复变函数积分的计算方法

复变函数积分的计算方法

摘要：在复变函数的分析理论中，复积分是研究解析函数的重要工具，解

析函数的许多重要性质都要利用复积分来表述和证明的.因此，掌握复积分的计

算方法对于学好复变函数至关重要.本文从不同角度讨论了复变函数的积分，对

计算复积分的几种方法进行了整理、归类，并以典型的例题加以说明.其中包括

利用定义、牛顿-莱布尼茨公式、柯西积分定理及公式、高阶导数公式、留数定

理等计算复积分的方法.还重点介绍了运用级数法、拉普拉斯变换法计算复积分

和利用对数留数与辐角原理计算复积分的方法.

关键词：柯西积分定理；柯西积分公式；留数定理；拉普拉斯变换

引言

复变函数论是数学中一个基本的分支学科，它的研究对象是复变数的函

数.复变函数论历史悠久，内容丰富，理论十分完美.它在数学许多分支、力学

以及工程技术科学中有着广泛的应用.复数起源于求代数方程的根.复变函数

论产生于十八世纪.1774年，欧拉在他的一篇论文中考虑了由复变函数的

积分导出的两个方程.而比他更早时，法国数学家达朗贝尔在他的关于流

体力学的论文中，就已经得到了它们.因此，后来人们提到这两个方程，

把它们叫做“达朗贝尔-欧拉方程”.到了十九世纪，上述两个方程在柯西

和黎曼研究流体力学时，作了更详细的研究，所以这两个方程也被叫做“柯

西-黎曼条件”.复变函数论的全面发展是在十九世纪，就像微积分的直接

扩展统治了十八世纪的数学那样，复变函数这个新的分支统治了十九世纪

的数学.当时的数学家公认复变函数论是最丰饶的数学分支，并且称为这

个世纪的数学享受，也有人称赞它是抽象科学中最和谐的理论之一.为复

变函数论的创建做了最早期工作的是欧拉、达朗贝尔，法国的拉普拉斯也

随后研究过复变函数的积分，他们都是创建这门学科的先驱.后来为这门

学科的发展作了大量奠基工作的要算是柯西、黎曼和德国数学家维尔斯特

拉斯.二十世纪初，复变函数论又有了很大的进展，维尔斯特拉斯的学生，

瑞典数学家列夫勒、法国数学家彭加勒、阿达玛等都作了大量的研究工作，

开拓了复变函数论更广阔的研究领域，为这门学科的发展做出了贡献.fi

变函数论在应用方面，涉及的面很广，有很多复杂的计算都是用它来解决

的.比如物埋学上有很多不同的稳定平面场，所谓场就是每点对应有物埋

量的一个区域，对它们的计算就是通过复变函数来解决的.比如俄国的茹

柯夫斯基在设计飞机的时候，就用复变函数论解决了飞机机翼的结构问题，

他在运用复变函数论解决流体力学和航空力学方面的问题上也做出了贡

献.复变函数论不但在其他学科得到了广泛的应用，而且在数学领域的许

多分支也都应用了它的理论.它已经深入到微分方程、积分方程、概率论

和数论等学科，对它们的发展很有影响.从柯西算起，复变函数论已有170

多年的历史了.它以其完美的理论与精湛的技巧成为数学的一个重要组成

部分.它曾经推动过一些学科的发展，并且常常作为一个有力的工具被应

用在实际问题中，它的基础内容己成为理工科很多专业的必修课程.现在，

复变函数论中仍然有不少尚待研究的课题，所以它将继续向前发展，并将

取得更多应用,通过发复变函数发展历史的研究，可以更加深入的理解复变函

数的内容以及基本理论，了解复变函数在生活中的具体应用以及未来的发展前景

从而更熟练地掌握复变函数的理论基础以及实际运用.

很多文献对复变函数的积分的计算问题进行了讨论，参考文献⑴讨论了计

算复积分的七种常规计算方法，如利用定义直接计算复积分，利用柯西积分定理

以及柯西积分公式求复积分，用解析函数的高阶导数公式等，参考文献［2］着重

介绍了运用留数定理和辐角定理求解复积分的方法，参考文献⑶则主要介绍了

通过变量变换、柯西积分公式、柯西积分定理及留数定理求解的方法，也揭示了

诸多方法的内在联系，参考文献［4］探析了沿封闭曲线的复积分计算方法，参考

文献⑸则介绍了沿不封闭曲线的复积分的计算方法.由于解析函数的特性，形

成了丰富的复积分理论知识和多种求解方法，以上几个文献都只以有限的篇幅介

绍了几种比较一般的方法，参考文献⑻重点介绍了利用级数法、拉普拉斯变换

法及对数留数与辐角原理进行复积分计算的方法，对常用复积分计算方法进行了

补充，具有一定的技巧性和简捷之处.

从复变函数的发展史以及上述文献可以看出复变函数的重要性，尤其是解决

一些实际问题，与空气动力学、流体力学、弹性力学、电磁学和热力学等学科有

关的一些重要实际问题，更体现了复变函数中复积分的重要性,解析函数的许多重

要性质不用复积分也很难证明的.因此，了解复变函数积分，以及能灵活运用

2

复积分计算方法进行复积分计算就显得极具重要.本文对不同类型的复变函数的

积分的计算方法进行了系统的总结和归纳，并总结出求解复积分的一些技巧，这样,

遇到一个复积分，我们可以先分析积分的特点，由此特点来选择合适的方法，方法

得当，可以使一些复杂的复积分计算变得简单、快捷，因此该课题具有一定的应用

价值.

1.复变函数积分的常规计算方法

1.1利用定义来直接计算复积分

复积分的定义⑴设函数w=/(z)定义在区域。内，C为在。内起点为4终

点为B的一条光滑的有向曲线.把曲线C任意分成〃个弧段，设分点为

A=zrz,z,-z=B,

012k-\kn

在弧段z到z(k=12…上任取一点q,并作和式

kIkk

S=£/化)(z-z)=E&)Az,记Az=z-z，

k=lkkk-lnkkkk-l

弧段z到Z的长度b=max{AS}(A=I,2,….〃)，当3->0时，不论对C的分法

A-lA\<k<nk

即q的取法如何，S有唯一极限，则称该极限值为函数/(z)沿曲线C的积分，

kn

为

\f(z)dz=liinEf(t,)Az.(1.1)

c5->0fc=lkk

例LI计算积分l)Jdz；2)Jzdz,其中积分路径表示连接点。及点b的任

CC

一曲线.

解对C进行分割，并近似求和，以下符号与上述复积分的定义一致.

(1)当C为闭曲线时，\dz=0.因为/(z)=1,S=E(z-z)=b-a,

C11女7kk\

所以

limS=b—Q,

n

即

\dz=b-a.

c

(2)当C为闭曲线时，\dz=O.f(z)=z,沿C连续，则积分Jzdz存在，

3

二[(f-x)•1-f2.|"+ij[(r-x)•1+f2\dt

00

二-♦f2力+J力力

00

=-1(1-0•

3

(2)形式2

当光滑曲线。方程为)，=)，*),a<x<h.则式(1.2)可化为

J/(zMzJ”〃(匕y(x))-v(x,yM))/(x)团

bf

+ij[u(xyy(x))y(x)+心,y(x))]dx.(1.4)

例1.3求J(xy+yi)dz,C为抛物线y=x2(0VE).

解i(xy+yi)dz=J'[xx2-xi-2x]dx+ijl[x-x2-2x+x2]dx

00

=-f1xyclx4-ij(2x4+x2)dx

0.0

1Ilff

=~~+—1Jf(z)dz=V/(z(f))z’(。力.

415ca

(3)形式3

当光滑曲线C方程为2=2")((!4］《。,或04区00,，=(1,。分别对应于。的

起点，终点.则式(1.4)可表示为

J/(z)dz=f.(1.5)

ca

说明利用式(1.5)计算复积分，只需将，•看作一般常数，按定积分计算式

(1.5)右端.在方法上常常来的更简单.

例1.4求jRezdz.C为连接。至！11再到1+i的折线.

C

解从。到1的直线段方程为z=r(0<r<i).从1至H+i的直线段方程为

z=(l-0+(1+0r(0<r<1).即z=l+”(0Wl).故由式(L5)

JRezdz=J1Retdt+J'[Re(l+

c0°

=J1tdt+/J1dt=_!_+/.

oo2

5

说明当C为圆弧|名|=1<,0<arg0时,C可表示为<=Re^(0<0<0)，

I2I2

则

J/k)虑J

2/（Re冷）痴疝.(1.6)

例1.5求J祺公.。为单位圆上的上半圆周，方向为从1到7.

解C：Ao<O<n.由|7|2=次？1.故

J4川芸=fn1,ie^加=eX）卜="兀一⑷=—2

1.3利用牛顿•莱布尼茨公式计算复积分

牛顿・莱布尼茨公式同设/（1）在单连通域D内解析.芸，1cD,尸⑺为

I2

八右的原函数.则

fW^=F（<）-FQ）.（I.7）

~〜I

例1.6计算积分12，COS[/Q

o2

解Jn+2/cos^sin2sin（^_+/）=2cosz-

o2,5。7

说明利用牛顿-莱布尼茨公式/（»需要的条件：（l）D须是单连通的；（2）

积分值仅与起点、终点有关，与具体的路径无关；（3）式（1.7）适合于原函数尸（。

是初等函数.

1.4利用柯西积分定理及其推论计算积分

假定复积分路径C恒为可求长（或逐段光滑）的简单闭曲线，方向为正方向.

（1）单连通区域上的柯西积分定理

柯西积分定理16〕设/（抄在单连通区域D内解析，c为D任一条周线，则

:/（差女=0.（L8）

例1.7计算1■,。为单位圆周|芸=1.

cQ+2芸+2

解1弋1=1是/（。二一i一的解析区域内的一条闭曲线，由柯西积分定

召+2/2

理有

1收=0.

。芸2+2之+2

6

说明此题可用化复积分计算为实曲线积分的计算方法，但计算要复杂的

多，而用柯西积分定理很简单.

柯西积分定理的等价形式设C是一条周线，。为之内部，在闭域

方=D+C上解析，则

I/⑵在=0.

例1.8求J8s%,其中C为圆周|3/|=1.

■+/

解圆周。为|旬-（-32|=1,被积函数的奇点为-3在C的外部，于是更

以C为边界的闭圆|宅+3,区1上解析，故由柯西积分定理的等价形式得

（2）多连通区域上的柯西积分定理

如果D为多连通区域，有如下定理设D是由复周线C=C+C+C+...C

所构成的连通区域，/（抄在D内解析，在5上连续，则

J7(^=0.

解函数F（力=1=1—3在积分路径c的内部上共有两个奇点

松芸+1)z3^+1

宅=0和2=-「.在C内分别作以宅=0与以<=，为心，充分小半径的圆

周不止,•及「我-（T）i~,将二奇点挖去，新边界构成复周线

C+「+「（陵|=1）.

I2

_________________________zz---------,+I_________

卜(3芸+1)「严，攻3名+1)r^3^+1)「43名+1)

J必J3-J今_J3收

7飞「4+1口"匚3%+1

=J^/-Jd"(cl^_f虑=0.

r|宅r)芸-(-_)「21「2芸-(-j_)

7

说明在积分与路径无关的条件下也可直接按实积分中的牛顿-莱布尼茨公

式计算.

1.5利用柯西积分公式计算复积分

柯西积分公式设区域。的边界是周线或复周线C,函数/（对在。内解析，

在Q=D+C上连续，则有/（。=1J/⑹的（<£切,即

2哈（"J

应=2叼3・(1.10)

c(G一n)

例1.10计算积分12芸2一/1丁的值，其中c：0|=2.

c之-1

解因为/但=2$-芸+1在|小2上解析,<=熊{芸:|芸|<2}.由柯西积分

公式得

2^2—彳+1

J_~-~底=2几/（2宅2—宅+1）.

W=2宅-1

例1.11计算〕1♦的值,。为包含圆周I芸-”=2的任何正向简单闭

。之2（之一小

曲线.

1

解1在c内部有两个奇点,宅=0芸=，，取c为lvl=_,C为

寻仁一/）312132

[-------<7芸-J-------我+J--------<7芸

收一/）3'Q下（芸一1）36以々一个

又有

J1欠」飞反

<112&-小C（芸一小

1

=27M------]1=一6位.

”)3k

8

J1我二J胃收

,2召（芸一'）3U（V-）3

故

J-------------我=0.

c♦（芸―-

1.6利用解析函数的高阶导数公式计算复积分

高阶导数公式⑷设/㈤在D内解析，在方上连续，d为D的边界，&

有

J/&）虑_2.//⑷仁）,,7=1,2,（1.11）

收-,）"+14o

例1.13求J竺三我，C为包含圆周|行=1的任何正向简单闭曲线，&=0,

y1।

工=i.取C为|9|=_,。为I芸一，l=_.

21323

解/（对=85兀节,=。在C内部，由式（1.11）

J竺^:名cos叫

c232!?=°

=兀4一冗2cos冗耳|=一兀3）.

1=0

1.7利用』_J__欠的结果计算复积分

c（t-1）〃

⑴当之属于c内部时，J1_12吟〃=1,（1.12）

0（-,）〃[0,〃。1.

⑵当产属于。外部时，I1♦二于（1.13）

00收一寸

例1.14求J=+5弋5直,。为上_1]=].

C（~）2（11）2

9

解—-+5：-5_1_1,1在。内部，2不在内部，由式（1.13）

仁-1）2（芸-1）仁-2）2芸-1

有

f.+5,5h_j11改=0—2兀，二-2兀，.

c（另一2）2（名一。c（^-1）2cyT

1.8利用留数定理计算复积分

留数定理⑹/（◊在复周线或周线C所围的区域D内，除%〃外解

I2H

析，在闭域-D=D+C上除〃〃…〃外连续，贝IJ

L2,n

J/（＜）底=2兀/ERe$/（M）.（1.14）

Ck=1宅・快

设〃为/（1）的〃阶极点，/（»=，（"，其中5（也在点〃解析，（p（〃）HO,

（.一〃）"

则Res/⑷=.这里符号（P（O）（〃）代表中（〃），且有（pg〉®=lim如-D⑷.

.（"D!…

5彳一）

例”5计算积分；

解被积函数/（/=上二-在圆周I行=2的内部只有一阶极点芸二°及二

'#-1）2

阶级点之=1.

5?—2

Re"⑷=7^77

〃GF

Re"(?)=(*-2可=_2_=2

wJWt=l

因此，由留数定理可得

J5：-2介=2兀/(-2+2)=0.

忖=2乳V一1)2

例1.16计算积分J3我.

m=1W

解八^=里只以宅=0为三阶极点，

.中]]

Res/(力=_(cos^)ri=»

?=o2!c=。2

10

故由留数定埋得

COS彳，c./1、.

Jf'd工=2兀_）=-iti.

的=1芸32

说明（1）柯西积分定理、柯西积分公式和解析函数的高阶导数公式都是留

数定理的特殊情况；

（2）凡是能用柯西积分定理、柯西积分公式和解析函数的高阶导数公式计算

的复积分都能用留数定理来计算.

2.运用级数法计算复积分

逐项积分定理⑶设/⑷在曲线C上连续（〃=1,2,3…），£/（2在C上

〃//

一致收敛于/（»,则/S）在曲线C上连续，并且沿C可逐项积分：

1£/仁）女」/（机也（2.1）

将函数展开成泰勒级数或洛朗级数就解决了该类复积分的有关问题.

例2.1计算积分］（£守脓,。：1止L

3.利用洛朗展式计算复积分

例3.1计算积分/=』芸加＜公.

一］（1一伙）3

解若/⑷在圆环h：r＜稣-〃|＜尺（广之（）,尺《+8）内可展成洛朗展式

/（。=*C（芸一小，

n

正一R

则

C二1J八，）热，r：\C,-a\=p（r＜p＜^）,

2兀/(q-〃)小

11

从而

I/«)的=2兀兀'.

令

则/（力在H:0<|?|<+8内的洛朗展式为

水-史+至+…)等(1-&+―-…)

/(抄=一V一=_____—―

一(芸+—+…)3一下(1+—+…)3

2!2!

1一%+'一

1干中…I..

=-_，—=-_(1+...)

々(1+1+...)3'

2!

1

二一一+….

故

I=2兀，C=-2TC/.

4.运用拉普拉斯变换法计算复积分

拉普拉斯变换法代设/⑺是定义在［0,+00］上的实值函数或复值函数，如果

含复变量P=o+Ho,s为实数）的积分上/（/）iW/在p的某个区域内存在，则由

0

此积分定义的复函数「（力）=1例八/）门/成为函数人,）的拉普拉斯变换（简称拉

0

氏变换），简记为

F（/））=L［/（/）］.

计算该类复积分时，可运用拉普拉斯变换的基本运算法则，将该类复积分化

为尸（刃的形式，再参照拉普拉斯变换表，得出相应的复积分结果.

11

例4.1计算积分产cos——e-pzd^.

oJ〃兀旬2砍

1I

解令f(a^)=-j^COS——则

4吟2〃之

12

11

（々初=J，.COS-------e-，

o2%

由于

U/（々刈=1尸（金），

aa

由拉普拉斯变换表得

1-r

_efTcos

IP

所以

00111

f

/OS_e_-_8_我=_

0标72叭a

5.利用对数留数与辐角原理计算复积分

如果/&）在简单曲线。上解析且不为零，则积分,称为/㈤关

2兀，⑷

于曲线。的对数留数.由它推出的辐角原理提供了计算解析函数零点个数的一个

有效方法.特别是，可以借此讨论在一个指定区域内多项式零点的个数问题.

5.1利用对数留数定理计算复积分

如果/⑶在简单曲线。上解析且不为零，在C的内部除去有限个极点外也

处处解析，则

J_J（4.1）

2冗iG/⑶

其中N为/（对在。内零点的总个数，P为/（»在C内极点的总个数，且。取正

向.在计算零点与极点的个数时，0级的零点或极点算作加个零点或极点咫.

5.2利用辐角原理计算复积分

辐角原理如果/（炒在简单闭曲线。上与C内解析，且在C上不等于零，

1

则/（3在。内零点的个数等于丁乘以当芸沿c的正向绕行一周时/（»辐角的

2兀

改变量，即

13

N=J_A+a3'(z).(4.2)

2兀c

结合对数留数定理.与辐角原理，通过例题来说明该方法在复积分计算中是如

何使得计算变得简单的.

例5.1计算积分/Z9.

121=42*0—1

解『⑶在|z|=4的内部解析,有io个零点，没有极点，即N=10,2=0.由

,LfL^Ldz=N-P，有

2几ic/(z)

J--Jj10--JJ⑵。-I)%

⑶=4Z")—110|=|«4ZI0-110|z|.4Z1O—1

=_Lx2KZ(I0-0)=27TZ.

10

例5.2计算积分.⑶必，其中f(z)=sinz(z—l)2