2026高考数学涨分秘籍：第1讲 半配半凑法构造有奇偶性的函数

第1讲半配半凑法构造有奇偶性的函数

在教学函数的奇偶性时，构造有奇偶性的解析函数研究数学问题方面，老师们一般

会讲将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性

构造关于f(x)的方程(组)，从而得到f(x)的解析式．关于常见构造有奇偶性的解析函

数的方法还有那些，往往语焉不详，特别是函数的综合性问题，尤其是与导数相结合时，

常用半配半凑法，很多老师都不清楚.若函数f(x)的定义域关于原点对称，则函数f(x)

1

能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式.记g(x)＝[f(x)＋f(－x)]，h(x)＝

2

1

[f(x)－f(－x)]，则f(x)＝g(x)＋h(x).本专题主要讲半配半凑法，供同仁们教学参考，

2

学生备战2024高考的培优专题.系统归纳构造有奇偶性的解析函数的常见六种方法.

题型一含f(x)f(-x)g（x）结构

名师导航

f(x)f(x)f(-x)g（x）

若函数g(x)为偶函数，定义在R上的函数满足+=，则

g（x）

F(x)f(x)-为奇函数．

2

【典例1】设定义在R上的函数f(x)满足f(x)f(x)x2，且当x0时，f(x)x，若存

1

在x0xf(x)f(1x)x，求x0的取值范围．

2

1

【分析】构造T(x)f(x)x2，由已知条件有T(x)T(x)0，即T(x)为奇函数又x0时

2

f(x)x，可判断T(x)单调递减，结合x0的规则有Tx0T1x0即可求x0的取值范围.

解析：

1

构造函数T(x)f(x)x2，因为f(x)f(x)x2

2

11

∴T(x)T(x)f(x)x2f(x)(x)2f(x)f(x)x20

22

∴T(x)为奇函数，当x0时，T(x)f(x)x0，T(x)在(,0]上单调递减

∴T(x)在R上单调递减.

11

∵存在x0xf(x)f(1x)x，所以fx0f1x0x0

22

1112

∴Txx2T1x1xx，化简得TxT1x

0202020000

1

∴x1x，即x.

0002

【典例2】已知在定义在R上的函数fx满足fxfx6x2sinx0，且x0时，

π3ππ

fx3cosx恒成立，解不等式fxfx6x2cosx.

224

【分析】结合已知不等式，构造新函数gxfx3xsinx，结合单调性及奇偶性，列出

不等式，即可求解.

解析：

由题意，当x0时，fx3cosx恒成立，即fx3cosx0恒成立

又由fxf(x)6x2sinx0，可得fx3xsinxf(x)3xsinx

令gxfx3xsinx，可得gxgx，则函数gx为偶函数

且当x0时，gx单调递增，结合偶函数的对称性可得gx在(,0)上单调递减

3

由fxfx6x2cosx

224

化简得到fx3xsinxfx3(x)sin(x)

222

即gxg(x)，所以xx，解得x

224

即不等式的解集为,.

4

故不等式的解集为,.

4

2

【典例3】设函数gxfxx是定义在R上的奇函数，且Fxfx3x，若f11，

则F1（）

4781

A．B．C．D．

3333

【分析】根据gx是奇函数，可得fxfx2x2，即可求出f13，进而

可求F1.

解析：

gx是奇函数，gxgx，即fxx2fxx2

即fxfx2x2，f11，f13

8

F1f131331.

3

故选：C.

能力达标训练

1.已知定义域为R的函数f(x)fx2sinx，又当x0时，f(x)1，则关于x的不等式

5

f(x)fx3sinx的解集为（）

36

A．,B．,C．,D．,

6666

【分析】由给定函数等式变形，构造函数g(x)f(x)sinx，再探讨函数g(x)的性质，然后

将不等式整理变形为g(x)g(x)求解即得.

3

解析：

xR，f(x)fx2sinxf(x)sinxfxsin(x)，

令g(x)f(x)sinx，即有g(x)g(x)，g(x)是R上的偶函数

因当x0时，f(x)1

则g(x)f(x)cosx0，当且仅当fx1,cosx1时取“=”，

于是得g(x)在[0,)上单调递增

533

f(x)f(x)3sin(x)f(x)f(x)sinxcosx

36322

f(x)sinxf(x)sin(x)

33

即g(x)g(x)，于是得g(|x|)g(|x|)

33

因此，|x||x|x2(x)2，解得x

336

所以所求不等式的解集是[,).

6

故选：A

2

2.设函数fx在R上存在导函数fx，对任意的实数x都有fx4xfx，当

13

x,0时，fx4x.若fm1fm3m，则实数m的取值范围是（）

22

13

A．,B．,C．1,D．2,

22

【分析】构造函数F(x)f(x)2x2

解析：

1

令F(x)f(x)2x2，则F(x)f(x)4x0，函数F(x)在(,0)上为减函数

2

因为F(x)F(x)f(x)f(x)4x20，即F(x)F(x)

故F(x)为奇函数，于是F(x)在(,)上为减函数

3

而不等式f(m1)f(m)3m可化为F(m1)F(m)，则m1m

2

1

即m.选A.

2

2

3.设函数fx在R上存在导函数fx，对于任意的实数x，都有fx6xfx，当

x,0时，2fx112x，若fm2f2m12m129m2，则实数m的取值范

围是．

2

【分析】令gxfx3x，可得gxgx，知gx为R上的奇函数；根据

2fx112x可推导得到当x,0时，gx0，结合奇偶性可得gx单调性；将所

求不等式转化为gm2g2m，由单调性可得m22m，从而得到m的取值范围.

解析：

由fx6x2fx得：fx3x2fx3x2

2

令gxfx3x，则gxgx，gx为R上的奇函数

1

当x,0时，由2fx112x得：fx6x

2

gxfx6x0，

gx在,0上单调递减；又gx为奇函数，gx在R上单调递减

22

由fm2f2m12m129m2得：fm23m2f2m32m

即gm2g2m

2

m22m，解得：m

3

2

即实数m的取值范围为,.

3

4.已知函数f(x)的导函数为f(x)，且满足f(x)2x2f(x)．当x(,0)时，f(x)2x；

若f(m2)f(m)4m4，则实数m的取值范围是．

【分析】构造函数hxfxx2，利用导数可得hx在，0递减，结合条件可得hx

是奇函数，在R上单调递减，进而即得.

解析：

令hxfxx2，则hxfx2x

∵当x,0时，fx2x，故hxfx2x0

∴hx在，0递减，而hxfxx2，f(x)2x2f(x)

∴fxfxhxx2hxx22x2，∴hxhx0

∴hx是奇函数，hx在R上单调递减

2

若fm2fm4m4，则fm2m2fmm2

∴hm2hm，∴m2m，即m1.

5.设函数f(x)在R上存在导函数f(x)，对任意的xR有f(x)f(x)2x2，且当

x[0,)时，f(x)2x.若f(2ea)f(a)4e(ea),g(x)exax的零点有

个．

【分析】先构造函数F(x)f(x)x2,再求函数F(x)的单调性和奇偶性，再利用函数的性质

化简f2eafa4eea得到a>e，最后利用分离参数数形结合求零点的个数.

解析：

令F(x)f(x)x2,则F(x)f(x)2x0,

所以函数F(x)在0,上是增函数

由题得F(x)f(x)x2,F(x)+F(x)f(x)x2+f(x)x2=0,F(x)-F(x).

所以函数F(x)是奇函数，且在R上是增函数.因为f2eafa4eea，

所以f2ea-(2ea)2＜f(a)a2.

所以F(2e-a)＜F(a),所以2e-a<a,所以a>e.

x

xe

因为gxeax0，所以a=h(x).

x

ex

h(x)的图像如图所示，所以当a>e时，g(x)有两个零点.

x

6.设函数f(x)在R上存在导数f'(x)，xR，有f(x)f(x)x2，在(0,)上f(x)x，

若f(2m)f(m)m22m20，则实数m的取值范围为．

x2

【分析】根据题意构造函数g(x)f(x)，推出g(x)为奇函数，判断g(x)的单调性，即

2

可求得实数m的取值范围.

解析：

因为f(x)f(x)x2，所以f(x)f(x)x20

x2(x)2x2

令g(x)f(x)，则g(x)g(x)f(x)f(x)0

222

所以g(x)为奇函数，因为x(0,)时，g(x)f(x)x0

所以g(x)在(0,)上为减函数

因为g(x)为奇函数，所以g(x)在(,0)也为减函数

令x0，则f(0)f(0)0，得f(0)0

所以g(x)在R上为减函数，因为f(2m)f(m)m22m20

11

所以g(2m)(2m)2g(m)(m)2m22m20

22

11

所以g(2m)22mm2g(m)m2m22m20

22

所以g(2m)g(m)0

所以g(2m)g(m)0，所以g(2m)g(m)

所以2mm，得m1

所以实数m的取值范围为[1,).

7.设函数f(x)在R上存在导数f(x)，对于任意的实数x，有f(x)f(x)2x2，当x(,0)

时，f(x)32x，若f(m2)f(m)2m22m2，则实数m的取值范围

是．

【分析】构造g(x)f(x)x23x，由g(x)g(x)0，可得g(x)为奇函数，利用导数可知

g(x)在R上单调递减，结合函数的单调性解不等式即可.

解析：

f(x)32x，f(x)32x0

令g(x)f(x)x23x，且g(x)f(x)2x3，则g(x)在x(,0)上单调递减.

又f(x)f(x)2x2

g(x)g(x)f(x)x23xf(x)x23xf(x)f(x)2x20

g(x)为奇函数，g(x)在x(0,)上单调递减.

f(m2)f(m)2m22m2，且f(m)f(m)2m2

代入得f(m2)2m2f(m)2m22m2，

转化为f(m2)(m2)23(m2)f(m)m23(m)，即g(m2)g(m)

由于g(x)在R上递减，则m2m，解得：m1.

题型二含f(x)-f(-x)g（x）结构

名师导航

若函数g(x)为奇函数，定义在R上的函数f(x)满足f(x)-f(-x)g（x），则

g（x）

F(x)f(x)-为偶函数．

2

3

【典例4】设函数fx在R上存在导函数fx，xR，有fxfxx，在0,

上有2fx3x20，若fm2fm3m26m4，求实数m的取值范围．

1

【分析】构造函数g(x)f(x)x3，进而研究其单调性和奇偶性，

2

将fm2fm3m26m4变形为g(m2)g(m)，再利用g(x)的单调性解不等式即

可.

解析：

1

令g(x)f(x)x3

2

3

xR，有fxfxx

11

g(x)f(x)x3f(x)x3x3g(x)．

22

所以g(x)为R上的偶函数，又在0,上有2fx3x20

3

所以g(x)f(x)x20，即g(x)在0,上单调递增，在,0上单调递减.

2

又fm2fm3m26m4

11

所以f(m2)(m2)3f(m)m3，即g(m2)g(m)

22

m2m，解之得，m£1.

能力达标训练

8.设函数fx是函数fxxR的导函数，若fxf(x)2x3，且当x0时，

fx3x2，则不等式fxf(x1)3x23x1的解集为．

【分析】先构造函数令F(x)f(x)x3，由题意判断出F(x)的奇偶性和单调性，将不等式转

化成f(x)x3f(x1)(x1)3，即F(x)F(x1)，由函数单调性可得到|x||x1|，解得即可．

解析：

令F(x)f(x)x3，F(x)f(x)3x2

则由f(x)f(x)2x3，可得F(x)F(x)，故F(x)为偶函数

又当x0时，f(x)3x2，即F(x)0

F(x)在(0,)上为增函数．

不等式f(x)f(x1)3x23x1化为f(x)x3f(x1)(x1)3

F(x)F(x1)

1

由函数单调性奇偶性可知：|x||x1|，解得x．

2

9.设函数fx在R上存在导函数fx，对任意的实数x都有fxfx2x，当

x0时，fx2x1.若fa1fa2a1，则实数a的取值范围是．

【分析】设g（x）（fx）x，判断g（x）的奇偶性和单调性，得出a的范围．

解析：

设g（x）（fx）x，则g（x）g（x）（fx）x（fx）x0

∴gxgx,（gx）是偶函数．

当x0时，fx2x1.，∴g（x）在0,上是增函数

∵fa1fa2a1

∴fa1a1faa，即g（a1）g（a）

1

∴a1a，即a．

2

10.设函数fx在R上存在导数fx，对任意xR都有fxfx4x，且在

x(,0)上，fx2，若f2a2fa2a2a1，则实数a的取值范围

是．

【分析】令g(x)f(x)2x，可得g(x)g(x)0．因此g(x)g(x)是R上的偶函数．在

x(,0)上，g(x)f(x)20，可得函数g(x)在x(,0)上单调递增，在[0，)上单

调递减．再利用函数的奇偶性与单调性即可得出．

解析：

令g(x)f(x)2x，则g(x)g(x)f(x)2x[f(x)2x]f(x)f(x)4x0．

g(x)g(x)，g(x)是R上的偶函数．在x(,0)上，g(x)f(x)20

因此函数g(x)在x(,0)上单调递增，在[0，)上单调递减．

若f(2a2)f（a）2(a2)(a1)2a22a4，即f(2a2)2(2a2)f（a）2a

g(2a2)g（a），g(|2a2|)g(|a|)，|2a2||a|

1a24，解得2a1，或1a2．

实数a的取值范围是[2，1][1，2]．

11.已知定义在R上的函数fx满足fxfx2sinx，当x0时，fx1，若

ftft3sint，则实数t的取值范围为．

36

【分析】构造函数gxfxsinx，可得出该函数为偶函数，利用导数分析出函数ygx

在,0上单调递增，进而可得出该函数在0,上单调递减，将所求不等式变形为

gtgt，可得gtgt，可得出tt，由此可解得实数t的取值范围.

333

解析：

由fxfx2sinx可得fxsinxfxsinx

构造函数gxfxsinx，则gxfxsinxfxsinxgx

所以，函数ygx为偶函数，当x0时，gxfxcosx1cosx0

所以，函数ygx在,0上单调递增，则该函数在0,上单调递减

3133

sintsintsintcostsintsintcost3sint

322226

由ftft3sint得ftftsintsint

3633

即ftsintftsint，即gtgt，则gtgt

3333

由于函数ygx在0,上单调递减，所以，tt，解得t.

36

因此，实数t的取值范围是,.

6

题型三f(-x)

含emx结构

f(x)

名师导航

f(-x)

已知f(x)是定义在R上的可导函数，对于任意实数x，均有emx，则

f(x)

mx

F(x)f(x)e2为偶函数．

f(x)2x

【典例5】已知f(x)是定义在R上的可导函数，对于任意