与x的线性相关程度

很高.

47.64-6x4.5x26.36

Q)b=--0.36,

139-6X4.52

所以Q=2-b±=2+0.36x4.5=3.62,

所以z与x的经验回归方程是z=-0.36x+3.62,又z=lny,

所以y关于x的经验回归方程是y=e-o-36x+362.

A

令x=9彳导y=e036x9+j.62=e（）.38

A

因为In1.46=0.38,所以yR.46,

即预测某辆A型号二手车使用年数为9年时售价约为1.46万元.

A

⑶当yNO.7118,

即e-0.36x+3.62>Qj]।g=eln0.7118队-0.34时,

则有-0.36x+3.62N・0.34.解得x<ll,

因此预测在收购该型号二手车时车辆的使用年数不得超过11年.

rc级应用创新练

13.（多选题）某中学课外活动小组为了研究经济走势，根据该市

1999—2021年的GDP（国内生产总值）数据绘制出下面的散点图.

50

45

40

35

蛆30

d25

a20

。15

10

5

01234567891011121314151617181920212223

年份代码以代码1-23分别对应年份1999-2021）

该小组选择了如下2个模型来拟合GDP值y随年份x的变化情况，模

型一:y=kx+b（k>0,x〉0）;模型二:产kex+b（k>0,x>0）,下列说法正确的是

（AD）

A.变量y与x正相关

B根据散点图的特征,模型一能更好地拟合GDP值随年份的变化情况

C.若选择模型二,y=kex+b的图象一定经过点（元歹）

D.当x=13时通过模型计算得GDP值为70,实际GDP值为71,则残差

为1

解析:根据散点图易得变量y与x正相关，故A正确;由散点图可得y与

x的变化趋向于一条曲线，所以模型二能更好地拟合GDP值随年份的

变化情况，故B错误;若选择模型二y=ke'+b,令t=e5则图象经过点①歹）,

故C错误;当x二13时，通过模型计算得GDP值为7（）,实际GDP值为71,

则残差为1,故D正确.

14.某基地蔬菜大棚采用无土栽培方式种植各类蔬菜.过去50周的资

料显示，该地周光照量X（单位:h）都在30h